14.3 轴对称（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第14章 图形的运动 14.3 轴对称 （第2课时）轴对称的性质与作图 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 学习目标 会识别 找出两图的对称轴、对称点、对应线段与对应角。 会运用 用对应量相等、垂直与平分解决问题。 会作图 找关键点，作对称点，再按原顺序连接。 复习引入 翻折后重合 观察 沿图中的直线翻折，左右两个图形能重合。 关注 比较的是两个图形及它们的位置关系。 知识讲授 两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴．翻折后能够重合的点叫作对称点． 操作是沿一条直线翻折。 判断标准是两个图形能够完全重合。 重合的点互为对称点。 知识讲授 对应关系 对应点 与、与、与对应。 对应线段 与对应，端点配对决定线段配对。 对应角 与对应。 知识讲授 轴对称的性质（一） （1）对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； 先确定对应关系，再写出相等的线段或角。 “形状相同，大小相等”需要同时满足。 知识讲授 轴对称的性质（二） （2）连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分． 连接轴外的一对对称点，交轴于中点。 这条连线与对称轴成直角。 知识讲授 对称轴上的点 固定点 在对称轴上，翻折后仍是点。 轴外的点 对称点位于轴的另一侧，到轴距离相等。 表述边界 两对称点重合时，不另画一条连接线段。 知识讲授 轴对称与轴对称图形 一个图形 轴对称图形讨论一个图形翻折后与自身重合。 两个图形 成轴对称讨论一个图形翻折后与另一个图形重合。 共同条件 都有一条对称轴，都以翻折后能否重合为准。 知识讲授 作图准备　一个点的对称点 画出点关于直线的对称点. 答：过作轴的垂线，在另一侧截取相等距离。 解 过作垂线，记垂足为. 延长，取. 方法：垂直与等距共同确定点的位置。 注意：沿斜线量相等距离不能替代作垂线。 知识讲授 性质辨析 （1）两个一样大的三角形一定成轴对称。 错 理由：还需存在一条轴使翻折后完全重合。 （2）轴外对称点到对称轴的距离相等。 对 理由：对应点连线被轴垂直平分。 （3）轴上的点翻折后位置不变。 对 理由：该点与自己的对称点重合。 方法：用翻折重合或完整性质判断。 注意：形状大小相同不能代替位置条件。 环节归纳 轴对称的识别与性质 识别成轴对称 （1）先确定一条候选对称轴。 （2）检查整个图形翻折后能否重合。 运用对应关系 （1）先列出点的配对关系。 （2）再写等长、等角、垂直和平分。 例题讲解 例 2 如图14-3-9（1），画出四边形关于直线成轴对称的图形. 分析 答：先作四个顶点关于直线的对称点。 解 四边形由顶点及边的连接顺序确定。 对每个顶点都用垂直、等距定位。 方法：多边形作图转化为顶点作图。 注意：倾斜的轴也要作垂线，不能水平搬点。 例题讲解 例 2 如图14-3-9（1），画出四边形关于直线成轴对称的图形. 答：所得四边形如图。 解 过各顶点作轴的垂线。 在轴另一侧分别截取相等距离。 依次连接. 方法：作垂线、截等长、顺次连。 注意：保持原来的连接顺序。 例题讲解 变式 例 2 作点的对称点时，只保证，却未作垂线，结果一定正确吗？ 答：不一定正确，还必须使. 解 等距只说明选点落在一定范围内。 连接线垂直于轴才确定翻折位置。 方法：逐条核对垂直与平分。 注意：轴外点的对称点在轴的另一侧。 环节归纳 多边形轴对称作图 关键点定位 （1）逐个顶点作轴的垂线。 （2）在另一侧截取到轴的相等距离。 连线与检查 （1）按原图的相邻关系连接。 （2）检查轴上点固定、对应线段等长。 例题讲解 操作　寻找两个图形的对称轴 图中的两个图形成轴对称，画出它们的对称轴. 对称轴 答：对称轴是两图中间的竖直直线。 解 选择两组不在同一连线上的对称点。 连接每组对称点并取中点。 过两个中点画直线并检查垂直。 方法：用两组对称点确定同一条轴。 注意：需要画直线，不能只画两中点间线段。 课堂练习 练习1 画出如图所示的三角形关于直线成轴对称的图形. 答：所得三角形为，与重合。 解 分别作、关于的对称点。 点在轴上，位置不变。 连接、、. 方法：先查固定点，再作轴外点。 注意：原图分布在轴的两侧，也按每个点分别作图。 课堂练习 练习2 画出下列图形关于直线成轴对称的图形. （1） （2） 答：（1）作、，连接. 点固定。 作轴外顶点的对称点。 轴上的不动，再按原顺序连线。 方法：逐点作图，按原顺序连接。 注意：轴上的点固定，轴两侧的点分别翻到另一侧。 课堂练习 练习2 画出下列图形关于直线成轴对称的图形. （1） （2） 答：（2）依次连接、、、. 四个顶点都分别作垂线、截等长。 原图跨轴，不影响逐点作图。 方法：逐点作图，按原顺序连接。 注意：轴上的点固定，轴两侧的点分别翻到另一侧。 课堂练习 课堂练习作图检查 （1）图形跨过对称轴时，不能作轴对称图形。 错 理由：每个点都能分别确定对称点。 （2）原图在轴上的顶点可原位保留。 对 理由：轴上的点翻折后位置不变。 （3）按对称点的远近顺序连线即可。 错 理由：必须保持原图的连接关系。 方法：检查点的位置，再检查边的连接。 注意：原图与所得图形允许有公共点或重叠。 环节归纳 课堂练习归纳 固定点与跨轴图形 （1）轴上点与自己的对称点重合。 （2）轴两侧的点各自翻到另一侧。 几何关系复核 （1）对称点连线与轴垂直且被平分。 （2）对应边等长，对应角相等。 课堂小结 轴对称的 性质与作图 概念识别 一个图形沿直线翻折后与另一个图形重合，两图关于这条直线成轴对称。重合的点互为对称点。 对应关系 先确定点的对应，再写对应线段与对应角。对应线段等长，对应角相等，两图形状相同、大小相等。 位置性质 轴外对称点的连线垂直于对称轴，且被对称轴平分。轴上的点翻折后位置不变。 作图步骤 找关键点，作垂线，在轴的另一侧截取相等距离。保留固定点，最后按原图连接顺序连线。 特别提醒：等距与垂直缺一不可；轴上点保持原位。 针对训练 训练1　选择：判断依据 判断两个图形关于直线成轴对称，最直接的依据是（　）. A. 两个图形周长相等 B. 两个图形面积相等 C. 两个图形形状相同 D. 沿直线翻折后能完全重合 答：选. 解 平移、大小或位置相近均不充分。 定义要求沿指定直线翻折后完全重合。 方法：回到翻折重合这一判断标准。 注意：必须针对题目指定的直线。 针对训练 训练2　填空：对称点到轴的距离 点、关于直线对称，厘米。点到的距离为多少？ 答：点到的距离为厘米。 解 设与交于. 由垂直和平分，. 方法：对称点间距是点到轴距离的2倍。 注意：点到直线的距离指垂线段的长。 方法总结 识别与距离计算 按定义判断 （1）明确题中给定的对称轴。 （2）检验翻折后是否完全重合。 利用中点关系 （1）先标出对称点连线与轴的交点。 （2）整段求一半，一半求整段。 针对训练 训练3：判断并说明理由 （1）对应角相等，所以任何两图都成轴对称。 错 理由：还需翻折后能完全重合。 （2）轴外点与它的对称点一定在轴的两侧。 对 理由：连接线垂直且被轴平分。 （3）把一个点沿同一条轴翻折两次会回到原位置。 对 理由：第二次沿同一条轴翻回。 （4）对称轴上的每一点都是固定点。 对 理由：沿该轴翻折时这些点不动。 方法：区分必要性质与完整判定条件。 注意：第二次翻折必须使用同一条对称轴。 针对训练 训练4　计算：对应边与对应角 与成轴对称，分别对应. 已知厘米，，求与. 答：厘米，. 解 对应，所以两线段等长。 对应，所以两角相等。 方法：写点对应，再写边和角对应。 注意：角的顶点应与对应角的顶点匹配。 方法总结 判断与对应量计算 检查条件是否完整 （1）性质可以说明已知轴对称的两图。 （2）只有某一项相等不能保证成轴对称。 保持点的对应顺序 （1）端点对应决定线段对应。 （2）角的顶点对应，角的两边也要对应。 针对训练 训练5（1）　格点作图：一个点 在方格纸上画出点关于直线的对称点，每格边长相等。 答：在轴右侧3格，与位于同一横格线上。 解 数出到竖直轴相隔3格。 在同一横格线的另一侧取3格。 方法：利用网格同时保证垂直与等距。 注意：只数横向格数，不数斜向格数。 针对训练 训练5（2）　格点作图：固定端点 画出线段关于直线成轴对称的线段，点在上。 答：点与重合，连接. 解 点在轴上，保持原位。 在轴右侧2格，与等高。 连接固定点和所得点. 方法：轴上端点固定，只作另一个端点。 注意：不要给另找一个不同位置。 方法总结 格点与固定点作图 用网格定位 （1）竖直轴沿横格线数格。 （2）两侧到轴的格数相同。 处理轴上点 （1）先检查有无点落在对称轴上。 （2）固定点保留，再连接其余对称点。 针对训练 训练6（1）　格点作图：三角形 画出关于直线成轴对称的三角形。 答：所得图形是. 解 分别距轴3、4、1格。 在另一侧相应横格线上取同样格数。 连接、、. 方法：多边形转化为有限个顶点作图。 注意：原来相邻的点，所得点仍按同样顺序相连。 针对训练 训练6（2）　跨轴三角形作图 画出图中关于直线成轴对称的图形，并检查顶点所在侧。 答：在轴右侧，在轴左侧。 解 分别数出三点到轴的横向格数。 把每点放在轴另一侧的相等距离处。 按的顺序连接。 方法：逐点处理跨轴图形。 注意：不能把全部顶点统一放到轴的同一侧。 方法总结 多边形作图检查 逐点核对 （1）检查每个顶点是否换到轴另一侧。 （2）检查到轴距离是否相等。 整体核对 （1）按对应顺序检查每条边。 （2）用对应边等长核查明显的作图偏差。 针对训练 训练7　作图：找对称轴 图中两三角形成轴对称，分别对应. 画出对称轴。 答：过、中点的直线是对称轴。 解 连接与，分别取中点. 画直线. 检查该直线垂直于两组对称点连线。 方法：选两组对称点，用中点确定轴。 注意：所选两组连线的中点应是不同点。 针对训练 训练8　计算：一半与全长 点与关于直线对称，连线交于. 已知厘米，求和. 厘米 答：厘米，. 解 厘米。 厘米。 由，得. 方法：分别使用平分性质和垂直性质。 注意：是半段，才是整段。 方法总结 寻找对称轴与综合计算 由对应点找轴 （1）连对称点、取中点。 （2）过不同中点画直线，并核查垂直。 拆开几何条件 （1）平分关系用于求长度。 （2）垂直关系用于求直角。 针对训练 训练9（1）　应用：对称花坛的位置 学校在笔直步道两侧建对称花坛。图中每格边长1米，左侧花坛为边长2米的正方形，距步道中线最近2米。画出右侧花坛。 步道中线 答：右侧花坛距中线最近2米、最远4米。 解 分别作四个顶点关于中线的对称点。 按原顺序连接成右侧正方形。 对应点到中线的距离分别相等。 方法：把实际中线视为对称轴。 注意：两花坛之间的距离要由两侧距离相加。 针对训练 训练9（2）　应用：间距与围栏 学校在笔直步道两侧建对称花坛。图中每格边长1米，左侧花坛为边长2米的正方形，距步道中线最近2米。求两花坛的最小间距及围两花坛一周所需围栏总长。 步道中线 答：最小间距4米，围栏总长16米。 解 最小间距为米。 每个花坛的周长是米。 两个花坛共需米。 方法：先用对称关系补全尺寸，再计算。 注意：围栏按两花坛全部边界计，不计步道边界。 方法总结 花坛布置的两种计算 确定对称位置 （1）实物的中心线对应几何中的轴。 （2）对应点到中线的垂直距离相等。 计算间距和用料 （1）两侧最近距离相加得到间距。 （2）先算一个图形周长，再算两个图形总长。 针对训练 训练10（1）　应用：舞台灯带的位置 舞台背景沿竖直中线对称。左侧灯带沿折线布置，在中线上，米，米。画出右侧对应灯带。 米 米 中线 答：右侧灯带为折线，端点固定。 解 分别作关于的对称点。 点在中线上，仍位于原处。 依次连接与. 方法：保留中线上的接合点，再补齐另一侧。 注意：折线只连接规定的线段，不封闭成三角形。 针对训练 训练10（2）　应用：灯带长度与费用 舞台背景沿竖直中线对称。左侧灯带沿折线布置，在中线上，米，米。两侧灯带每米18元。求两侧所需灯带总长与费用。 米 米 中线 答：总长10米，费用180元。 解 右侧长度与左侧相等。 总长为米。 费用为元。 方法：用对应线段等长简化实际计算。 注意：两侧只共用点，没有重复计算的线段。 方法总结 轴对称应用归纳 建立图形对应 （1）确定实物中的对称轴。 （2）分清轴上的公共点和轴外的对应点。 计算与复核 （1）用等长关系补出另一侧尺寸。 （2）核对单位、计费范围与是否重复计长。 $