2026-2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考模拟卷1

2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-26章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：将方程，整理得，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：方程中，未明确，当时方程变为一元一次方程，不一定是一元二次方程，不符合题意； 选项D：将方程，整理得，是一元二次方程，符合题意． 2．用配方法解方程时，原方程应变为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 3．二次函数图象的顶点坐标是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 4．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 5．若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 【答案】C 【分析】将根代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 6．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 7．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 8．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 9．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 10．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 11．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 12．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（     ） ①；②；③；④当时，；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即 ，得，由图象与轴的交点可得， ，故①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即 ，解得，即，故②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 综上，①②③⑤正确，共4个． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．设一元二次方程的两个根为，，则______，______． 【答案】 4 1 【分析】对于一元二次方程，直接利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 根据根与系数的关系，得，． 14．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程判别式与根的情况关系，由题意得到判别式大于，代入方程系数计算后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有不相等实数根， ，，， ∴，解得． 15．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）提取公因式，用因式分解法求解方程； （2）提取公因式，用因式分解法求解方程． 【详解】（1）解： 提取公因式得 可得或 解得：， （2）解： 提取公因式得 可得或 解得，． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 20．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．    (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 【答案】(1)矩形鸡舍的长为，宽为 (2) 解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为平方米． 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键． 21．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 22．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 23．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-26章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变为（     ） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（　 　） A． B． C． D． 4．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 5．若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 6．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 7．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（     ） A． B． C． D． 8．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 9．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 10．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 11．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 12．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（     ） ①；②；③；④当时，；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．设一元二次方程的两个根为，，则______，______． 14．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 15．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．    (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 21．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 22．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 23．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $