11.1 整式的乘法（第5课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 11.1 整式的乘法 （第5课时）整式与整式相乘 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从单项式乘整式出发 回顾 。 带符号计算 。 共同依据 把括号外的因式乘括号内的每一项。 复习引入 把两个计算连起来 计算：。 答： 解 合并同类项，得。 方法：先乘后加，最后合并。 注意：与不是同类项。 复习引入 长方形的两种分法 长方形的长为、宽为，其中。怎样表示面积？ 答： 解 整体面积为。 分成四块：。 方法：同一个图形可整体算，也可分块算。 注意：两条边都含两项，需要四个乘积。 新知讲授 用面积看清四个乘积 每一小块对应两段长度的乘积 长度条件： 设均为正数。 整体与分块： 整体面积是。 面积相加： 四块面积之和为。 新知讲授 先把一个整式看成整体 如何计算？ 答： 解 分别展开，得到四个乘积。 方法：连续使用两次分配律。 注意：第二个括号的两项都要被乘到。 新知讲授 整式与整式相乘 法则 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，再把所得的积相加． 字母表示 操作顺序 逐项相乘，再合并同类项。 新知讲授 每一项都连着它的符号 拆分因式 中，第一式两项为。 逐项相乘 。 合并结果 。 新知讲授 合并前先检查有没有漏项 乘积个数 两项乘两项，合并前有个乘积。 不同项数 两项乘三项，合并前有个乘积。 检查示例 展开为。 新知讲授 相加的是乘积，合并的是同类项 计算：。 答： 解 。 方法：按次数与字母指数辨认同类项。 注意：、、互不同类。 例题讲解 例 12 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 四个乘积没有同类项。 解第（2）题 。 方法：按第一式的项依次展开。 注意：带负号的项参与乘法时要保留该负号。 例题讲解 例 12 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 先得。 再加。 两组相加，得。 方法：先写全六个乘积，再合并。 注意：结果项数少，不代表展开时可以漏项。 例题讲解 例 12 计算：。 变式 答： 解 合并。 方法：分配律对带负号的项同样适用。 注意：中间两项的系数相加。 例题讲解 例 12 计算：。 变式 答： 解 合并两组同类项。 方法：展开后按字母与指数分组。 注意：只有互为相反数的同类项才会抵消。 例题讲解 例 13 计算： （1） （2） 解第（1）题 先乘前两式，得。 再展开：。 方法：先乘两个因式，化简后继续乘。 注意：这里依据整式乘法逐项展开。 例题讲解 例 13 计算： （1） （2） 解第（2）题 前一乘积为。 再减，合并得结果。 方法：分别算乘积，再处理相减。 注意：减去整个乘积，每一项都要变号。 例题讲解 例 13 计算：。 变式 答： 解 前两式展开合并，得。 。 方法：每完成一次乘法就合并一次。 注意：不能只把三个首项和三个末项相乘。 例题讲解 例 14 图11-1-2是一个相框的平面图形．图中大长方形的长为、宽为（）．四周框的宽度为（）．求图中小长方形（涂色部分）的面积． 图11-1-2 答： 解 内长为，内宽为。 面积。 方法：先确定有效长度，再列面积乘积。 注意：左右、上下各扣除两次框宽。 例题讲解 例 14 外长为、外宽为的相框，框宽为，且。求边框面积。 变式 答： 解 外面积为，内面积为。 作差：。 方法：边框面积等于外面积减内面积。 注意：四角不能重复计算。 例题讲解 错解辨析　漏掉了哪些乘积 辨析 小明写：。 指出错误并改正。 答：正确结果为。 解 漏了和。 完整展开为。 方法：逐项配对能定位漏项。 注意：两项乘两项必须检查四个乘积。 方法总结 整式乘法的两次检查 方法1　展开前 ① 看清每个因式的项数。 ② 把减法项连同负号一起看。 方法2　展开后 ① 逐项检查所有乘积。 ② 再检查同类项是否合并。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） 解第（1）题 合并得。 解第（2）题 合并得。 方法：按分配律写全四项。 注意：合并时只相加同类项的系数。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（1）题 中间两项相消。 解第（2）题 按次数降幂排列并合并。 方法：先完成当前乘法，再合并继续。 注意：平方写成相同因式相乘来展开。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（3）题 。 。 解第（4）题 先得。 再减。 合并得。 方法：先完成当前乘法，再合并继续。 注意：平方写成相同因式相乘来展开。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解第（5）题 前两式相乘得。 再乘，合并得结果。 解第（6）题 前两式展开得。 再展开合并，得。 方法：先完成当前乘法，再合并继续。 注意：平方写成相同因式相乘来展开。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：可把看作项的系数。 注意：第二式末项为，的值由决定。 课堂总结 整式与整式 相乘 依据 分配律连续使用。 展开 每一项乘另一式的每一项。 整理 合并同类项，按次数排列。 应用 先找实际边长，再列乘积。 特别提醒：先查漏项，再查符号，最后查合并。 针对训练 训练1　选择 的结果是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 合并后为。 方法：四项展开后再判断选项。 注意：不要遗漏两个一次项。 针对训练 训练2　填空 的展开式为，则______。 答： 解 一次项为。 因此。 方法：只关注决定待求系数的项。 注意：常数项相乘，不能拿来作一次项系数。 针对训练 训练3　计算 计算：。 答： 解 。 方法：正负号和系数分别核对。 注意：。 方法总结 基本题的解法 方法1　选择与填空 ① 先确定首项和常数项。 ② 再合并中间的同类项。 方法2　完整计算 ① 逐项写出每一个乘积。 ② 最后统一整理结果。 针对训练 训练4　纠错 判断并改正：。 答：错误；应为。 解 末项乘积。 其余项为。 方法：优先检查两个带负号项的乘积。 注意：减号属于它后面的项。 针对训练 训练5　两项乘三项 计算：。 答： 解 合并后仅剩。 方法：六个乘积写全才能发现抵消。 注意：不要从结果反推省略展开步骤。 针对训练 训练6　含字母系数 计算：。 答： 解 。 方法：把作为同类项来合并。 注意：末项为。 方法总结 复杂项也按同一法则 方法1　含字母系数 ① 先按单项式乘法计算。 ② 同类项的字母与指数不变。 方法2　出现抵消 ① 先写完整的展开式。 ② 把互为相反数的同类项配对。 针对训练 训练7　混合运算 化简：。 答： 解 第一乘积为。 再减去，得。 方法：分别求乘积，最后相减。 注意：后一个乘积两项都要变号。 针对训练 训练8　确定参数 的展开式为，求。 答： 解 展开得。 由得，且。 方法：对应比较系数，再核验常数项。 注意：需同时满足题中两个系数。 针对训练 训练9　连续相乘 计算：。 答： 解 前两式相乘得。 再乘，合并得结果。 方法：每次只完成两个因式的乘法。 注意：最后一步应有六个乘积。 针对训练 训练10　分数系数 计算：。 答： 解 。 方法：先乘分数系数，再合并。 注意：通分后相加一次项的系数。 针对训练 训练11　先化简再求值 已知，求的值。 答： 解 化简为。 代入，得。 方法：先化简能减少重复运算。 注意：减去第二个乘积时逐项变号。 方法总结 混合运算与求值 方法1　多步运算 ① 先乘法，后加减。 ② 去括号后再合并同类项。 方法2　求值与检验 ① 先化简，再代入数值。 ② 代入原式可帮助检查结果。 针对训练 训练12　应用　扩建花坛 长方形花坛原长为米、宽为米，。长和宽都增加米，求面积增加多少平方米。 答：平方米。 解 新面积为。 减原面积，得。 方法：分别列出扩建前后的面积。 注意：求增加量要用新面积减原面积。 针对训练 训练13　应用　四周铺小路 一块长方形场地长为米、宽为米（）。沿场地四周内侧铺设米宽的小路，其余部分为草地。求小路的面积。 答：平方米。 解 草地长为，宽为。 小路面积。 方法：用外部总面积减去内部草地面积。 注意：两条边都应减去米。 方法总结 面积应用的建模步骤 方法1　从图形到式子 ① 标明变化前后的两条边。 ② 用长乘宽列出面积式。 方法2　从式子到答案 ① 按问题要求求面积或作差。 ② 检查长度条件并写出单位。 $