专题3.4 幂函数-重难点题型精讲【知识清单+8大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.4 幂函数-重难点题型精讲 知识点01：幂函数的概念与图象 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．常见幂函数的图象与性质 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 知识点02：一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当=1时，y=x的图象是一条直线. ②当=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 题型01 幂函数的概念、解析式 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 题型02 幂函数的定义域 5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 7．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 8．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型03 幂函数的值域 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 10．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的最大值是_________. 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 11．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 12．（25-26高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 【答案】3 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，， 作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3 题型04 幂函数的图象 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 16．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 题型05 利用幂函数比较大小 17．（26-27高一上·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 18．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 19．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合幂函数的单调性和奇偶性，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 20．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造幂函数，由幂函数的单调性比较大小即可． 【详解】∵，且， 由幂函数在上单调递增可知， 故选：A． 题型06 利用幂函数的性质求参数 21．（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 22．（25-26高二下·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 23．（2026·江苏淮安·一模）（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 24．（25-26高一上·云南昆明·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 题型07 利用幂函数的性质解不等式 25．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 26．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 27．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 28．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 题型08 利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 29．（25-26高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是________． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 30．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 31．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 32．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 1．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 2．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 4．（26-27高一上·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和定义域求出的值，得到解析式，解不等式得解． 【详解】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 5．（25-26高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 6．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 7．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，构造函数， 在上是增函数，， ， 即. 9．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用幂函数的定义及图象经过点求出，再逐项判断得解. 【详解】对于A，由幂函数，得，解得，A正确； 对于B，由的图象经过点，得，解得，B正确； 对于C，函数为奇函数，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 10．（25-26高一上·山西太原·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据幂函数所过的点求得，即可判断A、B、C，再解不等式求解集判断D. 【详解】令，则，得，故，则，A错； 所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对； 在上单调递增，在上单调递减，C错； 由或，故的解集为，D对. 故选：BD 11．（25-26高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 12．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）不等式的解集为_____________ 【答案】 【详解】因为为上的增函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 13．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 14．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 16．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意； （2）根据幂函数性质求解即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，得或， 因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意， 所以. （2）由（1）可得 设函数， 因为函数在上严格单调递减， 所以或或，得或. 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 幂函数-重难点题型精讲 知识点01：幂函数的概念与图象 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．常见幂函数的图象与性质 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 知识点02：一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当=1时，y=x的图象是一条直线. ②当=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【即学即练】 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 题型01 幂函数的概念、解析式 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 4．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 幂函数的定义域 5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 7．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 8．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型03 幂函数的值域 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的最大值是_________. 11．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 题型04 幂函数的图象 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 14．（26-27高一上·全国·课堂例题）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 16．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 题型05 利用幂函数比较大小 17．（26-27高一上·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（26-27高一上·全国·课后作业）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型06 利用幂函数的性质求参数 21．（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 22．（25-26高二下·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 23．（2026·江苏淮安·一模）（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 24．（25-26高一上·云南昆明·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 题型07 利用幂函数的性质解不等式 25．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 27．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 题型08 利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 29．（25-26高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是________． 30．（25-26高一下·河南周口·阶段检测）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 31．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 32．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 1．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 7．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 10．（25-26高一上·山西太原·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 11．（25-26高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 12．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）不等式的解集为_____________ 13．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 14．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 16．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $