山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题10.7

2022级高二数学第一次质量检测10.7(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知向量，，且与互相垂直，则k的值是    A. B. 2 C. D. 1 2.空间四点、、、共面，则    A. B. C. 1 D. 4 3.直线的倾斜角的取值范围是    A. B. C. D. 4.设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是     A. 相交但不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 5.如图，正四棱柱中，，若直线与直线AC所成的角为，则直线与平面所成的角为    A. B. C. D. 6.已知直线，，则“”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.设是单位正交基底，已知，，，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是  A. B. C. D. 8.如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在PG上，且，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若，，，则的值为    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本大题共4小题，共20分。 9.下列说法中，正确的有(    ) A. 过点且在x轴，y轴截距相等的直线方程为 B. 直线在y轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且倾斜角为的直线方程为 10.下列直线经过点并且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是     A. B. C. D. 11.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是    A. B. 平面 C. 向量与的夹角是 D. 直线与AC所成角的余弦值为 12.如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是    A. 当G为中点时，直线平面 B. 当G为中点时，直线AG与EF所成的角为 C. 若H是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当G在棱上运动时，直线AG与平面所成的角的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则___________. 14.已知直线l在y轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线l的斜截式方程为______ 15.直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点，则面积的最小值为          ，当面积取最小值时，直线l的一般式方程是          . 16.在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，平面平面ABCD，，点E为线段DC上的动点，平面BSE与平面ASD的夹角为，则当取最小值时，三棱锥的体积为___. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 已知平行四边形ABCD的三个顶点､､ 求顶点D的坐标； 在中，求边BC的高线所在直线的方程． 18.本小题12分 如图，在直三棱柱中，， 若三棱锥的体积为，求线段BC的长； 在的条件下，求二面角的大小. 19.本小题12分 已知直线 当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： 当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 20.本小题12分 如图，平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点． 求证：平面平面 PCD ； 求点 P 到平面 MND 的距离． 21.本小题12分 如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点. 求证：； 求直线与平面所成角的正弦值. 22.本小题12分 已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面平面 求证：在四棱锥中，； 在线段AC上是否存在点F，使二面角的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量的数量积运算与线性运算，属于基础题． 分别求出与的坐标，根据两向量垂直计算即可. 【解答】 解：，， ， ， 又与互相垂直， ，解得： 故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量共面定理，考查了计算能力，属于基础题． 利用空间向量共面的基本定理，列出关系式，化简求解即可． 【解答】 解：空间四点坐标为、、、， ，，， 四点A，B，C，D共面， 存在实数，使得，， ， ，解得， 即时，A，B，C，D四点共面. 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正切函数的图像和性质，为基础题. 由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 【解答】 解：直线的斜率为， ， ， 倾斜角的取值范围是： 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两条直线的位置关系，正弦定理的应用，属于简单题. 根据正弦定理可得，进一步可得结果. 【解答】 解：由，得两直线垂直． 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，属于基础题. 由题意得到即为直线与平面所成的角，求解即可. 【解答】 解：连接与交于点， 因为，所以即为直线与直线AC所成的角， 即 易知， 所以，得 连接，易得即为直线与平面所成的角， ，， 所以 即直线与平面所成角为 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查充要关系的判断、两直线平行. 先根据直线求出a的值，再判断充要关系即可. 【解答】 解：若，则，解得或 当时，直线的方程为， 直线的方程为，两直线重合， 所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的加减运算及坐标表示，空间向量的基本定理，属于较易题. 由已知可得，再化简即可得到结果. 【解答】 解：依题意，知 ， 所以向量在基底下的坐标是 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了空间向量的运算，以及空间向量基本定理，属于中档题. 选定一组基底以后，，从不同的途径将表示出来，根据分解的唯一性，最后表达式是唯一的，即可得出的值. 【解答】 解：连接AG并延长，交 BC于点H，由题意， 可令作为空间向量的一组基底， 连接因为点D，E，F，M共面，所以存在唯一的实数对， 使， 即， 所以 由空间向量基本定理，知，，， 所以， 故选 9.【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了直线的应用，是基础题. 根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案. 【解答】 解：A选项，直线过点且在x轴，y轴截距相等，所以A选项错误.   B选项，直线在y轴上的截距是，B选项错误. C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确. D选项，过点且倾斜角为的直线方程为，D选项正确. 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查直线方程的求解，属于基础题. 当截距为0时，设直线的方程为：，将点代入求得k的值，当截距不等于0时，设直线的方程为：，将点代入求得a的值即可求解. 【解答】 解：当截距为0时，设直线的方程为：， 将点代入可得，可得，所以，即， 当截距不等于0时，设直线的方程为：，， 将点代入可得：，解得：， 所以直线的方程为：，即， 所以直线的方程为：或， 故选： 11.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换逐一判断A、B、C、D的结论． 【解答】 解：在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 所以， 故， 整理得：，故A错误； 对于B：由于底面ABCD为菱形，所以， 由于， 所以，，且AC，平面故平面，故B正确； 对于C：由于，为等边三角形， 所以和的夹角为，故向量与的夹角是，故C错误； 对于D：，， 易解得，， 由于， 所以，故D正确． 故本题选 12.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查正方体结构特征，利用空间向量判断线面平行，面面垂直，异面直线所成角，线面角，属于较难题. 以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量，结合线面平行的向量表示，直线与直线所成角的向量求法，面面垂直的向量表示，直线与平面所成角的向量求法，可得结果. 【解答】 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设， 当G为中点时，， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则可得， 因为，所以， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为， 所以当G为中点时，直线AG与EF所成的角为，故B错误； 若，设， 又， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 因为，所以平面平面，故C正确； 因为，易得平面的一个法向量为， 设直线AG与平面所成的角为， 则， 则当时，取得最大值为，所以直线AG与平面所成的角的最大值为，故D正确. 故选： 13.【答案】1  【解析】【分析】 本题考查空间向量数量积运算、向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 根据，能求出结果． 【解答】 解：四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，如图， ， 则 故答案为： 14.【答案】y=x  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，斜截式方程，属于基础题． 由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得直线的斜率，即可得到答案． 【解答】 解：直线在l在y轴上的截距为4，倾斜角为，且， ==，斜率==， 直线l的斜截式方程为y=x， 故答案为：y=x. 15.【答案】4 ；   【解析】【分析】 本题考查直线的截距式方程和一般式方程，基本不等式的应用，属于中档题. 由题意设直线l的方程为，再将点的坐标代入直线方程中利用基本不等式可求出，从而可求出面积的最小值及直线l的方程. 【解答】 解：设直线l的方程为， 因为直线l过点，所以 又因为，即，即， 当且仅当，即，时取等号. 所以，此时直线l为， 即直线l的一般式方程是 故答案为：4； 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二面角，面面垂直以及锥体体积，空间向量法的应用，属于拔高题. 以建立空间直角坐标系，利用法向量结合平面BSE与平面ASD所成的二面角为，即可求解的最大值此时最小，进而即可求解此时三棱锥的体积. 【解答】 解：平面 平面 ABCD，  AD， 平面 平面 ，SD 平面ASD，则平面ABCD， CD 平面ABCD，所以  CD，又 AD， 所以以建立如图空间直角坐标系， 设，  所以 ， 因为  CD， AD，又SD  ，且 SD、AD均在平面ASD内，所以平面ASD， 所以易得  是平面ASD的一个法向量， 而  ， 设平面 BSE的法向量为 ， 所以 ，取，则 ， 所以 ， 当 取最小值时， 最大， 又 ， 故 时， 最大， 所以三棱锥  ASD的体积， 故答案为 17.【答案】解：设平行四边形的中心为 E， E为 AC和 BD的中点， 其中，则，设，则有 ， 解得：，故 D点的坐标为； 易知直线 BC的斜率为，所以 BC的高线所在直线的斜率为， 的高线所在的直线方程为，即  【解析】本题考查中点坐标公式、直线的斜率公式和点斜式方程，属于基础题. 设平行四边形的中心为 E， E为 AC和 BD的中点，则由中点坐标公式求出E，设，则有 ，求出x，y，即可求出D点坐标； 由直线斜率公式求出BC的斜率，进而可得 BC的高线所在直线的斜率，然后再由直线的点斜式方程即可求解. 18.【答案】解：根据直棱柱性质，侧棱    ， 又  平面  ，  平面  ， 故  平面  ， 故  到平面  的距离等于 B 到平面  的距离，即  ， 而  ，解得  ，而  ，解得  . 根据直棱柱的性质，题干的条件可知，  两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则  ，设平面  的法向量  ， 由  ， 则由  可得  ， 不妨取  ，则  ，故  ； 设平面  的法向量  ， 由  ， 则由  可得  ， 不妨取  ，则  ，故  ， 结合几何体特征可知二面角  的大小是锐角， 由 ⟨⟩ ， 故二面角的大小是    【解析】本题考查棱锥的体积，利用空间向量法求解二面角，属于中档题. 利用线面平行的判定和性质结合等体积法即可求解； 建立空间直角坐标系，利用空间向量法即求解. 19.【答案】解：由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ，解得：，或， 经检验，，均符合要求. 当时，l的方程为： 即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为： l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为   【解析】本题考查直线的截距与直线的斜率知识的应用，考查计算能力，转化思想． 先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； 考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 20.【答案】证明：平面ABCD，，、AD、AP两两互相垂直， 如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，，， ，，， 设是平面MND的一个法向量， 可得，取，得，， 是平面MND的一个法向量， 同理可得是平面PCD的一个法向量， ，， 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直， 所以平面平面PCD； 解：由得是平面MND的一个法向量， ，得， 点P到平面MND的距离  【解析】本题在四棱锥中证明面面垂直，着重考查了利用空间向量中点到平面的距离，属于中档题． 作出空间直角坐标系，根据题中数据可得 、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为 和 ，算出 ，可得，从而得出平面平面PCD； 由中求出的平面MND法向量 与向量 ，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离． 21.【答案】证明：分别取BC、的中点O、，连接、、AO， 为正三角形， ， 平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面， 同理可得，平面， ， 、、O、A四点共面． 等腰梯形中，O、分别为BC、的中点， ， 又，，AO、平面， 平面， 平面， 解：由知，平面， 平面， ， ，OA，OB两两垂直， 故以O为原点，OA、OB、所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，， 设直线与平面所成角为， 则，， 故直线与平面所成角的正弦值为   【解析】本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 分别取BC、的中点O、，连接、、AO，则，由平面平面ABC，推出平面，同理可得，平面，故，即、、O、A四点共面；易知，而，于是有平面，故而得证； 由知，平面，得，于是，OA，OB两两垂直，故以O为原点，OA、OB、所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，即可得解． 22.【答案】证明：由题可知，，又，可得， 又平面平面BCDE，平面平面，平面BCDE， 所以平面ABE，又平面ABE， 所以，又， ，平面AEC， 所以平面AEC，又平面AEC， 即得 解：易知和均为等腰直角三角形，过点A作底边BE的高，交BE于O点，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 可得平面ABE的一个法向量， 假设在线段AC上存在点F，使二面角的余弦值为， ，，，， 则，， 设，则， 又，设平面BEF的一个法向量为， 可得，即 令，则， 那么可得， 解得， 所以当点F是线段AC靠近A的四等分点时，二面角的余弦值为  【解析】本题考查直线与直线的位置关系，利用空间向量求二面角的余弦值，空间向量的探索性问题，属较难题. 要证，只要证平面AEC即可，再根据条件求出答案即可. 本题为探索性问题，假设存在，则有，再求出两个平面的法向量，列出方程，求出即可，如果求不出，则不存在. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $