课时作业：数列-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心概念与综合应用，通过基础题型到复杂递推的层级设计，系统覆盖等差等比性质、求和方法及与不等式结合的高考重点，培养抽象能力与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5（选择1-5）|通项公式、等差等比基本量计算|从数列定义到通项公式推导，建立概念与符号表示的联系| |性质应用|6（选择6-8、填空12-14）|前n项和最值、性质综合判断|结合等差中项、等比性质，深化公式应用与逆向推理| |综合拓展|5（解答15-19）|递推证明、错位相减/裂项求和|从递推关系构建新数列，体现转化思想，培养模型意识|

2027届高考数学一轮复习 课时作业：数列 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：数列 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 4．已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 5．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 8．已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 10．已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（     ） A． B．数列是等差数列 C． D． 11．已知数列满足，则（   ） A．是递减数列 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 13．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 14．已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）已知数列满足，（）． (1)设，求证数列为等比数列，并求； (2)求数列的前项和． 17．（15分）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（17分）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 19．（17分）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 课时作业：数列 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：数列 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 2．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即，即，即. 3．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 【答案】D 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ;又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 4．已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 5．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算. 【详解】已知正项等比数列满足， 当时，根据等比数列的性质，若，则， 所以，即， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以，即 设数列的前项和为，则. 6．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设.所以，所以. 7．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 .故选：B 8．已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据构造法写出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据的范围判断实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 所以， 不等式对恒成立，则实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则，令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得，因为，所以不是等差数列，B错误.C选项，，，C正确. D选项，，，D正确. 10．已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（     ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用退一相减法及等比数列定义可求，即可判断A选项，再根据等差数列的定义判断B选项；利用作差法比大小可判断C选项，构造数列满足，计算数列的前项和，可判断D选项. 【详解】由，可得时，①， 当时，，两式相减，可得， 即，因数列为等比数列， 故公比为，由①可得，解得，故，故A错误； 又因，， 所以，即数列是等差数列，故B正确； 又，即，故C正确； 因，设， 则的前项和为， 所以，故D正确. 11．已知数列满足，则（   ） A．是递减数列 B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过观察数列的递推关系可知，即可判断数列的单调性，进而判断A；令，再根据即可判断B；令，再根据即可判断C；令，得到即可判断D. 【详解】对于A，易知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故A错误； 对于B，由选项A的判断知，所以，由，得， 所以，即，故B正确；对于C，由，得， 则，所以，故C错误；对于D，由，得，即， 所以，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得和，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，首项为. 则，解得，所以. 根据等差数列前项和公式有， 所以为开口向下的二次函数，对称轴：.所以当时，取最大值：. 13．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 【答案】 【分析】先利用求出参数，再根据前项和与通项的分段关系推导通项，最后验证时的适配性. 【详解】当时，，即； 当时，，因此， 由，得，解得，故， ① 当时，； ② 当且时，， 表达式对也成立，综上所述，数列的通项公式为. 14．已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，进而求出和的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ∴， ∴. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入原等式化简，即可得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）分和两种情况，结合等差数列前项和公式讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以. （2）由（1）知，则， 当时，，所以，此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上，. 16．（15分）已知数列满足，（）． (1)设，求证数列为等比数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由，得， 代入 ，所以，即， 由 ，得，所以 是以为首项，公比为的等比数列；所以 (2) 【分析】（1）通过构造新数列，代入递推式验证，从而说明其为等比数列，再结合首项求通项； （2）由第一问得到，分别求等比数列部分和等差数列部分，相加即得前 项和． 【详解】（1）略． （2）由，得，所以， 即 ，其中：， 所以：化简得 17．（15分）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义推理得证，再利用等比数列通项公式求解. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求和即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得，因此，， 所以数列的前项和. 18．（17分）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②，得，即， 则,即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）分析可得，即． 因为，所以． 19．（17分）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1)因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2)由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，，所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列，所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入，得， 两边同乘得，故数列前项的和. 学科网（北京）股份有限公司 $