专题3.2.1 单调性与最大（小）值（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数单调性与最大（小）值核心知识点，系统梳理单调性定义、单调区间、常见函数单调性及运算性质，延伸至复合函数单调性，衔接最值定义与求法，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以11类题型为框架，通过例题与变式结合，强化定义证明、参数求解等推理能力，借助表格对比与图象辅助培养几何直观，助力教师课堂教学，同时方便学生课后查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

专题3.2.1 单调性与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数单调性的判断与证明】 3 【题型2 求函数的单调区间】 6 【题型3 根据函数的单调性求参数】 7 【题型4 复合函数的单调性】 9 【题型5 利用函数的单调性比较大小】 11 【题型6 利用函数的单调性解不等式】 13 【题型7 求函数的最值或值域】 16 【题型8 根据函数的最值求参数】 18 【题型9 函数图象的识别及应用】 21 【题型10 函数不等式恒成立问题】 24 【题型11 函数不等式能成立（有解）问题】 27 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点2 函数单调性的判断 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断与证明】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果. 【解答过程】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析. 【解题思路】（1）由题意可知，函数的图象经过点，代入求解即可. （2）由函数单调性的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，所以， 解得， 所以的解析式为 （2）在上的单调递减， 设，所以，， 所以， 所以，即， 所以在上的单调递减. 【变式1-3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）将整理成，利用整体代换法求出； （2），，计算，经过整理得到，从而得到在上的单调性. 【解答过程】（1）， . （2）证明：，， 则 ， ，，， ，，， ， ，， 在上单调递减. 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解题思路】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【解答过程】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【解答过程】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【解答过程】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B. 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【解答过程】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数， 所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴． ∵，，∴． 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解题思路】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型4 复合函数的单调性】 【例4】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【解答过程】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【解答过程】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【解答过程】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【解答过程】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 【题型5 利用函数的单调性比较大小】 【例5】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性比较即可. 【解答过程】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 【变式5-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解答过程】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【解答过程】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B. 【题型6 利用函数的单调性解不等式】 【例6】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【解答过程】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明见解析； (2)或. 【解题思路】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【解答过程】（1）证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【解答过程】（1）因为， ，且， 则， 因为，则，， 则，即， 故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 考点2 函数的最大（小）值 知识点3 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型7 求函数的最值或值域】 【例7】（25-26高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 【变式7-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【解答过程】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 【变式7-2】（25-26高一上·浙江·期中）已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【解题思路】（1）利用函数单调性的定义，即可求解. （2）利用（1）结果，由函数单调性的性质，即可求解. 【解答过程】（1）证明：任取，，且， 则. ，，而， ，即， 在区间上是增函数. （2）由（1）知，在区间上是单调增函数， ，. 【变式7-3】（25-26高一上·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域； （2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值. 【解答过程】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 【题型8 根据函数的最值求参数】 【例8】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【解答过程】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【解答过程】（1）证明：若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 【变式8-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知. (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）证明：且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 【题型9 函数图象的识别及应用】 【例9】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】利用函数的图象逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，分析函数的单调性，即可判断. 【解答过程】当时， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，选项A符合； 当时，在，上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在，上单调递增，故当时，选项B符合； 当时，，定义域为，选项C符合； 综上可得无论为何值，D选项均不符合题意. 故选：D． 【变式9-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【解答过程】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【题型10 函数不等式恒成立问题】 【例10】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将转化为，分别求出和在的最值可得结果. 【解答过程】由，，可得，所以， 即，化简可得， ，，，即， 由于在上单调递增，所以当时，， 又，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，. 综上，，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高一上·山东济宁·期中）设函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先代入得到不等式恒成立，然后对参数分类讨论即可. 【解答过程】， 即在区间上恒成立， 令，则为开口向上且对称轴为轴的二次函数， 若，此时，而不恒为负数，所以不恒成立，矛盾； 若，此时，要使得，则恒成立， 而在单调递增，所以， 所以只需满足，解得或（舍）， 故选：B. 【变式10-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【解答过程】（1）证明：，设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是. 【变式10-3】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【解答过程】（1）由， 故此令，则， 则； （2）证明：设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 【题型11 函数不等式能成立（有解）问题】 【例11】（25-26高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得在上单调递增，利用单调性解不等式可得存在使不等式成立即可，解可得结果. 【解答过程】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可； 解得或； 即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式11-1】（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意知，所以转化为，即可得到. 【解答过程】由题意知 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立， 所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 【变式11-2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）， .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以，， 所以，，即. 【变式11-3】（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.1 单调性与最大（小）值（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数单调性的判断与证明】 3 【题型2 求函数的单调区间】 4 【题型3 根据函数的单调性求参数】 4 【题型4 复合函数的单调性】 5 【题型5 利用函数的单调性比较大小】 6 【题型6 利用函数的单调性解不等式】 6 【题型7 求函数的最值或值域】 8 【题型8 根据函数的最值求参数】 9 【题型9 函数图象的识别及应用】 10 【题型10 函数不等式恒成立问题】 11 【题型11 函数不等式能成立（有解）问题】 12 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点2 函数单调性的判断 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断与证明】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1-2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【变式1-3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减． 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数的单调性求参数】 【例3】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【题型4 复合函数的单调性】 【例4】（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【变式4-3】（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用函数的单调性比较大小】 【例5】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用函数的单调性解不等式】 【例6】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 考点2 函数的最大（小）值 知识点3 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型7 求函数的最值或值域】 【例7】（25-26高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·浙江·期中）已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【变式7-3】（25-26高一上·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【题型8 根据函数的最值求参数】 【例8】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【变式8-1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【变式8-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知. (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值. 【题型9 函数图象的识别及应用】 【例9】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式9-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【题型10 函数不等式恒成立问题】 【例10】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·山东济宁·期中）设函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【变式10-3】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【题型11 函数不等式能成立（有解）问题】 【例11】（25-26高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【变式11-3】（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $