10.3 整式的加法和减法（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

第10章 整式的加减 10.3 整式的加法和减法 （第2课时）整式加减的综合应用 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 情境引入 两个班的费用怎样合并？ 甲班 元 乙班 元 总费用：？ 情境：甲班买文具花元，乙班花元。 总费用：两班共花元。 思考：怎样求总费用？怎样比较两班费用？ 任务：把文字中的和、差转化为整式运算。 新知讲授 文字中的和与差 求两个整式的和 与的和：。 可以交换加数的次序。 例如。 求两个整式的差 减去的差：。 必须看清谁是被减数。 例如。 列式时先确定运算关系，再处理括号。 新知讲授 求整式的和：从列式到化简 第一步 把每个整式看成整体，用括号括起来相加。 第二步 去掉正号后的括号，各项符号保持不变。 第三步 找同类项，只把同类项的系数相加。 第四步 整理结果，检查是否还有可以合并的项。 例题讲解 例 4 求与的和。 答： 解 方法：先列加法式，再分别合并三类项。 注意：、与三类项不能互相合并。 例题讲解 例 4 交换项的次序，结果相同 按原式依次寻找 项：。 项：。 项：。 将同类项放在一起 移动一项时，要连同它前面的符号一起移动。 例题讲解 变式 例 4 求与的和。 答： 解 方法：逐类找同类项；单独存在的项照写。 注意：没有同类项的与不能丢掉。 例题辨析 辨析 不是同类项就不能合并 （1） × 字母不同，不能合并。 （2） √ 同类项的系数相减。 （3） √ 二次项与一次项不是同类项。 （4） √ 同类项的系数之和为零。 方法：比较字母与各字母的指数。 注意：次数相同也未必是同类项。 新知讲授 求差：先明确被减数与减数 减去 设，。 。 。 减去 交换减法次序： 。 。 减法的次序改变，结果通常也会改变。 例题讲解 变式 求差变式 一个负项也不能漏 求减去的差。 答： 解 方法：被减数在前，减数加括号放在后面。 注意：减数中的两个负项去括号后都变为正项。 新知讲授 已知和与一个加数，怎样求另一个？ 数量关系 一个加数＋另一个加数＝和。 字母表达 若，则。 迁移方法 用和减去已知加数，求出另一个整式。 列式提醒 和、已知加数都可能有多项，应分别加括号。 例题讲解 例 5 已知与某个整式的和是，求这个整式。 答： 解 所求整式。 方法：用“和－已知加数”列式。 注意：减去时，三项全部变号。 例题讲解 例 5 已知与某个整式的和是，求这个整式。 答：检查成立，所求整式为。 解 ，与题给整式相同。 方法：将求出的另一个加数代回原关系。 注意：项的排列次序不同，不影响整式相等。 例题讲解 变式 例 5 已知，且，求。 答： 解 方法：先把关系写成。 注意：已知加数末项为，相减后变为。 方法总结 阶段归纳 和、差与未知加数 方法1　读题列式 ① 求和用加法；求差按题意确定次序。 ② 每个多项式先用括号作为整体。 方法2　反向求整式 ① 已知和与一个加数，用和减去加数。 ② 算完代回原关系，检查结果。 新知讲授 字母代表整式，也要整体代入 给定整式 ，。 另一个整式 ，要求。 先列结构 中，只有减号后的整式全部变号。 运算顺序 代入整式 → 去括号 → 合并同类项。 例题讲解 例 6 已知，，，求。 答： 解 方法：把分别加括号代入。 注意：使中的三项都变号。 例题讲解 例 6 为什么最后只剩一个常数？ 二次项 二次项系数为，所以全部抵消。 一次项 一次项系数为，所以全部抵消。 常数项 常数项相加为。 结论 的值与无关，无须另给的值。 例题讲解 变式 例 6 已知，，求。 答： 解 方法：先将整式放进括号，再处理外部系数。 注意：中的每一项都要乘。 探究 探究1 五次整式与四次整式的和 问题 一个五次整式与一个四次整式的和是一个几次整式？ 举例 。 原因 四次整式中没有五次项，不能抵消五次整式的最高次项。 结论 它们的和一定是五次整式。 探究 探究2 两个五次整式的和 最高次项没有抵消 和仍是五次整式。 最高次项恰好抵消 和降为二次整式。 一个五次整式与一个五次整式的和是一个几次整式？需看最高次项是否全部抵消。 探究 探究2 补全不同的结果 下表中每组都是两个五次整式。计算它们的和，观察结果。 第一个整式 第二个整式 和 结果 五次 二次 完全抵消 同次整式相加，结果可能保持原次数，也可能降次。 全部项抵消时，结果为；不能说成五次。 方法：先合并，再根据留下的项判断。 注意：不要把两个整式的次数直接相加。 探究辨析 探究辨析 次数不靠猜测 （1）五次整式加四次整式，和是九次整式。 × 加法只合并同类项，和为五次。 （2）两个五次整式相加，和一定是五次。 × 最高次项可能抵消。 （3）两个五次整式相加，和可能为。 √ 如。 方法：化简后再判断次数。 注意：最高次项抵消后，要继续查看剩余各项。 课堂练习 练习1 求与的和。 答： 解 方法：同类项系数分别相加。 注意：常数项为。 课堂练习 练习2 求减去的差。 答： 解 方法：减去整个整式，先写括号。 注意：减数中的两个负项去括号后都变正。 课堂练习 练习3 计算：。 答： 解 方法：先去三组括号，再按次数分别合并。 注意：两个负号后的括号必须逐项变号。 课堂总结 整式的和、差与组合 读懂关系 和用加法，差辨次序 未知加数＝和－已知加数 整体代入 多项式代入先加括号 系数与负号逐项处理 合并化简 同类项只加减系数 不漏项，不混合非同类项 观察次数 先化简，再看最高次项 同次整式相加可能降次 特别提醒：求差要分清次序；原整式次数相同，和的次数未必相同。 针对训练 训练1 选择：按文字列差 已知，。减去的差是下列哪一个？ A. B. C. D. 答：B 解 。 。 方法：先确定被减数和减数。 注意：减数加括号，去括号时全部变号。 针对训练 训练2 判断整体运算 （1）对任意整式，。 √ 整式加法满足交换律。 （2）对任意整式，。 × 如时，两边不同。 （3）对任意整式，。 × 右边应展开为。 （4）两个整式相加，和的次数一定升高。 × 相加只合并同类项，次数不会因此升高。 方法：可用具体整式检验错误的说法。 注意：举一个反例即可否定“对任意”成立。 针对训练 训练3 同一对整式的和与差 已知，，按要求计算： （1） 求。 （2） 求。 解第（1）题 解第（2）题 第（1）题：按次数分类合并。 注意：分数系数先通分。 第（2）题：先把的各项变号，再合并。 注意：的二次项与常数项原本为负。 方法总结 方法总结1 正确列式与逐类合并 方法1　文字转成算式 ① 先分清“和”“谁减去谁”。 ② 每个多项式先放入括号。 方法2　同类项分别合并 ① 按字母及指数分类，符号随项走。 ② 常数项单独核对，分数先通分。 针对训练 训练4 已知和，求未知整式 已知整式，且，求。 答： 解 方法：未知加数等于和减去已知加数。 注意：相减对象是整个。 针对训练 训练5 已知差，求减数 已知，且，求。 答： 解 由，得。 。 。 方法：减数等于被减数减去差。 注意：不要误用“差减被减数”。 针对训练 训练6 纠错：二倍整式相减 已知，。小林写。指出错误并改正。 答： 解 。 所以。 。 方法：先把单独展开检查。 注意：外部的要乘到的每一项。 方法总结 方法总结2 反向关系与整体代入 方法1　反向求整式 ① 求未知加数：和－已知加数。 ② 求减数：被减数－差。 方法2　带系数整体代入 ① 先加括号，再处理系数和负号。 ② 展开后的项数与原项数逐一对应。 针对训练 训练7 填表：一组整式的三种组合 已知，。计算并填表。 组合 化简结果 次数 运算符号不同，二次项可能抵消，也可能保留。 必须先化简，再判断结果的次数。 方法：每种组合重新按结构列式。 注意：不要直接沿用或的次数。 针对训练 训练8 分类讨论：最高次项是否抵消 已知，。讨论的次数。 答：当时为二次；当不等于时为五次。 解 。 当时，最高次项抵消，剩下。 当不等于时，五次项保留。 方法：先合并最高次项，再判断其系数是否为零。 注意：最高次项消失后，继续查看剩余项。 针对训练 训练9 开放题：构造两种结果 写出两个三次整式，使它们的和为一次整式；再写出两个三次整式，使它们的和仍为三次整式。 答：示例：与；与。 解 第一组的和为，三次项抵消。 第二组的和为，三次项保留。 答案不唯一，但每个原整式都须是三次。 方法：通过设置最高次项的系数控制抵消。 注意：除了看和，还要检查两个原整式的次数。 方法总结 方法总结3 先化简再判断次数 方法1　分类观察法 ① 找最高次项，合并它们的系数。 ② 系数非零保留；为零则看剩余项。 方法2　构造例子法 ① 想降次，就让最高次项互为相反数。 ② 想保持次数，就让最高次项和不为零。 针对训练 训练10 综合：结果与字母无关 已知，，。求，并说明结果是否与有关。 答：，结果与无关。 解 ，所有含的项都抵消。 方法：分别检查二次项、一次项与常数项。 注意：无需给取值，化简即可判断。 针对训练 本 支 甲班 3 2 乙班 2 5 训练11 应用：两班采购费用 笔记本单价为元，笔单价为元。甲班买本笔记本、支笔，乙班买本笔记本、支笔。求两班总费用，以及甲班费用减去乙班费用的差。 每本元，每支元 答：总费用为元；费用差为元。 解 甲班费用；乙班费用。 总费用。 费用差。 方法：先写每个班的费用，再按题意求和、求差。 注意：费用差的正负取决于，不要自行交换次序。 针对训练 训练12 应用：比较两种购买方案 某用品有两种购买方案。方案一原价为元，优惠元；方案二原价为元，优惠元。求方案一实际费用减去方案二实际费用的差；当时，哪种方案便宜，便宜多少元？ 方案一 减元 方案二 减元 答：费用差元；方案二便宜元。 解 费用差。 。 当时，差为。 方法：先扣优惠，再比较实际费用。 注意：差为正，被减数对应的费用更高。 方法总结 方法总结4 组合运算与费用比较 方法1　组合运算检查 ① 整体代入后逐类合并同类项。 ② 含字母项全部抵消时，结果与字母无关。 方法2　费用比较列式 ① 各方案先算实际费用，再求差。 ② 结合差的正负解释谁高谁低，并写单位。 $