专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲【知识清单+8大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲 知识点01：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 【即学即练】 1．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 【即学即练】 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）函数的定义域是________. 知识点03：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 知识点04：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 【即学即练】 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点05：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 【即学即练】 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 知识点06：分段函数 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 【即学即练】 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 题型01 函数概念的辨析 1．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 3．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·课后作业）下列各图中能作为函数图像的是（    ）．     A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型02 函数的定义域问题 5．（26-27高一上·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型03 同一函数的判断 9．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）（多选）下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型04 函数的表示法 13．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 14．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 15．（26-27高一上·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A．B．C．D． 16．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 题型05 求函数的解析式的问题 17．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 18．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 19．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 题型06 求函数的值域 21．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 22．（26-27高三·全国·一轮复习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 23．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数，则的值域为_________. 24．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）函数的值域为_______. 题型07 求分段函数值及其求参数 25．（26-27高一上·海南·期中）已知函数则____. 26．（26-27高一上·四川·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 27．（26-27高一上·北京·期中）在函数中，若，则的值是______________________ 28．（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 题型08 分段函数的性质及应用 29．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知 (1)画出的图象； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 31．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·天津·期中）对，，记，则函数（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，无最大值 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·湖南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，求（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（25-26高一上·江西吉安·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 11．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（    ） A．为“乘以2”， B．为“对应元素为4或5”， C．为“求倒数”， D．为“求平方根”， 12．（26-27高一上·辽宁·期中）已知，则_________. 13．（26-27高二·山东·学业考试模拟）设函数，则________． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲 知识点01：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 【即学即练】 1．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得出结论. 【详解】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 知识点02：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 【即学即练】 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）函数的定义域是________. 【答案】 【详解】由分母不为零得，由偶次方根下不为负得， 同时满足取交集得. 知识点03：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 【答案】(1), (2)阴影部分表示为 【分析】（1）分别求解分式不等式和绝对值不等式得到集合； （2）由图可得阴影部分表示，利用集合的补集和交集定义运算即得. 【详解】（1）由，解得，即； 又由，可得. （2）由图知阴影部分表示的集合为， 由（1）可得，故. 知识点04：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 【即学即练】 4．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】对于ABD而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于C而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则都相同，由此即可得解. 【详解】对于A：与的对应法则不相同，不是同一函数. 故 A 错误； 对于B：的定义域R，的定义域为 ， 两者的定义域不相同，不是同一函数. 故B错误； 对于C：，可化为分段函数，又， 定义域、对应法则都相同，是同一函数，故C选项正确； 对于D，的定义域为，的定义域R， 两者的定义域不相同，不是同一函数。故D错误. 故选：C. 知识点05：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 【即学即练】 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由换元法求解即可. 【详解】（1）设， ， ，即， 可得，解得， 所以. （2）设，则， ，化简得， . 知识点06：分段函数 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 【即学即练】 6．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 题型01 函数概念的辨析 1．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 3．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义逐项判断即可， 【详解】对于A，图象中不含，不符合函数的定义域，故错误； 对于B，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于C，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于D，符合函数的定义域和值域，正确， 故选：D 4．（25-26高一上·上海·课后作业）下列各图中能作为函数图像的是（    ）．     A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】结合图象，根据函数的定义，进行判断即可. 【详解】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确； 对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误； 对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数关系的判断，属于基础题. 题型02 函数的定义域问题 5．（26-27高一上·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数有意义，所以， 解得． 6．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 7．（25-26高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 8．（25-26高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 题型03 同一函数的判断 9．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）（多选）下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 12．（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【详解】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 题型04 函数的表示法 13．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知函数，分别由下表给出，则（   ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由表可知，则． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 15．（26-27高一上·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】讨论的取值，写出关系式，然后画出图象. 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 16．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 题型05 求函数的解析式的问题 17．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 【答案】 【分析】利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 18．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法，设，，代入后得到方程组，解出即可； （2）利用换元法设，代入计算即可； （3）令代换后与原式联立得到方程组，求解即得. 【详解】（1）依题意，设，， 则， 即，则，解得， 则. （2）设，，则， 则，， 故，. （3）因，用代换，可得； 联立，解得， 故，. 19．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】设，由，得，则， 所以， 所以， 故选：B. 20．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型06 求函数的值域 21．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 22．（26-27高三·全国·一轮复习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 23．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数，则的值域为_________. 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 24．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）函数的值域为_______. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 题型07 求分段函数值及其求参数 25．（26-27高一上·海南·期中）已知函数则____. 【答案】2 【详解】因为，所以， 又，所以， 26．（26-27高一上·四川·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数 ，则， 所以. 27．（26-27高一上·北京·期中）在函数中，若，则的值是______________________ 【答案】 【分析】通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即可. 【详解】由题意可得或或. 解得或. 所以若，则的值是. 28．（26-27高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断自变量所在的区间，代入计算即可； （2）分和两种情况讨论，分别代入计算即可得到答案． 【详解】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 题型08 分段函数的性质及应用 29．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 30．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知 (1)画出的图象； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) 函数的对称轴，当时，；当时，； 当时，，则的图象如图所示. (2) (3) 【分析】(1)根据二次函数的性质及常数函数的作图法，作出图象即可； (2)分或时和时分别求解，再取并集即可； (3)结合(2)和图象即可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：， 由题意可得：当或时，无解； ∴当时，由，可得， 解得. （3）解：由于，结合此函数图象可知， 使的的取值范围是 31．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定时的对称轴，分别在和两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当时，是开口方向向下，对称轴为的二次函数， ①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； ②当，即时，若存在，使得，则函数图象需满足下图所示：    即，解得：，； 综上所述：. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果. 32．（25-26高一上·天津·期中）对，，记，则函数（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值；作图求解． 【详解】函数是 函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值； 作函数与函数的图象如下， ， 由图象可知，令得，或； 故当时，的最小值为； 故有最小值，但没有最大值． 故选：C 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 2．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 3．（26-27高一上·湖南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式与分式的限制列不等式求解. 【详解】要使函数有意义，则且， 解得且， 所以函数的定义域为. 4．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项. 【详解】对于A，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于C，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于D，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数. 5．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 7．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，求（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数解析式结合题设可得答案. 【详解】因，则. 8．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 10．（25-26高一上·江西吉安·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 【答案】AC 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域知识解决；对于B，函数图象左右平移值域不变；对于C，利用构造方程组法求函数解析式解决；对于D，利用复合函数的定义域知识解决. 【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（    ） A．为“乘以2”， B．为“对应元素为4或5”， C．为“求倒数”， D．为“求平方根”， 【答案】AC 【分析】根据函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，符合题意，故A正确； B：因为，所以不符合题意，故B错误； C：若，则，所以符合题意，故C正确； D：若，则的平方根为，而，故D错误. 故选：AC 12．（26-27高一上·辽宁·期中）已知，则_________. 【答案】/ 【详解】因为，令，则. 13．（26-27高二·山东·学业考试模拟）设函数，则________． 【答案】 【详解】，则. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 16．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $