4.1.1 n次方根与分数指数幂 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“n次方根与分数指数幂”，引导学生从初中平方根、立方根延伸，理解n次方根、根式概念及性质，掌握分数指数幂互化与有理数指数幂运算，构建从具体到抽象的知识支架。 资料通过核心知识梳理、分层训练（基础、能力、拓展）及典例方法总结，帮助学生夯实基础、突破难点，培养数学抽象与数学运算素养，课时小结与易错提醒助力自主学习，便于教师教学评估。

4.1指数 4.1.1次方根与分数指数幂 【学习目标】 ①理解次方根、根式的概念； ②能正确运用根式的运算性质化简、求值； ③会对根式和分数指数幂进行转化； ④掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值； ⑤通过学习次方根、根式，培养数学抽象素养； ⑥借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 【学习重点】 掌握次方根、根式性质、分数指数幂互化规则与有理数指数幂运算公式，能运用相关规则完成根式化简、指数式求值及字母取值范围求解. 【学习难点】 区分与，偶次根式开方易漏绝对值，负数根式定义域、多层根式指数通分、混合运算多法则综合运用. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.次方根的定义 如果，那么叫做的n次方根，其中，且. 2.的次方根的表示 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 为偶数 3.根式 式子叫做根式，这里的叫做根指数，叫做被开方数.根据次方根的意义，可得. 4.根式的性质（，且） （1）负数没有偶次方根； （2）0的任何次方根都是0，记作； （3）根据次方根的意义，可得； （4）为奇数时，；为偶数时，=. 5.分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：（） 负分数指数幂 规定：（） 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 6.有理数指数幂的运算性质 （1）（）；（2）（）； （3）（） 二、典例精析 题型1 根式的概念与性质 例1.化简 （1）； （2）. 思路分析： （1）根据次根式的意义进行化简 （2）先把根号内化为完全平方式化简根式，再结合的范围去掉绝对值，分段化简. 规范解答：（1）因为，，所以原式=； （2）因为，， 当时，，，，原式=； 当时，，，，原式=； 综上， 方法总结 （1）一句话点睛：奇次根式直接还原，偶次根式一定要加绝对值，再根据条件去绝对值，有分界点就分段讨论； （2）区分与，前者恒等于，后者奇偶次结果不一样. 题型2 根式与分数指数幂的互化 例2.把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式. （1）；（2）； （3）；（4） 思路分析：利用正数的分数指数幂与根式互化公式，根指数作分数指数的分母，被开方数的指数作分子，负指数则先取倒数，逐层完成根式与分数指数幂的相互转化. 规范解答： （1）； （2）（）； （3）； （4） 方法总结 1. 核心公式：； 2. 负分数指数：负号处理为取倒数，只对幂做变换，底数不变； 3. 前提：底数必须为正数，才能自由互化. 题型3 利用有理数指数幂的运算性质化简、求值 例3.计算 （1）； （2）； （3）. 思路分析 （1）利用偶次根式化简第一项，把其余各项全部化为分数指数幂，利用幂的运算法则计算； （2）（3）先全部将根式改写成分数指数幂，再对同底数的指数做加减运算，常数单独运算. 规范解答： （1） ； （2）； （3） 反思领悟：指数幂运算的常用技巧 （1）有括号先算括号内的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数； （3）底数是小数，要先化为分数；底数是带分数，要先化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质进行运算或化简. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1.若是实数，则下列式子中，可能没有意义的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：对于A：恒有意义，A错误； 对于B、C：根式 为奇次根式，全体实数都有意义，B、C错误； 对于D：4 是偶次根，偶次根式要求被开方数，当时，无意义，D正确. 2.如果，则等于（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：正数的偶次方根有两个，. 3.已知，则的分数指数幂的形式为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析： 4.（多选题）下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：ABC 解析：逐项验算： 对于A： ，A正确； 对于B： ，B正确； 对于C： ，C正确； 对于D：，D错误. 5. _________ 答案：4 解析： 6.__________________（） 答案： 解析： 7.已知，求的值. 解析：因为 ，所以， 则 ，即，所以， 所以 8.化简 解析： 【能力提升】（多数必做） 9.若，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：， 所以 10.化简的结果为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：令，则， 11.使等式成立的实数的取值范围为________ 答案： 解析：，又， 所以，所以，即；又由有意义可知，即； 综上，即实数的取值范围为. 12.化简下列各式 （1）； （2） 解析：（1） ； （2） 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识层面：掌握 n 次方根、根式定义与性质，分清奇偶次根式差异，熟练实现根式与分数指数幂互化，牢记有理数指数幂三大运算公式。 （2）方法层面：根式化简注意偶次根式加绝对值，计算时统一将小数、带分数转为分数指数幂，结合指数运算法则完成求值化简。 （3）易错提醒：留意偶次根式被开方数非负、区分与，多层指数运算、含字母根式取值范围是高频易错点. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数 4.1.1次方根与分数指数幂 【学习目标】 ①理解次方根、根式的概念； ②能正确运用根式的运算性质化简、求值； ③会对根式和分数指数幂进行转化； ④掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值； ⑤通过学习次方根、根式，培养数学抽象素养； ⑥借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 【学习重点】 掌握次方根、根式性质、分数指数幂互化规则与有理数指数幂运算公式，能运用相关规则完成根式化简、指数式求值及字母取值范围求解. 【学习难点】 区分与，偶次根式开方易漏绝对值，负数根式定义域、多层根式指数通分、混合运算多法则综合运用. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.次方根的定义 如果，那么__叫做__的n次方根，其中，且. 2.的次方根的表示 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 ______ 为偶数 ______ 3.根式 式子叫做根式，这里的叫做______，叫做________.根据次方根的意义，可得. 4.根式的性质（，且） （1）负数没有____方根； （2）0的任何次方根都是__，记作__________； （3）根据次方根的意义，可得___； （4）为奇数时，___；为偶数时，___=___________. 5.分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：______（） 负分数指数幂 规定：_______（） 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 6.有理数指数幂的运算性质 （1）______（）；（2）_____（）； （3）______（） 二、典例精析 题型1 根式的概念与性质 例1.化简 （1）； （2）. 方法总结 （1）一句话点睛：奇次根式直接还原，偶次根式一定要加绝对值，再根据条件去绝对值，有分界点就分段讨论； （2）区分与，前者恒等于，后者奇偶次结果不一样. 题型2 根式与分数指数幂的互化 例2.把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式. （1）；（2）； （3）；（4） 方法总结 1. 核心公式：； 2. 负分数指数：负号处理为取倒数，只对幂做变换，底数不变； 3. 前提：底数必须为正数，才能自由互化. 题型3 利用有理数指数幂的运算性质化简、求值 例3.计算 （1）； （2）； （3）. 反思领悟：指数幂运算的常用技巧 （1）有括号先算括号内的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数； （3）底数是小数，要先化为分数；底数是带分数，要先化为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质进行运算或化简. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1.若是实数，则下列式子中，可能没有意义的是（ ） A. B. C. D. 2.如果，则等于（ ） A. B. C. D. 3.已知，则的分数指数幂的形式为（ ） A. B. C. D. 4.（多选题）下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. _________ 6.__________________（） 7.已知，求的值. 8.化简 【能力提升】（多数必做） 9.若，则（ ） A. B. C. D. 10.化简的结果为（ ） A. B. C. D. 11.使等式成立的实数的取值范围为________ 12.化简下列各式 （1）； （2） 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识层面：掌握 n 次方根、根式定义与性质，分清奇偶次根式差异，熟练实现根式与分数指数幂互化，牢记有理数指数幂三大运算公式。 （2）方法层面：根式化简注意偶次根式加绝对值，计算时统一将小数、带分数转为分数指数幂，结合指数运算法则完成求值化简。 （3）易错提醒：留意偶次根式被开方数非负、区分与，多层指数运算、含字母根式取值范围是高频易错点. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $