导数专项训练测试卷（提高）-2027届高三数学一轮复习

导数章节测试卷（提高版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线 是曲线 的一条切线，则切点的纵坐标为 A． B． C． D． 或 【答案】B 设切点横坐标为 。对曲线求导：。 直线 的斜率为 ，故 ，即 ， 解得 或 。两个值都要代回检验，因为「斜率相等」只是相切的必要条件。 当 ：曲线上的点纵坐标为 ； 再把它代入直线，，与算得的纵坐标一致，说明该点确实在直线上，是切点。 当 ：曲线上的点纵坐标为 ； 把它代入直线，，说明该点不在直线上， 这是「平行于切线的另一点」，不是切点，舍去。 所以切点纵坐标为 。故选 B。 2．已知函数 ，若关于 的方程 恒有解，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 「对任意 方程 都有解」等价于「 的值域为 」。 所以要分别求出两段的值域，再让它们的并集盖住全体实数。 第一段 ：， 。 当 时 ，当 时 ， 所以 在 上一路递减，过 后转为递增， 最小值 ，且 时 ， 该段值域为 。 第二段 ： 单调递减， 当 时 （但不取到 ，因为 属于第一段）， 当 时 ，该段值域为 。 要使两段值域的并集为 ，只需 与 相接不断层， 即 ，解得 。 所以 。故选 B。 3．已知函数 （，）在 上单调递增，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 分段函数在整个区间上递增，须三件事同时成立： 两段各自递增，且衔接处「不下降」。 先看第二段 ：。对数函数要在 上递增， 必须底数 。 再看第一段 ： 是复合函数，外层 递增， 故只要内层 在 上递增。 的对称轴为 ，在 上递增；因 ， ，所以这一条件自动满足。 最后看衔接处，要求左段在 的值不小于右段在 时的极限： 左段值 ；右段的极限为 （注意用 在 处的值）。 因为 递增，且 ，所以 等价于 ，即 ， 解得 或 。 结合前面得到的 ，得 。 所以 。故选 C。 4．某质点从单位圆上的点 开始沿圆周逆时针匀速旋转，每 秒转一圈，则该质点的纵坐标在 秒时的瞬时变化率为 A． B． C． D． 【答案】A 点 在单位圆上，坐标为 ， 由 、 得初始位置对应的圆心角 。 「每 秒转一圈」说明角速度为 （弧度/秒）。 所以 秒后质点转过的角度为 ，此时对应的圆心角为 。 于是质点的纵坐标（即 坐标）随时间变化的函数为 。 「瞬时变化率」就是导数。由复合函数求导， 。 取 ：。 由诱导公式 ，得 。 故选 A。 5．已知直线 与曲线 和 均相切，则 A． B． C． D． 【答案】A 设直线与 相切于点 ， 与 相切于点 。 分别求导：，。 因为同一条直线与两曲线相切，所以两个切点处的导数值都等于 ： ，。 由 得 （显然 ）， 代入得第二个切点为 。 该点在直线 上，代入： ，故 。 再由 得 ， 第一个切点为 ，它也在直线上： 。 把 代入：，整理得 ，即 。 因 ， 给出 ，此时 。 所以 。故选 A。 6．若函数 与 的图象存在公切线，则实数 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 是开口向下的抛物线， 是上凸曲线 （）。 两条曲线存在公切线，临界情形是它们「相切」—— 此时 在 上恒成立，且等号在切点处取到。 由 得 ，即 对一切 成立， 所以 的最小值就是 的最大值。 求导：。 令 得 ，即 。 当 时 ， 递增；当 时 ， 递减。 所以 在 处取得最大值 。 于是 ，即 的最小值为 。故选 A。 7．设函数 ．若 满足对任意的 ，都存在唯一实数 使得 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 的解集是「」与「 的解」的并集。 由于 本身就是其中一个解，题设「存在唯一实数 」 意味着对每个 ， 只有 这一个解。 这正好要求 在 上是严格单调的， 即 恒成立，或 恒成立。 求导（）： 。 先排除 ：当 时 、 ，故 ，不可能恒非负，舍去。 所以只能 恒成立： ，两边除以 得 。 记 ，则 。 。 记 ，则 。 给出 ： 在 上递减、在 上递增， 而 ，。 所以 时 ， 时 ， 即 在 上递减、在 上递增， 。 于是 ，解得 ，即 。 故选 D。 8．已知 ，且 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 先求定义域：根号下 ，解得 或 ， 即定义域为 。 再研究单调性。记 ， ， 两者的对称轴都是 ， 故都在 上递减、在 上递增。 于是 在 上递减， 在 上递增（这两段里两个加项的变化方向一致）。 下面按 的取值讨论，注意 与 都必须落在定义域内： ① 若 ，即 ：此时 ，两数都在递减段上， ，与题意相反，舍去。 ② 若 ： 不在定义域内， 无意义，舍去。 ③ 若 ：，两个点都在定义域内， ，，两者相等， 不满足严格小于，舍去。 ④ 若 ： 本身不在定义域内，舍去。 ⑤ 若 ：此时 ，两数都在递增段上， 故 ，符合题意。 综上 ，即 。故选 B。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知函数 （），则下列说法正确的是 A．若 是奇函数，则 B．若 是减函数，则 C． 所有零点的平方和等于 D．当 时，存在两条互相垂直的直线都与曲线 相切 【答案】ABD 先求导：。 A：把 代入，再与 比较。 ，而 。 为奇函数就是 恒成立， 即 对一切实数 成立，只能 ，A 正确。 B： 是减函数，等价于 恒成立。 开口向下， 它恒不大于零当且仅当判别式 ， 即 ，两边除以 得 ，B 正确。 C：，所以 必为零点。 当 时， 另有两根 、， 由韦达定理 、， 于是所有零点的平方和为 ， 它只在 时才等于 ，一般情况下并不相等； 再举一个具体反例：取 、， 此时 无实根， 只有零点 ，平方和为 ， 而 ， 可见「平方和等于 」不成立，C 错误。 D：配方得 ， 所以 的取值范围是 。 记 ，题设 即 。 取 ，它不超过 ，故曲线上有斜率为 的切线； 再取 ，它小于 ，当然也不超过 ， 故曲线上也有斜率为 的切线。 而 ， 这两条切线斜率不同、互相垂直，D 正确。 综上选 ABD。 10．已知函数 ，，则下列结论正确的有 A． 在区间 上单调递减 B． C． 在区间 上的值域为 D．若函数 满足 ，且 ，则 在 上单调递减 【答案】ACD 先求导：， 。 A：当 时，，， 故分子 ，而分母 ， 所以 ， 单调递减，A 正确。 B：由 A 知 递减，而 ， 所以 ，即 ， 也就是说 ，与 B 的方向相反，B 错误。 C：当 时 、，故 ； 当 时 。 又 在 上连续且单调递减， 所以它的取值从 一路减到 ，值域为 ，C 正确。 D：记 ，则题设的条件 就是 。 两边求导：。 又 ，代入得 ， 所以 ，即 。 当 时 、， 故 ， 在 上单调递增（不减）。 再由 求 ： ， 即 ，所以 。 既然 在 上递增且右端值为 ， 就有 对一切 成立， 即 ，所以 在 上单调递减，D 正确。 综上选 ACD。 11．设函数 ，则下列结论正确的有 A．对任意的 ，函数 的图象存在对称轴 B．曲线 在 处的切线方程为 C．当 时，存在 使 D．当 时，函数 有 个极大值和 个极小值 【答案】ACD A：检验奇偶性。把 代入， ， 所以 是偶函数，它的图象关于 轴（即直线 ）对称， 与 取什么值无关，A 正确。 B：先算切点。，切点为 。 再求导：， 故切线斜率为 。 所以切线是过 的水平直线 ，而不是 ，B 错误。 C：取切近 的点来判断。 。 由 得 ， 所以 ；当 时 。 又 在 处连续，因此在 右侧足够近的地方仍有 ， 即存在 使 ，C 正确。 D：由 A 知 是偶函数，故 是奇函数， 恒成立。 再看二阶导：， 。当 时 ， 说明 在 附近递减，即 右侧一小段上 。 而当 时 占主导，， 故在 上 至少还有一个零点，记为 ， 且 在 左右由负变正，所以 是 的极小值点。 由偶函数的对称性， 也是极小值点。 而 在 左右由正变负（因 为奇函数， ），所以 是极大值点。 于是 恰有 个极大值点和 个极小值点，D 正确。 综上选 ACD。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 ， 的零点为 ，极值点为 ，则 ______， ______． 【答案】； 第一空。先把正切化成弦： 。 因为 时 ，所以 等价于 ，即 。 在第一象限，再由 得： 。 第二空。求导： 。 由极值点 得 ，即 ， 两边乘 ：。 而 ，所以 ， 结合 得 ，。 又由第一空 。 于是由两角差的正切公式， 。 分母有理化，分子分母同乘 ： 。 故两空依次填 、。 13．已知函数 ，若对任意 ，，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 先去掉绝对值式的对称麻烦：不妨设 ， 则 ，可以放心地把分母乘过去。 原不等式化为 。 把右边移到左边并重新分组： 。 记 。 则上式即「当 时 」， 说明 在 上单调递减。 所以 在 上恒成立。 因 ，两边除以 得 ，即 恒成立， 故只需 。 令 ，。 当 时 ， 递减； 当 时 ， 递增。 所以最大值只能在两个端点取得。 ，。 比较大小：，， 故 ，最大值 。 于是 ，解得 。 故 的取值范围是 。 14．已知函数 在 内存在 个极值点，则 的取值范围为 ______． 【答案】 先看对称性。 与 都是偶函数， 故 为偶函数，其图象以 轴为对称轴。 于是 必是一个极值点，且 与 上的极值点成对出现。 内要有 个极值点，借助上述对称性， 只需 内恰有 个（ 处 个，两侧各 个，共 个）。 当 时，， 。 若 ，则 、， 从而 恒成立，没有零点，不合题意， 所以必须 。 记 ，。 ，它在 上单调递增（因 递增）， 所以 先减后增，在 上最多有两个零点。 在 上恰有 个变号零点，等价于 、、，其中 是 的根。 第一步： 已成立。 第二步：由 得 。 令 ，则 ，故它在 上递增； 而 对应 ，所以由 得 。 第三步：由 得 ， 即 。 于是 ， 约去 得 ，即 。 对 两边取自然对数： ，故 。 代入 ，两边乘 得 ，即 ， ，所以 。 （此时可验证 ，确实落在区间内部。） 综合 与 ，得 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 ，．（13分） (1)求曲线 在点 处的切线方程； 先算切点纵坐标： ，切点为 。 再求导。前一项用积的求导法则： ； 后一项 ， 所以 。 切线斜率 。 由点斜式得切线：， 即 。 (2)当 时，若函数 有 个零点，求实数 的取值范围； 由 (1) 得 ，零点个数由单调性与极值决定。 ① 若 ：因 ，故 恒成立， 的符号只由 决定， 在 上递减、在 上递增，最多 个零点（如 时 只有 一个零点），不合题意。 ② 若 ：令 得 ，且 。 当 时 、，故 ， 递增； 当 时 ，故 ， 递减； 当 时两个因式都为正，， 递增。 所以 在 处取极大值，在 处取极小值。 极大值 。 因 时 ，故 ， 于是 等价于 ，即 ，解得 。 极小值 ， 要求 ，即 ，解得 。 再看两端： 时 ，而 ，故 ； 时 。 结合单调性，当且仅当极大值大于 、极小值小于 时 恰有 个零点。 所以 （注意 ，与 相容）。 故 的取值范围是 。 (3)当 时，对任意的 （），满足 ．证明：． 思路是「逐个放大后求和」，关键是找一个比 略大的简单函数。 把两个式子写开作差： ， ， 相减得 。 记 ，则上式恰为 。 先研究 。求导： 。 当 时 、，故 ， 在 上单调递增。 又 ，所以 时 。 于是当 时，由 与 得 ， 即 。 对 分别代入并相加： 。 代入 ，得 ，命题得证。 16．已知函数 ，．（15分） (1)求函数 的最值； 定义域为 。求导： 。 令 得 。 当 时 ，， 递减； 当 时 ， 递增。 所以 在 处取得最小值 。 又 时 （取不到）， 时 ， 所以无最大值。 综上， 的最小值为 ，无最大值。 (2)讨论函数 在 上极值点的个数； 。极值点的个数就是 在 上「变号零点」的个数（变号即 在该点两侧异号，这样才对应极值点）， 也就是方程 在 上解的个数。 记 （），求导： 。 当 时 ， 递增； 当 时 ， 递减， 故 在 处取得最大值 ； 且 与 时都有 。 结合这一图象讨论 与 的交点： ① 当 时无交点， 恒成立， 无极值点； ② 当 时有两个交点，分别位于 两侧， 在这两点都变号， 有 个极值点； ③ 当 时，由 知 恒成立（等号只在 处取到）， 不变号， 无极值点； ④ 当 时无交点， 无极值点。 汇总四种情形： 与 时 都不取极值；只有 时 才恰有 个极值点。 (3)设函数 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 （），且满足 ，求实数 的取值范围． 先化简 ： ，定义域为 。 求导： 。 令 ，得 ，或 。 记 （），则 ， 在 上递增、在 上递减，最大值 ， 且两端 。 要 恰有三个不同极值点，就要直线 与曲线 相交于两点，并且这两个交点的横坐标都不等于 （一旦有一个等于 ，它就会与 合并，极值点少一个）。 所以 ，此时三个极值点满足 ，而 。 由 得 ，两边取对数： ，即 ； 同理 。 代入 的表达式： ， 同理 ； 而 。 所以 ，条件化为 。 记 （）。求导： 。 在 上 ； 而 关于 单调递增（导数为 ）， 且在 处取值为 ，故 。 两个因式都小于 ，所以 ， 在 上单调递增。 计算 。 由 单调递增知， 等价于 。 结合 ，得 的取值范围是 。 17．已知函数 ，，其中 为自然对数的底数，．（15分） (1)求函数 的单调区间； 定义域为 。求导： 。 因 恒成立， 的符号完全由 决定。 ① 当 时 ，， 在 上单调递增。 ② 当 时， 等价于 ， 于是 的增区间是 ，减区间是 。 ③ 当 时， 等价于 ， 于是 的增区间是 ，减区间是 。 (2)①若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围； 当 时 即 ， 两边同除以正数 ，等价于 ， 即 。 记 （），问题即 对一切 成立。 先看 附近的性态： ，， 故 。 若 ，则 ，于是在 右侧足够近处 ，不满足恒成立，所以必须 。 下面说明 时确实成立。当 、 时 ， 故 ，于是 ， 所以 在 上单调递增， 时 ，符合题意。 综上， 的取值范围是 。 ②设 ，证明：． 在 ① 中取 ，由 整理得 对一切 成立。 (*) 对每个正整数 ，令 ，则 ，代入 (*) 得 ， 即 。 右边通分： 。 所以 。 对 求和： 。 左边 ，分子分母交错约分后 。 所以 ，证毕。 18．已知函数 ，．（17分） (1)若 ，求函数 在点 处的切线方程； 当 时，，定义域为 。 先算切点纵坐标：，切点为 。 逐项求导：，， ， 所以 。 切线斜率 。 由点斜式得切线：， 即 。 (2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； 即 ，因 ，两边同除以 ： 。 所以问题化为「存在 使 」，即 不小于 的最小值。 记 （）。求导： 。 提公因式 ：记 ，则 。 先研究 ：， 故 在 上递减、在 上递增， 所以 。 于是 的符号由 决定： 时 ， 递减； 时 ， 递增。 故 的最小值为 。 所以 ，即 的取值范围是 。 (3)若函数 有两个不同的零点 ，且 ，求 的取值范围． 先把 与 (2) 中的 联系起来： 。 因 ，所以 等价于 。 再把 写成「函数套函数」的形式： 。 记 （），则 ， 在 上递减、在 上递增， 最小值 ，值域为 。 记 （），则 ， 故 在 上单调递增，是单射，且 。 由 得 ， 因 是单射，故 。 （由 (2) 知 先减后增，所以不妨设 。） 把 展开： ，即 。 记 ，则 ，上式化为 ，所以 ，。 于是 。 条件 即 ，所以 。 记 （），求导： 。 分子化简： ， 所以 。 记 ，则 ， 故 在 上单调递增；又 ， 所以 时 ，从而 ， 在 上单调递增。 因此当 时 。 又 时 ，且 连续递增，故所求取值范围是 。 19．三个互不相同的函数 ， 和 在区间 上恒有 或恒有 ，则称 为 与 在区间 上的「分割函数」．（17分） (1)设 ，，试分别判断 ， 是否是 与 在区间 上的「分割函数」，请说明理由； 先看 。作差： ，即 ； ，即 。 所以对一切实数 都有 ， 故 是「分割函数」。 再看 。考察它与 的差： 。 取 得值为 ，取 得值为 ，符号发生改变。 所以 不恒成立， 也不恒成立， 两条链式不等式中都放不进 ，故 不是「分割函数」。 (2)若二次函数 是 与 在区间 上的「分割函数」，求 ； 设 （）。由定义需 对一切实数 成立。 注意 ，等号只在 处取到， 即两曲线 与 在点 处相切。 在 处不等式链被「挤」成一个点：，故 。 又 夹在两条相切的曲线之间，在 两侧都不能越界， 所以它的图象在 处也与直线 相切，即 。 （否则 在 附近会穿过 ，破坏不等式链。） 由 与 解得 ，，所以 。 代回验证两个不等式： 对一切 成立，需 ，即 ； 对一切 成立，需 （ 是二次函数，）。 而若取 ，则 恰好就是 本身，不符合「三个互不相同的函数」，舍去。 综上，（）。 (3)设 ，（）．若存在函数 ，使得 为 与 在区间 上的「分割函数」，求 的最大值． 记 ，。先看两者的上下关系： ，等号只在 处取到。 所以在 （从而在 ）上恒有 ， 要满足的就是 ，。 第一步：给出 的上界。 由 即 对 恒成立， 这是开口向上的抛物线，故 都落在它的两根之间，于是 。 另一方面，由 恒成立，直线不能越过曲线 ； 把直线向上平移到不能再升，就得到与 相切的临界位置。 设切点横坐标为 （要使 尽量长，切点应取在 的递增段上，即 ），则 ，， 于是 。 代入化简：，所以 。 记 ，则 。 记 （）， 。 当 时 、，故 ， 在 上单调递减，所以 。 于是 。 第二步：说明 可以取到。取 （即 ）， 此时 ，，即直线 。 再取 ，验证： 当 时 ，故 ； 又 ，即 。 所以 在 上恒成立， 即 是 与 在 上的「分割函数」，此时 。 综上， 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数章节测试卷（提高版） （考试时间 120 分钟　满分 150 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线 是曲线 的一条切线，则切点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 或 2．已知函数 ，若关于 的方程 恒有解，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 （，）在 上单调递增，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．某质点从单位圆上的点 开始沿圆周逆时针匀速旋转，每 秒转一圈，则该质点的纵坐标在 秒时的瞬时变化率为（　　） A． B． C． D． 5．已知直线 与曲线 和 均相切，则 （　　） A． B． C． D． 6．若函数 与 的图象存在公切线，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．设函数 ．若 满足对任意的 ，都存在唯一实数 使得 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知函数 （），则下列说法正确的是（　　） A．若 是奇函数，则 B．若 是减函数，则 C． 所有零点的平方和等于 D．当 时，存在两条互相垂直的直线都与曲线 相切 10．已知函数 ，，则下列结论正确的有（　　） A． 在区间 上单调递减 B． C． 在区间 上的值域为 D．若函数 满足 ，且 ，则 在 上单调递减 11．设函数 ，则下列结论正确的有（　　） A．对任意的 ，函数 的图象存在对称轴 B．曲线 在 处的切线方程为 C．当 时，存在 使 D．当 时，函数 有 个极大值和 个极小值 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 ， 的零点为 ，极值点为 ，则 ______， ______． 13．已知函数 ，若对任意 ，，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 14．已知函数 在 内存在 个极值点，则 的取值范围为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 ，．（13分） (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，若函数 有 个零点，求实数 的取值范围； (3)当 时，对任意的 （），满足 ．证明：． 16．已知函数 ，．（15分） (1)求函数 的最值； (2)讨论函数 在 上极值点的个数； (3)设函数 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 （），且满足 ，求实数 的取值范围． 17．已知函数 ，，其中 为自然对数的底数，．（15分） (1)求函数 的单调区间； (2)①若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围； ②设 ，证明：． 18．已知函数 ，．（17分） (1)若 ，求函数 在点 处的切线方程； (2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； (3)若函数 有两个不同的零点 ，且 ，求 的取值范围． 19．三个互不相同的函数 ， 和 在区间 上恒有 或恒有 ，则称 为 与 在区间 上的「分割函数」．（17分） (1)设 ，，试分别判断 ， 是否是 与 在区间 上的「分割函数」，请说明理由； (2)若二次函数 是 与 在区间 上的「分割函数」，求 ； (3)设 ，（）．若存在函数 ，使得 为 与 在区间 上的「分割函数」，求 的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $