专题3.5 幂函数与函数的应用（一）重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学幂函数与函数应用核心知识点，系统梳理幂函数的概念（定义、特征、解析式）、图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性等），以及二次函数、分段函数模型的应用，构建从概念辨析到性质探究再到实际应用的学习支架，前承函数基础，后续为复杂函数学习奠基。 资料以“2知识点+15基础题型+2提高题型+自我检测”为框架，通过求幂函数值、解单调性不等式等题型，结合利润计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，在性质推理中发展数学思维，在模型应用中强化数学语言表达，课中辅助分层教学，课后助力针对性查漏补缺。

专题3.5 幂函数与函数的应用（一）重难点题型专训 （2个知识点+15大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求幂函数的值 题型二、求幂函数的解析式 题型三、根据函数是幂函数求参数值 题型四、求幂函数的定义域 题型五、求幂函数的值域 题型六、幂函数图象的判断及应用 题型七、判断一般幂函数的单调性 题型八、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型九、判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十、幂函数的奇偶性的应用 题型十一、由幂函数的单调性求参数 题型十二、由幂函数的单调性解不等式 题型十三、由幂函数的单调性比较大小 题型十四、利用二次函数模型解决实际问题 题型十五、分段函数模型的应用 第二部分·练提高题型 题型一、求幂函数的相关问题 题型二、幂函数单调性的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 幂函数的概念 1．幂函数的概念 （1）幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数． 只有同时满足这三个条件，才是幂函数． 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 【即时训练】 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 知识点02 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1，1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 （1）一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线． ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0，1)的直线． ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 （2）一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数． ③α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 2．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【基础题型一 求幂函数的值】 【例1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．（24-25高一上·河北·阶段检测）（多选）已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（    ） A． B． C．3 D．9 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 4．（24-25高一·全国·课堂例题）设是幂函数，已知，求，． 【基础题型二 求幂函数的解析式】 【例2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 1．（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知幂函数既不是奇函数也不是偶函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【基础题型三 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 1．（25-26高一上·浙江衢州·期末）幂函数图象过点，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知幂函数，则m 的值可能为（    ） A． B．2 C．7 D． 3．（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【基础题型四 求幂函数的定义域】 【例4】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 3．（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为________． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【基础题型五 求幂函数的值域】 【例5】（24-25高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 3．（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【基础题型六 幂函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 1．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）画出幂函数的大致图像： (1)； (2)． 【基础题型七 判断一般幂函数的单调性】 【例7】（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 1．（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【基础题型八 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例8】（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）（多选）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南红河·阶段检测）函数的增区间为______ 4．（25-26高一上·广西·阶段检测）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【基础题型九 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例9】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·期中）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 4．（24-25高一上·河北张家口·期末）已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【基础题型十 幂函数的奇偶性的应用】 【例10】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【基础题型十一 由幂函数的单调性求参数】 【例11】（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 4．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【基础题型十二 由幂函数的单调性解不等式】 【例12】（25-26高一上·广东·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 3．（25-26高一上·广东汕头·期末）幂函数的图象过点，则实数__________，不等式的解集为__________. 4．（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【基础题型十三 由幂函数的单调性比较大小】 【例13】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·安徽滁州·专题练习）（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 3．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 【基础题型十四 利用二次函数模型解决实际问题】 【例14】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 2．（24-25高一上·河南·期中）（多选）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 3．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 4．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【基础题型十五 分段函数模型的应用】 【例15】（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 4．（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【提高题型一 求幂函数的相关问题】 【例1】（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数过点，则在其定义域内（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．为奇函数 D．为偶函数 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（    ） A．函数为增函数 B．函数的值域为 C．函数为奇函数 D．若，则 3．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知幂函数图象经过点，则_______. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)试求m的值并写出该幂函数的解析式，指出其定义域； (2)试求满足的实数a的取值范围. 【提高题型二 幂函数单调性的相关求解】 【例2】（24-25高一上·四川凉山·期末）已知，若，则（    ） A．－2 B．－1 C． D．2 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 4．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知幂函数在单调递增； (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 3．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期末）下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（   ）. A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 6．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 8．（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 11．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 12．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是________． 14．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 15．（25-26高一上·上海·期中）下列命题中真命题的是________（填上所有你认为正确的命题序号）． （1）当时，函数的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过和两个点； （3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数； （4）幂函数的图象不可能在第四象限． 16．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一·全国·课后作业）已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小. 19．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 幂函数与函数的应用（一）重难点题型专训 （2个知识点+15大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求幂函数的值 题型二、求幂函数的解析式 题型三、根据函数是幂函数求参数值 题型四、求幂函数的定义域 题型五、求幂函数的值域 题型六、幂函数图象的判断及应用 题型七、判断一般幂函数的单调性 题型八、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型九、判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十、幂函数的奇偶性的应用 题型十一、由幂函数的单调性求参数 题型十二、由幂函数的单调性解不等式 题型十三、由幂函数的单调性比较大小 题型十四、利用二次函数模型解决实际问题 题型十五、分段函数模型的应用 第二部分·练提高题型 题型一、求幂函数的相关问题 题型二、幂函数单调性的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 幂函数的概念 1．幂函数的概念 （1）幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数． 只有同时满足这三个条件，才是幂函数． 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 【即时训练】 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 知识点02 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1，1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 （1）一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线． ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0，1)的直线． ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 （2）一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数． ③α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【即时训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 2．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 【基础题型一 求幂函数的值】 【例1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】将点代入函数的解析式求出，再求即可. 【详解】由题意，得，则，即， 则. 故选：B 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的解析式，再求值即可. 【详解】因为为幂函数，所以设， ，解得， 所以，所以. 故选：B 2．（24-25高一上·河北·阶段检测）（多选）已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】BC 【分析】设，利用幂函数的性质知，点一定在幂函数图像上，再分别讨论过三点，过三点，过三点，即可求出结果. 【详解】设，因为， 由幂函数的性质可知的图像必定经过点, 若的图像经过三点，由，得为正奇数， 则的解析式可能为，有，此时； 若的图像经过三点，由，得， 则，有，此时； 若的图像经过三点，由，得到，，此时不在图像上，即的图像不同时经过三点， 故选：BC. 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 4．（24-25高一·全国·课堂例题）设是幂函数，已知，求，． 【答案】， 【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，. 【详解】设幂函数． 由已知条件得． 故，， 于是，． 【基础题型二 求幂函数的解析式】 【例2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 1．（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入幂函数解析式即可. 【详解】幂函数的图象经过点，，解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知幂函数既不是奇函数也不是偶函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2) ，定义域为， 函数在上单调递增. 证明如下： 设且， 则 ， ，，，， ，即， 故函数在上单调递增. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，求出m的值，再验证是否满足题意，即可求的结果. （2）利用函数单调性的定义即可证明函数在上单调递增. 【详解】（1）由是幂函数可得，解得或， 时，，定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，不符合题意，舍去， 时，，可得定义域为， 不关于原点对称，可得既不是奇函数也不是偶函数，符合题意， 故； （2）略 【基础题型三 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 1．（25-26高一上·浙江衢州·期末）幂函数图象过点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】因为幂函数图象过点，可得，解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知幂函数，则m 的值可能为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为幂函数， 所以，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意. 故选：AC 3．（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）略 【基础题型四 求幂函数的定义域】 【例4】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 2．（25-26高二上·吉林白城·开学考试）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据各项对应幂函数的解析式求定义域，再结合函数奇偶性的定义判断正误，即可得. 【详解】由的定义域为，且，即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为R，且，即为偶函数，所以B正确； 由的定义域为R，且不恒成立，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数，所以D正确． 故选：ABD 3．（24-25高一上·上海·课前预习）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件： ①函数图象过点； ②函数图象过点； ③函数的定义域为． 任选其中两个条件满足函数，同时求出时函数的值． 【答案】选①③，. 【分析】利用待定系数法求出解析式，根据所选条件判断是否满足题意，然后可得函数值. 【详解】设， 选①②：由题可得，得，无实数解，不满足题意； 选①③：由函数图象过点可得，解得，则， 易知，函数的定义域为， 所以时，； 选②③：由函数图象过点可得，解得，则， 因为的定义域为，所以不满足题意． 综上，应选①③，此时，当时，. 【基础题型五 求幂函数的值域】 【例5】（24-25高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 1．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】设，因为的图象经过点， 所以，显然选项A不正确； 因为只有非负实数有算术平方根，所以的定义域为，因此选项B正确； 因为，所以有，因此选项C正确； 由，所以选项D正确， 故选：BCD 3．（24-25高三上·上海·期中）幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 当时，，其定义域为，值域为，不符合题意， 当时，，其定义域和值域均为，符合题意， 综上当幂函数的值域与定义域相同时，则集合. 故答案为：. 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1) 选①时，；选②时， (2) 若，的值域为 若，的值域为. 【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式； （2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果. 【详解】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 【基础题型六 幂函数图象的判断及应用】 【例6】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与图象可得出合适的选项. 【详解】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. 1．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项. 【详解】因为经过第一、三象限；经过第一象限； 经过第一、三象限；经过第一、三象限； 所以不可能经过的象限是第二、四象限 故选：BD． 3．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）画出幂函数的大致图像： (1)； (2)． 【答案】(1) AI (2) 【分析】根据幂函数的性质作图即可. 【详解】（1），定义域为且为减函数，如图. （2）为偶函数且在上单调递增，如图. 【基础题型七 判断一般幂函数的单调性】 【例7】（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 1．（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 2．（25-26高一上·陕西榆林·期中）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 在单调递减，故A正确， 对于B, 在单调递增，故B错误， 对于C, 在单调递减，故C正确， 对于D, 在上，，故在单调递减，故D正确， 故选：ACD 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性即可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 由幂函数性质可知函数的严格增区间是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1) (2) 由（1）可知，， 设，可得， 所以， 即， 所以在区间上是严格增函数． 【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可； （2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则． （2）略 【基础题型八 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例8】（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 1．（24-25高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）（多选）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据幂函数，及复合函数的单调性依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，在上单调递增，错误； 对于B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故正确； 对于C选项，由二次函数性质得在上单调递减，故正确； 对于D选项，时，在上单调递减，故正确. 故选:BCD. 3．（24-25高二下·云南红河·阶段检测）函数的增区间为______ 【答案】/ 【分析】根据复合函数的单调性法则即可求解. 【详解】函数的定义域为，解得或 设在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的增区间为， 故答案为： 4．（25-26高一上·广西·阶段检测）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【分析】（1）待定系数法去求函数的解析式； （2）依据反比例函数性质即可得到函数的单调区间和值域． 【详解】（1）设，则，则， ∴函数的解析式为． （2）因为， ∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【基础题型九 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例9】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合所过点及偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：的定义域为，故该函数不为偶函数，故A错误； 对B：令，有，，定义域为， 且，故该函数为偶函数，故B正确； 对C：的定义域中不含，不过点，故C错误； 对D：令，定义域为，且， 故该函数为奇函数，故D错误. 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 2．（25-26高一上·河北·期中）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】由的定义域为，且， 即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为，且，即为偶函数，所以B正确； 令的定义域为，且，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数， 所以D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25高一上·河北张家口·期末）已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可； （2）首先得到当时的解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以， 解得或， 当时，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意； 综上可得； （2）由（1）可知当时，， 设，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，， 综上可得. 【基础题型十 幂函数的奇偶性的应用】 【例10】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先依据幂函数的系数特征求出m的可能取值，再结合偶函数的性质确定m的具体值，最终计算. 【详解】由幂函数定义得，即，解得或. 当时，，为偶函数； 当时，，为奇函数， 故. 则，. 故选：C 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案. 【详解】因为偶函数，则不能为，，可以为，. 又在上是减函数，则. 故选：C 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【分析】根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，即可得出结论. 【详解】根据幂函数定义可知， 对于A，若，则，易知其定义域为， 令，则，则其为偶函数，不符合题意； 对于B，当时，，定义域为，且为奇函数，符合题意； 对于C，当时，则，定义域为，不符合题意； 对于D，当时，则，定义域为，且为奇函数，符合题意； 故选：BD 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，求得，再结合的图象关于y轴对称，进而确定实数的值. 【详解】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 综上可得，实数的值为. 【基础题型十一 由幂函数的单调性求参数】 【例11】（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【详解】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的是（ ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若幂函数在单调递增，则 D．幂函数的图象都过点和 【答案】AC 【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 4．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 【基础题型十二 由幂函数的单调性解不等式】 【例12】（25-26高一上·广东·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法得，再代入解不等式即可. 【详解】设，，代入点得，解得. 则，则，即，即，解得. 故选：A. 1．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 2．（24-25高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高一上·广东汕头·期末）幂函数的图象过点，则实数__________，不等式的解集为__________. 【答案】 / 【分析】利用图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为图象经过点， 所以，解得，所以， 因为是定义在上单调递减，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为：，； 4．（25-26高一上·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 【基础题型十三 由幂函数的单调性比较大小】 【例13】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 1．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 2．（2025高一上·安徽滁州·专题练习）（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 3．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 【答案】(1) (2) (3) (4). 【分析】根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】（1）∵函数在上单调递减，又，∴. （2），函数在上单调递增， 又，∴，∴，即. （3），. 函数在上单调递减，又， ∴，即. （4）∵，，，∴. 【基础题型十四 利用二次函数模型解决实际问题】 【例14】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是），若每台产品的售价为25万元，则生产者的最高利润是（   ） A．2950万元 B．3000万元 C．2940万元 D．2980万元 【答案】C 【分析】首先根据题意得到利润，再利用二次函数的单调性求解最大值即可. 【详解】设生产者的利润为万元，则， 因为函数在区间上是增函数， 当时，利润最大，最大值为（万元）． 故选：C 2．（24-25高一上·河南·期中）（多选）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（    ） A．9 B．7 C．13 D．11 【答案】AD 【分析】将销售额表示成一个关于的函数，然后确定满足条件的的可能值即可. 【详解】设此种商品的月销售额为， 由题意知，单价为，销售量为， 所以销售额：， 所以， , , . 故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13. 故选：AD 3．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【分析】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为，把面积用函数表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【详解】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 4．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 【基础题型十五 分段函数模型的应用】 【例15】（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，则元可得元购物券，再购物元可得元购物券，故可得结论． 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 2．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件，分，，三种情况，再结合题设条件，即可求解. 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 【详解】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 4．（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， （2）由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 【提高题型一 求幂函数的相关问题】 【例1】（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设幂函数，根据函数经过，求出的值，确定函数解析式，再代入，即可得解. 【详解】设幂函数，则，解得， 故，则，则. 故选：C. 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数过点，则在其定义域内（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【分析】已知函数为幂函数，设函数解析式为，将点代入，解得，判断函数的性质. 【详解】因为为幂函数，设解析式为，将点代入， 得，， 所以，值域为，所以A，B不对， 又因为，所以为奇函数，C对，D不对. 故选：C. 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（    ） A．函数为增函数 B．函数的值域为 C．函数为奇函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】首先求出幂函数的解析式，然后再根据幂函数的性质逐个判断选项即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以， 易知函数的定义域为，单调递增，值域为，是非奇非偶函数，故选项A，B正确，选项C错误； 当时，， ， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知幂函数图象经过点，则_______. 【答案】 【分析】首先根据已知条件求解幂函数解析式，进而求解函数值即可. 【详解】已知函数为幂函数，所以设， 因为幂函数图象经过点，所以，解得：， 所以，得：. 故答案为： 4．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)试求m的值并写出该幂函数的解析式，指出其定义域； (2)试求满足的实数a的取值范围. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，从而得解； （2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求的取值范围. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，所以， 所以，解得或，又，所以， 则该幂函数的解析式为，故其定义域为. （2）因为， 所以的定义域为，且在上单调递增， 故由，得，解得， 所以的取值范围为. 【提高题型二 幂函数单调性的相关求解】 【例2】（24-25高一上·四川凉山·期末）已知，若，则（    ） A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可. 【详解】设，由 ， 当且时，即时，等式显然成立， 当时，则有，因为， 所以， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 综上所述：， 故选：A 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】取特值说明ABC的存在性，对于D证明其不成立. 【详解】对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确 对于D：若成立，则由且且，解得且，显然不存在实数满足，故D不正确. 故选：ABC 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 4．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知幂函数在单调递增； (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质即可得结果； （2）根据单调性结合定义域即可得结果. 【详解】（1）因为函数是幂函数，所以， 即，解得或； 当时，，此时函数在单调递减， 当时，；因为函数在单调递增； 综上所； （2）当时，定义域为，且在上单调递增， 又因为，所以 解得，即实数的取值范围为. 综上所述，当时，的取值范围为， 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 3．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 4．（25-26高二上·上海·期末）下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质，分别判断每个选项中函数的奇偶性和在上的单调性，从而得出符合条件的函数. 【详解】选项A：，，所以是偶函数； ，在上，随着增大，减小，所以是严格减函数，不符合在上严格增的条件； 选项B：，，所以是奇函数，不符合偶函数的条件； 选项C：，，所以是偶函数； ，指数，所以在上是严格增函数，符合条件； 选项D：，，所以是偶函数； ，是常数函数，在上不具有严格单调性，不符合条件. 故选：C. 5．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 6．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义及函数图象经过的点求得函数解析式，由幂函数的性质判断各个选项. 【详解】设幂函数，因为函数的图象过点， ∴，∴，即幂函数. 所以函数的定义域是，A选项错误，C选项错误， ∵，∴函数在定义域上单调递增，B选项正确， ∵，∴函数的图象过点，D选项正确. 故选：BD. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 8．（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 【答案】ACD 【分析】根据幂函数可判断A，根据函数的单调性即可求解B，由幂函数的性质即可求解CD. 【详解】根据题意可得，解得，故，A正确. 因为，则，所以在上单调递增，因为，， 且，故，所以，B错误. ，因为，故,故其图象恒过点，C正确， 当时，，此时定义域为，故图像不经过第二象限， 当时，，当时，，故图像不经过第二象限， 当时， 当时，，故图像不经过第二象限，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 【答案】ABD 【分析】根据题设先求得，，进而结合幂函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】设，则，解得，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，则为奇函数，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】 【分析】根据幂函数的一般式，由待定系数法求得解析式，再令，求得函数值. 【详解】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 12．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13．（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 15．（25-26高一上·上海·期中）下列命题中真命题的是________（填上所有你认为正确的命题序号）． （1）当时，函数的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过和两个点； （3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数； （4）幂函数的图象不可能在第四象限． 【答案】（4） 【分析】求出定义域可得（1）；举出反例可得（2）、（3）；由可得（4）. 【详解】对（1）：当时，函数，定义域为， 故该函数的图象是一条直线缺一个点，故（1）错误； 对（2）：例如时，函数，定义域为， 此时函数图象不过点，故（2）错误； 对（3）：例如时，函数，定义域为， 此时该函数的图象关于原点成中心对称， 但在定义域上不是严格增函数，故（3）错误； 对（4）：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能在第四象限，故（4）正确. 故答案为：（4）. 16．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标可得答案； （2）把条件转化为根式不等式，结合限制条件和不等关系可得不等式组，进而可求范围. 【详解】（1）设，因为经过点，所以， 解得，所以. （2）由题意，即， 所以，解得，故实数的取值范围为. 17．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 18．（25-26高一·全国·课后作业）已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小. 【答案】，定义域为，值域为，. 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性确定函数解析式，再根据函数解析式求定义域及值域，利用单调性比较函数值的大小. 【详解】由题意可知，， 解得， 由图像关于y轴对称知为偶数， 所以m可取-1， 所以. 定义域为，值域为. 又，在上单调递增， 所以. 19．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）由幂函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，即， 因为，所以或， 又幂函数的图象关于轴对称， 时，满足题意；时，不满足题意， 所以. （2）由（1）可得，所以， 又幂函数在和上单调递减， 可得：或或， 解得：或或空集， 综上，实数的取值范围是. 20．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 学科网（北京）股份有限公司 $