3.2.1函数的单调性与最大（小）值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.2.1：函数的单调性与最大（小）值 课标解读： 函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义.（理解） 函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义.（理解） 学习指导： 这里所学习的函数“单调性”与初中所学习的区别在于高中是用符号语言来定量描述函数的单调性，而初中则是借助图形直观定性描述的。本节理解函数“单调性”的定义是主要障碍，而突破难点的有效途径是借助特例及图形的直观.另外函数单调性的应用是高考的热点之一，因此要熟练掌握求解其相关问题的方法与技巧. 知识导图： 知识点1：函数的单调性 2.函数的单调性及单调区间 （1）当函数 在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （2）如果函数 在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 的单调区间. 3.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是 和 ； 时，单调递增区间是 和 . 二次函数 时，单调递减区间是 ，单调增区间是 时，单调递减区间是 ，单调增区间是 . 例1-1：下列命题为正命题的是（ ）. A.定义在 上的函数 ，如果 ，当 时，有 ，那么 在 上单调递增 如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上也单调递减，那么 在区间 上就一定单调递减 定义在 上的函数 ，若有无穷多对 ，当 时，有 ，那么 在 上为增函数 ，当 ， 成立，则函数 在 上不是单调递增的 答案：D 例1-2：（1）根据图像写出两个函数的单调区间，以及在单调区间上函数时增函数还是减函数. 答案：图（1） 的单调区间为 ，且在此区间上 是增函数. 图（2） 的单调区间为 ，且在此区间上 是减函数. （2）如图，分别为函数 的图像，试分别写出 和 的单调递增区间. 答案：图（1）所示函数在 上， 是单调递增的，所以 的单调递增区间是 .图（2）所示的函数在 上， 的单调递增区间是 . 例1-3：下列四个函数中，在 上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 答案：C 知识点2：函数的最大（小）值 名称 定义 几何意义 函数的最大 值 一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数M满足： ，都有 ，