第1章 §3 3.2 第2课时 基本不等式的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3　　　　　 　　　 B．－3 C．3－2 D．－1 解析　∵x＞0， ∴y＝3－≤3－2 ＝3－2. 当且仅当3x＝，且x＞0， 即x＝时，等号成立． 答案　C 2．(多选)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D.≥4 解析　设a＞0，b＞0， a2＋1－a＝2＋＞0，A成立， a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立， (a＋b)＝2＋＋≥4，故C成立， a＋≥2，b＋≥2，故D成立．故选ACD. 答案　ACD 3．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为(　　) A．4＋2 B．8 C．6 D．10 解析　＋＋＝＋＋ ＝a＋b＋≥2＝8， 当且仅当a＋b＝，即a＋b＝4， 即或时等号成立． 答案　B 4．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则ab的最小值是________，a＋b的最小值是________． 解析　由a＋2b－3ab＝0， 有3ab＝a＋2b≥2. 即3≥2， 所以ab≥(当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号)， 所以ab的最小值为. 由a＋2b－3ab＝0，可知＋＝3， 所以a＋b＝· ＝≥(3＋2)＝1＋. 当且仅当＝， 即a＝，b＝时取等号， 所以a＋b的最小值为1＋. 答案　　1＋ 5．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2. 解析　设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)． 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立． 答案　56 6．若正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值． 解析　因为x＋y＝1，所以(x＋1)＋y＝2. 所以＋＝×＝≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． 所以＋的最小值为. [关键能力·综合提升] 7．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　) A. B． C. D．1 解析　因为x＋4y－xy＝0，所以x＋4y＝xy，左、右两边同时除以xy得＋＝1， 求的最大值，即求＝＋的最小值， 所以×1＝× ＝＋＋＋≥2＋ ＝＋＝3， 当且仅当＝，即x＝6，y＝3时等号成立，所以的最大值为. 答案　A 8．(多选)已知正数x，y满足x＋y＝2，则(　　) A．xy的最大值是1 B．＋的最小值是2 C．x2＋y2的最小值是4 D．＋的最小值是 解析　由x>0，y>0，x＋y＝2，得2≥2， 所以0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时等号成立)，故A正确； ＋＝＝≥2(当且仅当x＝y＝1时等号成立)，故B正确； 因为2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝4， 所以x2＋y2≥2(当且仅当x＝y＝1时等号成立)，故C错误； ＋＝(x＋y) ＝≥＝， 当且仅当＝， 即x＝，y＝时等号成立，故D正确． 答案　ABD 9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2024年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每1万件产品的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 解析　由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x＝3－， 即t＝－1(1＜x＜3)， 设月利润为y万元， 则y＝x－32x－3－t ＝16x－－3＝16x－＋－3 ＝45.5－≤45.5－2＝37.5， 当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号， 故该公司的最大月利润为37.5万元． 答案　37.5 10．(2024·四川成都期末)如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A，B(忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点为A0，距离是2 km，B社区距离l上最近的点为B0，距离是1 km，且A0到B0的距离为4 km.点P是线段A0B0上一点，设A0到P的距离为a km. 现规划了如下三项工程． 工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将Rt△AA0P地块全部修建为面积至少为1 km2的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将Rt△BB0P地块全部修建为面积至少为0.25 km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元． 记这三项工程的总造价为W亿元． (1)求实数a的取值范围； (2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值． 解析　(1)因为Rt△BB0P地块全部修建为面积至少为0.25 km2的湿地公园， 所以S△BB0P＝×1×(4－a)≥0.25， 解得a≤3.5. 因为Rt△AA0P地块全部修建为面积至少为1 km2的文化主题公园， 所以S△AA0P＝a×2＝a≥1. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3.5}． (2)依题意可得W＝a＋＋0.1 ＝a＋＋2－＋0.1 ＝＋＋2.1≥2＋2.1 ＝2×＋2.1＝5.1， 当且仅当＝，即a＝3时等号成立． 所以当点P到A0的距离为3 km时，W最小，最小值为5.1(亿元)． [核心价值·探索创新] 11．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．λ＜ B．λ＜1 C．λ＜2 D．λ＜3 解析　∵不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立， ∴λ＜. ∵≥＝＋ ≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时取等号，∴λ＜2. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$