2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考模拟卷1

2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．方程化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 6．若是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 7．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 8．如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 9．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 12．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．在菱形中，，则_______． 14．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 15．已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__________． 16．在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)求矩形的面积． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． (1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． (2)已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 21．如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 22．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 23．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 2．方程化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将方程移项，化为一般形式为，则，，. 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 5．对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 6．若是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用一元二次方程中根与系数的关系求解． 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 7．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 8．如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用正方形性质证明，推出，根据三角形外角性质得到，利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中，， ， ， ， ， ， 即是直角三角形， 点为的中点， ． 9．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 10．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 11．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题结合新定义“倍根方程”，考查一元二次方程的解法和根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足倍根方程定义， ①正确； ②的两根为，， 方程是倍根方程，分两种情况： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 解方程可得，， 即，， 因为，所以该方程是倍根方程，故③正确， ④设的两根为， 由根与系数的关系得： ，即，得， ，即， 将代入得， 两边同乘，整理得，故④正确； 综上，①③④正确． 12．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质可得的面积为，再根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积为，同样的方法可得平行四边形和平行四边形的面积，然后归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 矩形的面积为5， 的面积为， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积为， 同理可得：平行四边形的面积为， 平行四边形的面积为， 归纳类推得：平行四边形的面积为，其中为正整数， ∴平行四边形的面积为． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．在菱形中，，则_______． 【答案】70 【分析】已知菱形中，利用菱形邻边相等的性质得到等腰，结合三角形内角和定理即可计算． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 15．已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：方程可化为， ∵关于的方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 16．在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，按此规律继续摆放，则________； 【答案】16 【分析】如详解图，先利用一线三等角模型得到，得到，再由勾股定理得到，同理得到的值，，的值，然后都加起来即可得到答案． 【详解】解：如图， 图中的四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 同理可得：，，， ． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)求矩形的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据矩形性质得出，由，得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得； （2）由勾股定理求出，再根据矩形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴． 则矩形的面积是：． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． (1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． (2)已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】(1)该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而解方程求出答案． 【详解】（1）解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为； （2）设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 21．如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是中点、推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形是平行四边形，最后通过证明平行四边形是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形是矩形， ∴，． ∵在中，， ∴． 22．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①； ②，理由如下： 由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， (3)或 【分析】（1）由折叠得为的垂直平分线，，连接得，故为等边三角形，在中得，由折叠得； （2）①由折叠得，正方形中，故．由折叠得，故．在和中，证全等，得．由（1）得，故，从而，解得． ②同①证，即可得； （3）设，由折叠得．当在靠近的一侧，由正方形边长为8及是的垂直平分线得，．由得，．由（2）中全等得，故．在中，由勾股定理列方程，解得．当在靠近的一侧，同理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，是的垂直平分线，， 连接，可得， ， 为等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，， ． （2）解：①由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可得， ， ②略 （3）解：如图，当在靠近的一侧， 设， 由折叠可知，，是的垂直平分线， 在正方形中，，， ，， ， ， 由（2）可得，， ， ， 在中， ，即， 解得， 如图，当在靠近的一侧， 设， 同理可得，，，， 在中， ，即， 解得， 综上， 或． 23．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $