10.1 整式（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

第10章 整式的加减 10.1 整式 （第1课时）单项式、同类项与整式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 用字母表示熟悉的数量 情境：一个正方体的棱长为。 表面积：六个面的面积之和是。 体积：正方体的体积是。 复习引入 这些代数式有什么共同点？ 单价 铅笔单价元，圆珠笔单价为它的倍，即元。 人数 全校有人，女生占，女生人数为。 路程 速度为千米/时，行驶小时，路程为千米。 观察 、、、、都能看作数和字母的乘积。 新知讲授 单项式 定义 数和字母的乘积叫作单项式。 补充 单独一个数或一个字母也是一个单项式。 识别 、、都是单项式。 注意 字母之间的乘号可以省略；含字母的加减式要另作判断。 新知讲授 单项式的系数 定义 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 举例 的系数是，的系数是。 隐含系数 的系数是，的系数是。 分数系数 的系数是，要连同负号一起看。 新知讲授 单项式的次数 定义 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 举例 的次数是，的次数是。 再看一个 的次数是。 关键 次数由字母的指数之和确定，与系数的大小无关。 新知讲授 分别找数字因数与字母指数 看系数 以为例： 数字因数是。 系数是。 负号属于系数。 看次数 以为例： 的指数为。 的指数为。 次数为。 先找完整数字因数，再求所有字母的指数之和。 新知讲授 单独一个数怎样理解？ 结论 特别地，非零的数是零次单项式，如、都是零次单项式。 比较 的次数是；非零常数的次数是。 提醒 求次数时，数值本身的大小不参与字母指数求和。 再辨析 是零次单项式，是一次单项式，区别在于是否含字母。 例题讲解 例 1 请指出下列单项式的系数和次数： （1） （2） （3） 解第（1）题 系数，次数。 数字因数为。 字母指数之和为。 解第（2）题 系数，次数。 数字因数为。 字母指数之和为。 方法：找数字因数，再把字母指数相加。 注意：省略的系数和指数均应补看为1。 例题讲解 例 1 请指出下列单项式的系数和次数： （1） （2） （3） 解第（3）题 系数，次数。 把数字因数看成。 字母指数之和为。 方法：先把分数中的数字因数分离出来。 注意：负号要归入系数。 例题讲解 变式 例 1 指出下列单项式的系数和次数： （1） （2） 解第（1）题 系数，次数。 数字因数为。 字母指数之和为。 解第（2）题 系数，次数。 数字因数。 次数只看字母：。 方法：数字部分先计算，字母部分求指数和。 注意：数字的幂不是字母的指数。 例题讲解 辨析 例 1 辨析 单项式的判断 （1）是单项式。 √ 它是数与字母的乘积。 （2）是单项式。 × 它是两个单项式的和。 （3）是单项式。 √ 可写成。 （4）是单项式。 × 字母在分母中，不符合定义。 方法：先判断能否写成数与字母的乘积。 注意：分母是数字与分母含字母要区分。 新知讲授 同类项 定义 对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项。 条件一 所含字母相同。 条件二 每个相同字母的指数也相同。 观察 与满足这两个条件。 新知讲授 同类项要逐个字母比较 是同类项 与 都含有、。 的指数均为。 的指数均为。 不是同类项 与 都含有、。 的指数不同。 的指数也不同。 系数、字母书写顺序可不同；对应字母的指数必须相同。 例题讲解 例 2 判断下列各组单项式是不是同类项： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（1）题 是同类项。 都只含字母。 字母的指数均为。 解第（2）题 不是同类项。 前者含、，后者只含。 所含字母不同。 方法：先比较字母，再比较对应的指数。 注意：系数相同不能保证是同类项。 例题讲解 例 2 判断下列各组单项式是不是同类项： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（3）题 是同类项。 都含字母、。 对应字母的指数均为。 解第（4）题 不是同类项。 都含字母、。 字母的指数分别为和。 方法：可先把字母按相同顺序排列。 注意：次数相同不能代替对应指数相同。 例题讲解 变式 例 2 在、、、中，分别找出互为同类项的单项式。 答：与； 与。 解 第一组中字母、的指数为、。 第二组中字母、的指数为、。 方法：按字母及对应指数分组。 注意：只分组，不对各单项式作运算。 例题讲解 例 3 当和为何值时，关于、的单项式与是同类项？ 答：，。 解 对应的指数相同，得。 对应的指数相同，得。 代入，得，所以。 方法：按相同字母分别列指数相等的关系。 注意：先求能直接确定的量，再代入另一个关系。 例题讲解 变式 例 3 若与是同类项，求、的值。 答：，。 解 比较的指数：。 比较的指数：。 故、，两式字母部分均为。 方法：同一字母对应同一条关系。 注意：不能把两个单项式的总次数相等当作唯一条件。 例题讲解 辨析 同类项辨析：次数相同够不够？ 次数相同，仍可能不同类 与 次数都是。 前者只含。 后者含、。 同类项，字母结构相同 与 都含、。 的指数均为。 的指数均为。 判同类项时，必须逐个核对字母及其对应指数。 新知讲授 把单项式连成和 观察一 ，。 观察二 ，。 共同点 这些代数式都是由单项式求和得到的。 理解减号 是与的和。 新知讲授 整式与多项式 定义 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式。整式也叫作多项式。 举例 、都是整式。 再举例 、也是整式。 拆开验证 由与求和得到，负号跟随。 新知讲授 单项式也是整式 结论 单项式也是整式。 只有一个 由一个单项式构成，是整式。 多个求和 由两个单项式求和得到，是整式。 名称 整式也叫作多项式；不要由名称猜测必须含多个单项式。 新知讲授 找出求和的各个单项式 例子 。 改写 。 拆分 它由、和这三个单项式求和得到。 关键 每个单项式都要带上它前面的正负号。 新知讲授 用面积理解单项式求和 图形：长方形的宽为，长由与两段组成，。 分块：左块面积为，右块面积为。 整体：总面积是，它由两个单项式求和得到。 课堂练习 练习1 填表：指出下列各单项式的系数和次数。 单项式 系数 次数 系数取完整数字因数：。 次数只求字母指数之和，如为。 方法：逐列先看数字因数，再看字母指数。 注意：数字幂不参与单项式次数的计算。 课堂练习 练习2 已知整式是由五个单项式求和得到的，请将这些单项式以及它们各自的系数与次数填入下表： 单项式 系数 次数 按求和结构拆开，每个单项式保留自己的符号。 例如的系数是，次数是。 方法：先拆单项式，再读系数与次数。 注意：不要漏掉最后一个单项式的负号。 课堂练习 练习3 判断下列各组单项式是不是同类项： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（1）题 是同类项。 都含、。 对应字母的指数均为。 解第（2）题 不是同类项。 字母的指数分别为和。 对应字母的指数不同。 方法：先看所含字母，再比较对应指数。 注意：字母顺序不同不影响判断。 课堂练习 练习3 判断下列各组单项式是不是同类项： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（3）题 是同类项。 都含、。 对应指数分别为、。 解第（4）题 不是同类项。 前者只含，后者含、。 所含字母不同。 方法：把对应字母放在一起核对。 注意：系数的正负、大小与是否同类无关。 课堂总结 整式 单项式 数和字母的乘积 单独一个数或字母也可以 系数与次数 系数：完整数字因数 次数：所有字母的指数之和 同类项 所含字母相同 相同字母的指数也相同 整式定义 有限个单项式求和得到 单项式也是整式 特别提醒：区分数字因数与字母指数；拆分时保留每个单项式的符号。 针对训练 训练1 单项式识别 下列代数式中，是单项式的是（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 是数与字母的乘积。 A、D含有加减；B的字母位于分母。 方法：用单项式定义逐项核对。 注意：分母中有数字不妨碍成为单项式。 针对训练 训练2 系数与次数 填表：分别求出三个单项式的系数和次数。 单项式 系数 次数 只决定数字因数。 三个字母指数和依次是、、。 方法：数字部分与字母部分分开处理。 注意：系数为负数时别漏负号。 针对训练 训练3 判断并纠错 （1）的系数是。 × 系数是，负号不能丢。 （2）的次数是。 × 次数是。 （3）与是同类项。 √ 对应字母的指数都相同。 （4）与次数相同，所以是同类项。 × 、的对应指数不同。 方法：为每个判断给出定义中的依据。 注意：总次数相同不能判定是同类项。 方法总结 识别单项式与读取信息 方法1　把乘积看完整 ① 负号、分数、数字幂都属于数字部分。 ② 省略的系数或要补看。 方法2　次数只看字母 ① 每个字母的指数都要参加求和。 ② 指数虽省略，也要计算在内。 针对训练 训练4 按字母结构配对 从、、、、中，分别找出与的同类项。 答：与同类：、。 与同类：、。 解 第一类对应指数为的次、的次。 第二类对应指数为的次、的次。 方法：按同一字母顺序对齐后配对。 注意：与题目给定的两式都不同类。 针对训练 训练5 找出错解并改正 小明认为单项式的系数是，次数是。他的两个结论分别错在哪里？ 答：系数是，次数是。 解 数字因数包含分母中的，所以系数是。 次数应计入的指数，所以为。 方法：用完整的乘积分解检查错解。 注意：分母中的数字不能漏；省略的指数也不能漏。 针对训练 训练6 由次数反求指数 单项式的次数为，为非负整数。求及该单项式的系数。 答：；系数是。 解 由字母指数之和为，得。 解得，数字因数仍为。 方法：用次数列出所有字母指数的和。 注意：系数不加入次数计算。 方法总结 判同类项与反求指数 方法1　同类项逐字母核对 ① 先检查是否含相同字母。 ② 再检查每个相同字母的指数。 方法2　由次数列关系 ① 次数等于所有字母指数的和。 ② 解得指数后，代回原式核查。 针对训练 训练7 由同类项确定两个指数 若与是同类项，求非负整数、。 答：，。 解 对应的指数相同：。 对应的指数相同：。 故、，字母部分均为。 方法：每个字母各列一条指数关系。 注意：不要将系数与也设为相等。 针对训练 训练8 拆分整式并填表 将拆成四个单项式，填写系数与次数。 单项式 系数 次数 四个单项式各自携带原来的符号。 非零常数是零次单项式。 方法：带符号拆分，再读系数与次数。 注意：是一个完整的单项式。 针对训练 训练9 按条件写单项式 按要求各写出一个单项式： （1） 写出系数为且与同类的单项式。 （2） 写出系数为、次数为且含、，但与不同类的一个单项式。 解第（1）题 。 同类项的字母部分为。 把数字因数取为。 解第（2）题 如。 、的指数之和为。 对应指数与不同。 方法：先固定字母指数，再配上指定系数。 注意：次数符合后，还要核对同类项条件。 方法总结 拆分整式与按条件构造 方法1　拆分时让符号跟随 ① 把减法看作加上负的单项式。 ② 核对各单项式的和能还原原式。 方法2　构造时逐项满足条件 ① 先确定字母及其对应指数。 ② 再写系数，并检查次数要求。 针对训练 训练10 列出所有可能 只用、两个字母，写出系数为、次数为且同时含、的所有单项式，并判断它们是不是同类项。 答：、；它们不是同类项。 解 两个字母的指数都是正整数，且和为。 只有与两种安排。 对应字母的指数不同，所以不是同类项。 方法：把次数拆成两个正整数的和。 注意：同时含两个字母，意味着两个指数都不能为。 针对训练 训练11 花坛面积 长方形花坛宽米，长由米和米两段组成，、。用两个单项式的和表示面积，并分别指出这两个单项式的系数和次数。 答：面积为平方米。 ：系数，次数； ：系数，次数。 解 两块面积分别为与。 总面积由两块面积求和得到。 方法：先求每一块面积，再把面积相加。 注意：每个单项式的次数要单独判断。 针对训练 训练12 文具套装费用 每套文具有支笔和本本子，每支笔元、每本本子元，包装每套元。买套，用三个单项式的和表示总费用，并指出三个单项式的系数和次数。 每套费用 共套 答：总费用为元。 系数依次为、、； 次数依次为、、。 解 笔、本子、包装的总费用分别是、、。 三类费用求和，得到所求整式。 方法：按费用类别分别列单项式，再求和。 注意：每套包装费也要乘套数。 方法总结 应用题中的整式表达 方法1　由数量关系列单项式 ① 面积用长乘宽，费用用单价乘数量。 ② 分清每部分数量与整体数量。 方法2　用单项式求和表示整体 ① 先列各部分，再相加并写好单位。 ② 检查每个单项式的符号、系数和次数。 $