3.2 探索三角形相似的条件 拓展作业2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 拓展作业2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 6．下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 7．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 8．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 10．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为_____． 11．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）．    12．若，点C为线段上的黄金分割点，且，则______．（结果保留根号） 13．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 三、解答题 14．如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 15．已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 16．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 17．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 18．宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程： 如图，线段的长为2．①过点B作的垂线，在上截取，连接；②以点E为圆心，的长为半径作弧交于点；③过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径作弧，在直线的上方交于点．④过点作的平行线交于点．则四边形即为所求作的黄金矩形． 结合阅读，根据上述尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下列推理与计算． 证明：四边形为平行四边形…… 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C D D D A 1．【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 结合“两角对应相等”、“两边对应成比例且夹角相等”等判定规则对选项进行分析即可． 【详解】解：已知， 选项：，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，则，即，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，即，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可判定； 选项：成比例的两边是与、与，它们的夹角并非已知的、，不一定能判定． 故选：． 4．【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵这三部分长度的比满足，， ∴， 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【详解】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 6．【答案】D 【知识点】判断命题真假、相似图形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了命题，相似多边形的判定条件，即对应角相等且对应边成比例．选项A、B、C均无法保证所有对应角相等或对应边成比例，而选项D的等腰直角三角形所有对应角都相等，且对应边成比例，因此一定相似，即可作答． 【详解】解：A、菱形的对应角不一定相等，故该选项不符合题意； B、边长相等的六边形对应角不一定相等，故该选项不符合题意； C、有一个角相等的两个等腰梯形，它们的对应角一定都相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故该选项符合题意； 故选：D 7．【答案】D 【知识点】黄金分割 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 9．【答案】和 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】 / 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，解决本题的关键是设出未知数并代入求解． 根据黄金分割点的定义，点为线段的黄金分割点且，则是的较大部分，满足，设，列方程求解． 【详解】解：设，则， 由黄金分割点的性质得， 整理得， 解方程得， 取正值， 故． 故答案为：． 13．【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 14．【答案】 解：如图点即为所求， 【知识点】作线段(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查尺规作图，三角形相似的判定，平行线的性质，根据题意，作即可． 【详解】略 15．【答案】 证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】略 16．【答案】 ．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】略 17．【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 18．【答案】(1)如图所示： (2)证明：，， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）． 在中，，， ， ， ， ， 即：矩形为黄金矩形． 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、黄金分割 【分析】（1）根据题意按照尺规作垂线，线段垂直平分线，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明四边形是矩形，再由勾股定理求得，由得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $