拓展02 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义，核心10大题型）高二数学上学期人教A版

拓展02 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与方程有交点问题 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，忽略夹角与斜率之间的关系 直线中的平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 距离问题 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 对称问题 掌握点关于点对称、点关于直线对称 直线关于点对称、直线关于直线对称 高频易错点，对称问题的关键要处理好解题思路和提升计算能力 圆的轨迹方程 会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 圆中的弦长问题 理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 基础必考点，熟练掌握弦长公式 圆中的切线问题 掌握切线方程、切线长、切点线等问题的解题技巧. 高频易错点，注意切点的所在位置 公共弦与公切线问题 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 直线与圆中的最值（范围）问题 掌握三点共线、几何意义等典型的最值问题. 重难必考点，特别是识别所给式子的几何意义 知识点01 直线的斜率与倾斜角的关系 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 知识点02 两条直线平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点03 距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点04 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点05 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点06 圆与圆的公共弦与公切线 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点07 对称问题 一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 知识点08 直线与圆的最值（范围）问题 一、与圆有关的最值与范围问题的常用技巧 1、数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2、建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3、利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4、多与圆心联系，转化为圆心问题. 5、参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 二、与对称有关的三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、弦长长度的最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 直线与方程有交点问题 解｜题｜技｜巧 求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 1．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·月考）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为 . 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 6．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 题型二 直线中的平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、已知直线与直线,则①,且； ②. 2、已知直线,直线,则①且(或)；②. 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 2．（25-26高二上·辽宁·月考）平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（   ） A．或3 B．3 C． D．以上都不对 3．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·青海西宁·月考）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 题型三 距离问题 解｜题｜技｜巧 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 1．（25-26高二上·山西临汾·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽亳州·月考）直线与之间的距离为，则实数等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知两直线，若 ，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏淮安·月考）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 6．（25-26高二上·天津滨海新·月考）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 题型四 对称问题 解｜题｜技｜巧 1、直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； 2、点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型五 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 （1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． （2）定义法：根据圆的定义列方程求解． （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． （4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 1．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知圆，点，点. (1)过点作圆的切线，求出的方程； (2)设为圆上的动点，为三角形的重心，求动点的轨迹方程. 题型六 圆中的弦长问题 解｜题｜技｜巧 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·宁夏银川·月考）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二下·河南·月考）已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（   ） A． B．3 C．或3 D．3或13 4．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南·月考）已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 7．（25-26高二上·河北保定·月考）已知动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． 题型七 圆中的切线问题 解｜题｜技｜巧 求切线方程的常用方法： 1、求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. 2、求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 1．（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 4．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 7．（25-26高二上·重庆·月考）经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为 ． 8．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 1．（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北保定·月考）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西临汾·月考）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 题型九 直线与圆中的最值（范围）问题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江·月考）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 7．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·陕西商洛·月考）（多选题）已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 10．（25-26高二上·山东菏泽·月考）（多选题）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 11．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 题型十 直线与圆中的新定义问题 1．（24-25高二上·安徽·期中）已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二上·江苏泰州·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 4．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于M、N两点，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·重庆·月考）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 5．（25-26高二上·江西·月考）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B．或 C．或 D． 9．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 14．（25-26高二上·广东广州·月考）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 16．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·河南开封·期中）已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 20．（25-26高二上·安徽·月考）（多选题）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 21．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 22．（25-26高二上·江苏苏州·月考）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ．（用弧度制表示，写成区间形式） 23．（25-26高二上·天津·月考）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则 . 24．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 25．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 26．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 27．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 28．（25-26高二上·上海·月考）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为 ． 29．（25-26高二上·河北唐山·月考）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 30．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知圆M过，，三点． (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 31．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 32．（24-25高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林长春·月考）点满足方程，则的最小值为（    ） A．17 B．19 C．23 D．25 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）（多选题）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线C的切线，则切线方程为 D．的最小值是 4．（24-25高二上·辽宁大连·月考）（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若对于三点，则“”当且仅当“点在线段上” C．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 D．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 5．（25-26高二上·山东枣庄·月考）已知实数满足，则最小值为 . 6．已知，，则的最小值为 . 7．（24-25高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展02 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与方程有交点问题 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，忽略夹角与斜率之间的关系 直线中的平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 距离问题 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 对称问题 掌握点关于点对称、点关于直线对称 直线关于点对称、直线关于直线对称 高频易错点，对称问题的关键要处理好解题思路和提升计算能力 圆的轨迹方程 会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 圆中的弦长问题 理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 基础必考点，熟练掌握弦长公式 圆中的切线问题 掌握切线方程、切线长、切点线等问题的解题技巧. 高频易错点，注意切点的所在位置 公共弦与公切线问题 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 直线与圆中的最值（范围）问题 掌握三点共线、几何意义等典型的最值问题. 重难必考点，特别是识别所给式子的几何意义 知识点01 直线的斜率与倾斜角的关系 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 知识点02 两条直线平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点03 距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点04 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点05 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点06 圆与圆的公共弦与公切线 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点07 对称问题 一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 知识点08 直线与圆的最值（范围）问题 一、与圆有关的最值与范围问题的常用技巧 1、数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2、建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3、利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4、多与圆心联系，转化为圆心问题. 5、参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 二、与对称有关的三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、弦长长度的最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 直线与方程有交点问题 解｜题｜技｜巧 求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 1．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或.    故选：D 3．（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 4．（25-26高二上·江苏·月考）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线，的斜率分别为： ，， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得， 故答案为： 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据直线与线段相交可得出直线斜率范围，再由正切函数的性质得出倾斜角的范围. 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图，    所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 6．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 题型二 直线中的平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、已知直线与直线,则①,且； ②. 2、已知直线,直线,则①且(或)；②. 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 【答案】D 【分析】根据两直线垂直时的斜率关系求解即可，注意讨论斜率是否存在. 【详解】当，即时，则直线的斜率不存在，此时直线的斜率， 所以直线与直线垂直，满足条件， 当时，直线的斜率存在，且斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以， 解得； 综上，的值为5或2， 故答案为：D. 2．（25-26高二上·辽宁·月考）平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（   ） A．或3 B．3 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据两条直线平行的充要条件直接可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若，则，故， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·青海西宁·月考）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 题型三 距离问题 解｜题｜技｜巧 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 1．（25-26高二上·山西临汾·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两平线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线，即，其斜率为，纵截距为， 又，其斜率为，纵截距为，所以两直线平行， 则间的距离为， 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 3．（25-26高二上·安徽亳州·月考）直线与之间的距离为，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行直线间距离公式直接构造方程求解即可. 【详解】直线方程可化为：， 可知直线与平行， 两条直线之间的距离，解得：或， 又，. 故选：B. 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知两直线，若 ，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线的方程化为一般式，利用平行的条件求得，进而利用两平行线间的距离为公式求解即可. 【详解】直线的方程化为一般式为， 又因为， ，所以，解得， 所以的方程为，即， 所以与间的距离为. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏淮安·月考）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 【答案】D 【分析】利用斜率与直线的位置，确定四边形形状，进而求解. 【详解】由题可得， 所以， 又因为 所以四边形有且仅有一组对边平行，即为梯形. 直线方程：，直线方程：， 两条平行直线之间距离为：， 又， 所以梯形面积为：. 故选：D 6．（25-26高二上·天津滨海新·月考）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 题型四 对称问题 解｜题｜技｜巧 1、直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； 2、点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 2．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 5．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 题型五 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 （1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． （2）定义法：根据圆的定义列方程求解． （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． （4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 1．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 2．已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 3．（25-26高二上·湖南·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 5．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知圆，点，点. (1)过点作圆的切线，求出的方程； (2)设为圆上的动点，为三角形的重心，求动点的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别研究切线的斜率不存在与斜率存在时求解即可. （2）设，，由重心性质可得，结合点为圆上的动点求解即可. 【详解】（1）由题意知，圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意， 当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以，解得， 此时切线的方程为，即. 综述，切线的方程为或. （2）如图所示，    设，， 因为，，为的重心， 所以，即， 又因为点为圆上的动点，则， 所以，整理得. 即动点的轨迹方程为. 题型六 圆中的弦长问题 解｜题｜技｜巧 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 2．（25-26高二上·宁夏银川·月考）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 3．（24-25高二下·河南·月考）已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（   ） A． B．3 C．或3 D．3或13 【答案】D 【分析】根据题意可知，进而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】因为圆，即圆心坐标为，半径， 因为的周长为10，所以， 则圆心到直线的距离， 解得或13. 故选：D. 4．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 5．（24-25高二下·湖南·月考）已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记圆心为，由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可. 【详解】由题意，圆的方程可化为，圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 当直线与所在直线垂直时，最大，此时，当最大时，最小， 所以最小的弦长. 故选：D. 6．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质求出点坐标，进而求出直线方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求得线段长度，最终求出. 【详解】 设，根据题意，点与点关于直线对称， 因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直. 即，.化简得. 因为点Q在圆C上，所以，即. 两式结合，得，，即点坐标为. 所以直线的方程为. 设线段中点为，连接. 圆心到直线的距离. 又因为圆的半径为，所以. . 所以. 故选：C 7．（25-26高二上·河北保定·月考）已知动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【详解】（1）设，则， 即 化简得； 所以曲线的方程为： （2）由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，所以，故满足题意 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为 所以 解得 所以的方程为， 即的方程为 综上所述，直线的方程为和 题型七 圆中的切线问题 解｜题｜技｜巧 求切线方程的常用方法： 1、求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. 2、求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 1．（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 2．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 3．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 4．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 5．（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 6．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或，故答案为：或， 7．（25-26高二上·重庆·月考）经过点的直线与圆相切于，两点，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据圆的性质和勾股定理求出切线长，再将四边形面积分割成两个三角形的面积求解即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径， 如图，连接，则， 因为，是圆的切线， 所以，， 所以， 所以四边形的面积， 故答案为：12. 8．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 （2）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 1．（25-26高二上·江西九江·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 2．（25-26高二上·河北保定·月考）已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】先判断圆的位置关系，由圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以两圆相离，所以圆与圆公切线条数有4条. 故选：A 3．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 4．（25-26高二上·山西临汾·月考）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    题型九 直线与圆中的最值（范围）问题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）求点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点，    所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 4．（25-26高二上·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 5．（25-26高二上·黑龙江·月考）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合，结合圆的性质以及点关于直线的对称点的性质，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】圆:的圆心，半径 ，当、、三点共线（点在、两点之间）时，取等号， 点关于轴的对称点为，， 当、、三点共线时，取等号.    所以的最小值为. 故选：B. 6．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    7．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答. 【详解】点在直线上， 圆的圆心，半径，而点在圆上，则， 因此，令点关于直线对称点，， 则有，解得，即， 因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点， 所以当点与重合时，，. 故选：C 8．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 9．（25-26高二上·陕西商洛·月考）（多选题）已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 【答案】ACD 【分析】由题可得，即可求出定点，可对A判断求解；由题可将圆化成标准式并求出圆心及半径，由可转化为原点到圆上一点距离值的平方，即可求解对B判断；作出相应图象，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，即可对C判断；求出圆心到直线的距离，分情况讨论、时的取值情况即可对D判断. 【详解】A：由题可得，即，解得，所以直线恒过定点，故A正确； B：由题可得圆：，即圆心，半径， 因为圆上任意一点，则， 则等价于原点到圆上一点距离值的平方， 即，则的最大值为，故B错误； C：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，，，且，故C正确； D：圆心到直线的距离，当时，； 当时，，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·山东菏泽·月考）（多选题）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【分析】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【详解】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据所求式子，转化为直线斜率问题，利用圆与直线有公共点求解； （2）令，根据直线与圆有公共点，借助圆心到直线的距离求解即可； （3）配方后，转化为两个圆有公共点，利用圆心距离与半径关系求解即可. 【详解】（1）方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率， 设过点的直线的斜率为， 则，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以 的最小值为； （2）令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； （3）=，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离， 因为，所以，即， 所以， 故 的最小值为9； 题型十 直线与圆中的新定义问题 1．（24-25高二上·安徽·期中）已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 【答案】C 【分析】根据点在圆上得到的值，然后根据定义求“镜像距离”即可. 【详解】由题意得，， 有四种情形： ，，； ，，； ，，； ，，. 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用新定义推理判断①；举例说明判断②③. 【详解】对于①，点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，①正确； 对于②，取，则，②错误； 对于③，取，则，③错误， 所以真命题的个数为1. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏泰州·开学考试）（多选题）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 【答案】ABD 【分析】易知A正确；对于B，根据定义直接计算即可判断；对于C，由定义得，即等号至少有一个成立，可得动点R的轨迹为正方形即可判断；对于D，设， 则，接着分情况讨论得到最值即可． 【详解】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误；    对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 4．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由，利用点M“距离坐标”的定义，结合点到直线距离公式列式求出轨迹方程. （2）设出点M的坐标，利用点M“距离坐标”的定义列出方程组求解即得. （3）设点，再求出点关于直线对称点的坐标，由光的反射定律结合向量共线的坐标表示求出，进而求出点的坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点M到直线，的距离相等，设点， 则，即，整理得或， 所以点的轨迹方程为或． （2）设点，依题意，，解得或或或， 所以点的坐标为. （3）设点，点关于直线对称点，关于直线对称点， 当时，，解得， 点，当时，满足上式，因此点， 当时，，解得，点， 当时，满足上式，因此点，    由光的反射定律知，点共线，由点在线段上，得， 而， 因此，解得，， 直线，由，得点， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以点的“距离坐标”为. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于M、N两点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知及向量模长的定义，应用几何法求直线与圆的相交弦长即可得. 【详解】由，一般式为， 由的圆心为，半径为2， 所以到的距离为， 综上，. 故选：D 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，故， 两边平方得，解得或. 故选：D 4．（25-26高二上·重庆·月考）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 5．（25-26高二上·江西·月考）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 6．已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【详解】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 8．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由直线方程知直线过定点，求出的斜率，结合图象得直线的斜率满足的关系，从而得的范围. 【详解】直线过定点，，， 由于，所以直线的斜率满足或，所以或. 故选：C    9．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值. 【详解】当时，圆心到直线l的距离最短，最大， 因为的最大值为， 在，中，，，所以， 当最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得（舍）或． 故选：C 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 11．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 13．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】B 【分析】对于A项，求出直线经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得，解得.故D项正确. 故选：B 14．（25-26高二上·广东广州·月考）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 15．（23-24高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 16．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 17．（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值． 【详解】，所以当时，最小， 由点到直线的距离公式可得此时 ， 过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点， 由于关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点就是点， 所以的最小值等于， 故选：C． 18．（24-25高二上·河南开封·期中）已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线C表示以为圆心，以1为半径的圆，先求得点关于直线的对称点，然后由求解. 【详解】解：如图所示： 曲线，即为， 表示以为圆心，以1为半径的圆， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 连接，， 则， ， 当且仅当共线时，等号成立， 所以则的最小值是， 故选：C 19．（多选题）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 20．（25-26高二上·安徽·月考）（多选题）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 21．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【详解】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 22．（25-26高二上·江苏苏州·月考）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ．（用弧度制表示，写成区间形式） 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】    因为，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为 又直线倾斜角的范围是：，且， 所以直线l的倾斜角的范围为. 故答案为：． 23．（25-26高二上·天津·月考）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则 . 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值. 【详解】可化为，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相离， 故，，则. 故答案为： 24．（25-26高二上·重庆·月考）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中，， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 故答案为：2    25．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（限制条件写成或也可以） 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，， 由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为， ，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：（限制条件写成或也可以） 26．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设的坐标，利用平面向量线性运算与模的坐标表示，结合求轨迹的相关点法即可得解. 【详解】依题意，设，又，， 则，，， 因为，所以， 则，故， 因为，所以， 所以，则， 所以D点的轨迹方程为. 故答案为：. 27．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 28．（25-26高二上·上海·月考）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】确定点的轨迹，的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 【详解】设点，由可得点的轨迹是如图以为中心的正方形， 其中点离圆较远时，（由，得；由，得）. 因为点在圆即上运动， 所以的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 因为，， 圆的半径， 所以， 故答案为. 29．（25-26高二上·河北唐山·月考）给出两条直线，，其中. (1)设，求； (2)求的值，使得 【答案】(1) (2) 【分析】直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以时， （2）当时，即时， 30．（25-26高二上·吉林长春·月考）已知圆M过，，三点． (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可； （2）分为直线l的斜率存在和不存在两种情况来讨论，根据弦长公式列式求出斜率，即可求解. 【详解】（1）设圆M的方程为． 把，，三点分别代入方程可得： ， 解得，，， 所以圆M的方程为，其标准方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为． 此时到直线l的距离， 弦长，满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 圆心到直线l的距离． 因，弦长公式得， 两边平方解得．所以，两边平方得． 展开得，移项可得． 则直线l的方程为，即． 综上所得，直线l的方程为或． 31．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 32．（24-25高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析， 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. （3），设， 联立消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以，所以点在定直线上. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 2．（25-26高二上·吉林长春·月考）点满足方程，则的最小值为（    ） A．17 B．19 C．23 D．25 【答案】A 【分析】根据题意将表达式转化为，求出轴上一定点使其满足，求出的最小值即可得出结论. 【详解】易知， 设在轴上存在一定点使得点在圆上任意移动时均有， 设，则有， 整理可得，又， 因此可知，即； 当时，存在点满足； 显然点在圆内， 所以； 当且仅当三点共线时，取得最小值17，如下图所示：    故选：A 3．（25-26高二上·吉林长春·月考）（多选题）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线C的切线，则切线方程为 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】求出的范围，再利用一次函数性质求出最大值判断A；利用目标函数的几何意义求出最大值判断B；求出切线方程判断C；利用点到直线距离求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，由，得，解得， 因此，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，表示圆上的点与点确定直线的斜率，如图，    设，即，由圆心到直线的距离， 即，解得，因此的最大值为，B正确； 对于C，显然点在圆C上，与圆心确定直线的斜率为， 因此所求切线斜率为，方程为，即，C正确； 对于D项，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图，    又圆心C到直线的距离， 则圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 因此的最小值为，D错误. 故选：ABC 4．（24-25高二上·辽宁大连·月考）（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若对于三点，则“”当且仅当“点在线段上” C．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 D．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 【答案】AD 【分析】由定义可以即可判断A选项，由数形结合即可判断出B选项，CD选项是求点与点的“曼哈顿距离”距离，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可得出判断. 【详解】对于A选项：由定义可知，故A选项正确； 对于B选项：设点，， 则， 显然，当点在线段上时，，，∴成立， 如图：过点作轴，过点作轴，且相交于点，过点作与，过点作与， 由图可知显然此时点不在线段上，故B选项不正确； 对于CD选项： ∵当时， ∴想要最小，点到直线距离最小时取得， ∴过原点作直线交圆于， 如图： 设，则 ∴ 设点，则 又∵当， ①当时，由 ； ①当时，由 又∵； ∴的最小值为：.故C选项错误，D选项正确. 故选：AD 5．（25-26高二上·山东枣庄·月考）已知实数满足，则最小值为 . 【答案】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 6．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·重庆·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析， 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. （3），设， 联立消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以，所以点在定直线上. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $