第1～3章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1-3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：浙教版九上第1章 二次函数；第2章 随机事件的概率；第三章 圆 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2026·陕西·模拟预测）已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）函数是二次函数，则______，将函数沿x轴翻折后所得抛物线的解析式为______． 10．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，是的弦，C是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 _______． 13．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 14．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是_______．    15．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加______平方米． 16．（24-25九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，等腰中，，点为斜边中点，点在上且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的最小值为_______，最大值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 18．（本题8分）（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． （1）若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． （2）小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 19．（本题8分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 20．（本题8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为W（元）． （1）求y与x的函数解析式； （2）求日销售利润W与销售单价x的函数解析式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润． 21．（本题10分）（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，且． （1）求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积 22．（本题10分）（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点． （1）___________，___________； （2）求点B的坐标； （3）求的面积； （4）直接写出时x的取值范围． 23．（本题10分）（2025·广东佛山·二模）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． （1）如图，当经过圆心时，证明：； （2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 24．（本题12分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上，且坐标为，点D为直线下方抛物线上的一点，连接与交于点E．点P是线段上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当时，则的面积为 ； （3）当时，求点D的坐标； （4）的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：浙教版九上第1章 二次函数；第2章 随机事件的概率；第三章 圆 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与取出的2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解：列表得： 白 白 红 红 白 白白 白红 白红 白 白白 白红 白红 红 红白 红白 红红 红 红白 红白 红红 ∵共有12种等可能的结果，取出的2个球的颜色不相同的有8种情况， ∴取出的2个球的颜色不相同的概率为． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长． 解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 3．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 4．（2026·陕西·模拟预测）已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点O作，根据垂径定理得出，再由勾股定理即可求解． 解：连接，过点O作， ∵，⊙O的半径为，的弦长为， ∴，， 由勾股定理得： ∴弦的弦心距为 故选C． 【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出长． 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知，满足的的值为，然后利用概率公式求解即可． 解：∵函数中随增大而增大， ∴，解得， ∵，为整数， ∴的取值为，共7种等可能结果，其中满足的值为，共3种， ∴所求概率． 7．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 8．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）函数是二次函数，则______，将函数沿x轴翻折后所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义列方程和不等式求解，再利用沿轴翻折的坐标变化规律求新抛物线解析式． 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴， ∴函数解析式为， ∵抛物线沿轴翻折时，任意点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数， ∴翻折后满足， 整理得． 10．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，是的弦，C是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 _______． 【答案】32 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．如图，过点O作的垂线，垂足为D，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，在中利用勾股定理得出的长，进而得出点C到距离的最大值为8，代入数据即可求得三角形面积最大值． 解：如图，过点O作的垂线，垂足为D，延长交于点，连接，，， ，， ， 在中，， ， 点C到距离的最大值为8， 面积的最大值为． 故答案为：32． 13．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 解：（1）∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． 14．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是_______．    【答案】 【分析】依据题意，先根据抛物线的对称性求出点在二次函数图象上，再结合函数图象求解即可． 解：由函数图象可知，二次函数与轴的交点坐标为， 又二次函数对称轴为直线， 点在二次函数图象上． 由函数图象可知，当时，， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的对称性得到点在二次函数图象上是解题的关键． 15．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加______平方米． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，熟练掌握相关性质定理，正确计算弓形的面积，是解答本题的关键． 设圆心为，连接，过点作于点，根据题意，求出，，从而得到，利用，由此求出答案． 解：根据题意，圆形桌面如图所示， 设圆心为，连接，过点作于点， 则， 是⊙的直径， ，， ， 和平行且相等， ， （米）， ， ， ， ， ， ， ， ， 桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（平方米）， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，等腰中，，点为斜边中点，点在上且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的最小值为_______，最大值为________． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查点到圆的距离，旋转的性质、等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，点有两种情况，找出的最大值和最小值是解题关键． 解： 等腰中，，点为斜边中点， ， 绕点在平面内旋转，， 如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 当点、、三点共线，的最小值为,的最大值为， ， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线；（2） 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． （1）解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 18．（本题8分）（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． （1）若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． （2）小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率计算即可； （2）画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种，所以小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． （1）解：个特色菜每个被选中的机会相同， 选中“软兜长鱼”的概率为； （2）解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种， 小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 19．（本题8分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． （1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 20．（本题8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为W（元）． （1）求y与x的函数解析式； （2）求日销售利润W与销售单价x的函数解析式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润． 【答案】（1）；（2），当时，日销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销售单价每提高1元，日销量将会减少10件列出对应的函数关系式即可； （2）根据总利润每件纪念品的利润销售量列出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． （1）解：由题意得，， 即． （2）解：由题意得， ， ，且当时，W随x的增大而增大， ∴当时，日销售利润最大，最大利润为960元． 21．（本题10分）（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，且． （1）求的度数； （2）若，，求阴影部分的面积 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理的应用以及扇形面积的计算，解题关键是作辅助线和熟记扇形的面积公式． （1）先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得； （2）连接、，作于点，先求得，根据圆周角定理得到，再根据计算即可． （1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 作于点，则， ∴， ∴ ． 22．（本题10分）（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点． （1）___________，___________； （2）求点B的坐标； （3）求的面积； （4）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）1，1；（2）B的坐标为；（3）3；（4）或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标； （3）设直线y=x2与y轴的交点为G，则G（0， 2），利用求得△AOB的面积． （4）利用图象法求解即可． （1）解：∵过点A（1，1）， ∴1=a×1，解得a=1， ∵一次函数y=kx2的图象相过点A（1，1）， ∴1=k2，解得k=1； （2）解： 解得或， ∴B的坐标为； （3）解：设直线与y轴的交点为G，则， ∴． （4）：根据图象可得：当时x的取值范围为： 或． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题的关键是正确的求出点B的坐标． 23．（本题10分）（2025·广东佛山·二模）线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． （1）如图，当经过圆心时，证明：； （2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 【答案】（1）解：如图，连接、． ∵点是的中点， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． 由（）得．， ∴． ∵， ∴（）． ∴，． ∴． ∴． 在中，， ． 【分析】（1）如图，连接、．由点是的中点，得．由是的直径，得，进而解直角三角形得，从而即可得解； （2）如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．由（）得．，进而证明（）．得，．从而．在中，解直角三角形得．从而即可得解． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的推论，全等三角形的判定及性质，弧、弦、圆周角间的关系． 24．（本题12分）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点C在y轴上，且坐标为，点D为直线下方抛物线上的一点，连接与交于点E．点P是线段上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当时，则的面积为 ； （3）当时，求点D的坐标； （4）的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）4；（3）；（4） 【分析】（1）将点B的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）求出直线的表达式，得到点E的坐标，即可求解； （3）设点，由中点坐标公式得：点，即可求解； （4）过点O作，使，连接，证明，则，故当点B、Q、M共线时，最小，即可求解． （1）解：将代入得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：点， ∴点B到两坐标轴的距离相等， ∴点B在第二，四象限的角平分线上， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C在y轴上，且坐标为， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：4； （3）解：设点， ∵， ∴点E为的中点， ∵点C在y轴上，且坐标为， ∴点， ∵点E在上， ∴， 解得：， ∴点； （4）解：过点O作，使，连接，则， ∵点，， ∴轴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴当点B、Q、M共线时，，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 学科网（北京）股份有限公司 $