2026-2027学年江苏省南京市高一上学期数学第一次月考全真模拟练习卷

2026~2027学年度南京市高一上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第一册1-~3章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题 1．某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 6．对于任意的集合，，规定.若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D．或 11．已知正实数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知集合，，若，，则的值为________． 13．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 14．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合 ，集合 (1)当 时，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. (3)若 中恰好含有整数 1，2，求实数 的取值范围. 16．已知集合，非空集合． (1)若，使得，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17．（1），，比较，的大小． （2）已知正实数，满足等式，求的最小值． 18．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 19．已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市高一上学期数学10月份月考模拟练习卷全析全解 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【详解】设同时报这三个小组的学生人数是．由图可知，解得． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用集合并集的概念求解即可 【详解】集合，， 可得. 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题． 即原命题的否定命题为“，”. 4．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由作差法，举反例等方法结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，取，易得，故A错误； 对于B，取，易得，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 5．的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式化简即可得出结果. 【详解】由 ， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 6．对于任意的集合，，规定.若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据新定义将运算转化为集合差集形式，结合两集合相等的性质推导集合，的关系即可. 【详解】由新定义可知：，为属于但不属于的元素构成的集合； ，为属于但不属于的元素构成的集合， 已知，若存在，则且，显然，与矛盾，因此. 由可得：所有属于的元素都属于，即； 由可得：所有属于的元素都属于，即，所以，故A正确； 若，则，与矛盾，故B错误； 若，则，与矛盾，故C错误； 若，表示和没有公共元素，与的结论矛盾，故D错误. 7．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【详解】∵ 命题“，”为假命题. ∴ 方程无实数解. 当时，方程化为，解得，存在实根，不符合题意，舍去. 当时，方程为一元二次方程，无实根等价于判别式. 所以 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 8．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 又 ，当且仅当 时，等号成立. 两个等号可以同时取到，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【详解】选项 A，若，则，又， ，且，所以，A 正确； 选项 B，若，则，又， ，且，所以，B 错误； 选项 C，若，说明中所有元素都属于，所以全部满足，所以，C 正确； 选项 D，若，是在里面去掉属于的部分，就是在里面，去掉刚才剩下的部分，也就是中属于的元素，即，所以 ，D 正确 10．不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的要求进行判断即可. 【详解】由，可得或，解得或， 则和是原不等式成立的充分不必要条件，故B,C正确； 而和不是原不等式的解集的一部分，充分性不成立，故A,D错误． 11．已知正实数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.55 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】A.利用已知条件消元换元，将双变量乘积式转化为单变量二次函数，借助二次函数对称轴求最值并验证取值合法性；B.代入条件统一变量，化简多项式为单变量二次函数，根据二次函数最值性质求解最小值；C.换元统一变量，对根式和整体平方变形，得到是上确界，取不到；D.对复杂分式拆分变形，结合定值条件构造齐次式，利用基本不等式求最值并严格验证取等条件. 【详解】依题意，得，所以，，得， A 选项，，令， 则，开口向下的二次函数，对称轴， 当时，，此时，满足条件，故A 正确； B 选项，因为，所以， 令，，开口向上的二次函数，对称轴， 当时，，此时，故 B 正确； C 选项，由，得，则， 令， 平方得， 设，， 因为，所以，故， 故，所以是上确界，不是可取到的最大值，故C 错误； D 选项，， ， 所以， 因为，所以， 记，则， 由基本不等式得，当且仅当， 即即时取等号， 此时，得，， 满足， 即的最小值为，故D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，，则的值为________． 【答案】或 【难度】0.51 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、交并补混合运算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】分类讨论的取值，结合题设条件可得两方程有不等于且不等于的一个公共根，再由韦达定理可得答案. 【详解】若，此时，则，这与题设不符； 若，此时，易得， 若，则此时，与题设不符； 若，则此时，这与题设不符. 综上可得均不为0，注意到两集合对应方程判别式均为，则两方程根的个数相同. 若，结合，可得两方程有相同根，这与矛盾. 若，设两根为，因均不是两方程的根， 则方程，从而两根为， 又，，则两方程有不等于且不等于的一个公共根， 又为的根，则两根为， 方程两根为，从而. 当时，由韦达定理可得：，从而； 当时，由韦达定理可得：. 13．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 14．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据全称命题的真假求参数、基本不等式的恒成立问题 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合 ，集合 (1)当 时，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. (3)若 中恰好含有整数 1，2，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【难度】0.71 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由交集定义计算即可； （2）由包含关系得不等关系，从而得参数范围． （3）根据交集的结果列出不等式求解即可． 【详解】（1）， . 当 时，，所以 . （2）若 ： 当 时， ，满足条件. 当 时，需满足 . 综合得实数的取值范围是. （3）若中恰好含有整数 1，2： 要使交集恰好包含 1 和 2，则区间必须包含 1 和 2，但不包含 0 和 3. 需满足：（排除0）， （包含1）， （包含2）， （排除3）. 解得：. 16．已知集合，非空集合． (1)若，使得，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）由，使得的条件可得到A，B交集不为空，结合B非空列出不等式组，最后解不等式组求出的取值范围； （2）由必要条件推出，结合B非空列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）已知集合，非空集合， 因为，使得， 所以，   所以， 解得，即实数的取值范围是． （2）已知集合，非空集合， 因为“”是“”的必要条件， 所以，    因为， 所以， 所以，     解得， 所以实数的取值范围是． 17．（1），，比较，的大小． （2）已知正实数，满足等式，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【难度】0.78 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】(1) 即 (2) 正实数，满足等式,则， 原式 当时取等号， 所以的最小值为 18．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2) 【难度】0.22 【知识点】并集的概念及运算 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 19．已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) 因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明； （2）根据基本不等式“1”的用法求解即可； （3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $