19.1 平方根与立方根（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 （第1课时）算术平方根 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 理解概念 知道算术平方根表示什么，认识根号与被开方数。 准确求值 求整数、分数、带分数和简单小数的算术平方根。 发现规律 利用被开方数与结果的小数点变化解决问题。 复习引入 问题1　从面积反求边长 要裁一张面积为 的正方形纸片，它的边长应该取多少呢？ 面积 边长 答：边长为 。 解 设边长为 ，则，。 因为，所以。 方法：由正方形面积公式倒过来求边长。 注意：边长是正数，长度单位与面积单位不同。 知识讲授 平方与反向寻找 正向计算 知道边长，计算。 反向寻找 知道面积，寻找平方为的正数。 检验答案 把找到的边长再平方，看是否等于给定面积。 知识讲授 算术平方根的定义 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根． 抓住两个条件：这个数是正数，它的平方等于被开方数。 如，是的算术平方根。 求算术平方根是由平方的结果反过来找数。 知识讲授 根号与被开方数 的算术平方根记为“”，读作“根号”．叫作被开方数． 读作“根号”，被开方数是。 根号横线覆盖的全部内容是被开方数。 ：表示一个确定的非负数。 知识讲授 零的算术平方根 因为的平方是，所以规定的算术平方根是，记为． 正数的算术平方根是正数；的算术平方根是。 本课求算术平方根时，结果不能为负数。 检验：。 知识讲授 读准、找准、验准 读准符号 表示的算术平方根，值为。 找准范围 的被开方数是整个。 验准结果 先看结果非负，再看结果的平方等于原数。 例题讲解 例 1 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，且。 解第（2）题 ，且。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 例 1 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 变式 例 1 求的算术平方根。 答：。 解 ，。 ，且。 方法：找一个平方等于原分数的正分数。 注意：答案写成最简分数。 例题讲解 例 2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 例 2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ，。 解第（4）题 ，其平方为。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 变式 例 2 化简。 答：。 解 。 ，且。 方法：先转换带分数，再由平方求值。 注意：根号内是一个带分数，不能写成。 方法总结 整数与分数怎样求根 逆向寻找 （1）熟记常用正整数的平方。 （2）找到候选数后，检验它的平方。 先整理原数 （1）带分数先化成假分数。 （2）结果必须非负，分数要约分。 例题讲解 例 3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 例 3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 知识讲授 扩大规律 一个数扩大为原来的倍，它的算术平方根就扩大为原来的倍． 在算术平方根的范围内，比较非负的被开方数。 例如扩大倍，结果扩大倍。 若，则。 例题讲解 例 4 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 例 4 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 知识讲授 缩小规律 一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的． 缩小为原来的。 结果缩小为原来的。 连续缩小两次倍，结果连续缩小两次倍。 知识讲授 小数点的对应变化 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位． 记住“被开方数移两位，结果移一位”。 方向保持一致：向右对应向右，向左对应向左。 不能把移动一位也直接照搬成同样的规则。 例题讲解 例 5 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，被开方数扩大倍。 解第（2）题 ，被开方数扩大倍。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 例 5 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 例题讲解 变式 例 5 已知，求与。 答：；。 解 缩小倍，结果缩小倍。 扩大倍，结果扩大倍。 方法：对照被开方数的倍数与方向。 注意：把两个结果各平方一次，可以检查小数点。 方法总结 大数与小数怎样求根 借助熟悉结果 （1）先找到有关的完全平方数。 （2）被开方数每变化倍，结果变化倍。 平方反向检查 （1）把答案平方检查数量大小。 （2）小数位数相差较大时尤其要检验。 课堂练习 练习1 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”： （1）是的算术平方根。 对 理由：，且。 （2）是的算术平方根。 错 理由：算术平方根不能为负数。 （3）是的算术平方根。 错 理由：。 （4）是的算术平方根。 错 理由：。 方法：同时检查非负与平方等于原数。 注意：不能只凭数字相似判断小数。 课堂练习 练习2 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 课堂练习 练习2 求下列各数的算术平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 ，。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法：找出平方等于被开方数的非负数。 注意：带分数先化成假分数；结果要非负。 方法总结 完成一题后的两次检查 概念检查 （1）被开方数是否看全？ （2）答案是否为非负数？ 运算检查 （1）带分数是否正确化成假分数？ （2）答案平方后是否还原原数？ 课堂小结 算术 平方根 意义与记号 正数的平方等于给定数时，这个正数是给定数的算术平方根；根号横线覆盖被开方数。 零与非负 零的算术平方根是零；求算术平方根的结果非负，先检查符号，再检查平方是否等于原数。 求值与检验 整数借助熟悉的平方，带分数先化假分数；分数、小数的结果都可以通过再平方检验。 小数点变化 被开方数的小数点向同一方向移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，方向一致。 特别提醒：看清被开方数，结果非负，小数点要复核。 针对训练 训练1　选择：谁满足定义 下列哪个数是的算术平方根？ A． B． C． D． 答： 解 ，且。 因此选择B。 方法：用定义逐项核验。 注意：被开方数的小数点与结果不按相同位数移动。 针对训练 训练2　填空：反求被开方数 若，则____；若，则____。 答：；。 解 。 。 方法：已知算术平方根，直接平方求原数。 注意：求的是被开方数，不再对已知结果开方。 针对训练 训练3　判断并说明理由 （1）。 对 理由：零的算术平方根是零。 （2）。 错 理由：；应为。 （3）。 对 理由：，且结果为正。 方法：先判结果非负，再用平方验证。 注意：小数尤其不能只看有效数字。 针对训练 训练4　辨错：带分数的含义 小明写：。他错在哪里？请求出正确结果。 答：把带分数误当成乘法；正确结果为。 解 。 ，所以。 方法：将整数部分化成同分母分数后相加。 注意：带分数表示。 针对训练 训练5　计算：整数与分数 求和的算术平方根。 答：分别为和。 解 。 。 方法：把求根转化为寻找平方。 注意：所求的两个结果均为正数。 针对训练 训练6　计算：小数点在哪里 化简与。 答：分别为和。 解 。 。 方法：以为起点寻找变化。 注意：被开方数变化四位，结果相应变化两位。 针对训练 训练7　只用给出的结果 已知，求和。 答：分别为和。 解 小数点左移两位，结果左移一位。 小数点左移四位，结果左移两位。 方法：记录移动位数，再确定结果位置。 注意：两题都向左移动，不能误作放大。 针对训练 训练8　比较变化的倍数 一个正数扩大为原来的倍，它的算术平方根扩大为原来的多少倍？ 答：扩大为原来的倍。 解 ，可分成两次扩大倍。 算术平方根相应扩大倍。 方法：把变化拆成若干次倍。 注意：这里求的是倍数，不是具体的算术平方根。 针对训练 训练9　由表示式求数 已知，求的值。 答：。 解 由定义，。 解得，代回被开方数为。 方法：先把根号等式还原成平方关系。 注意：根号覆盖整体。 针对训练 训练10　判断两次计算 甲说：。乙说：。谁正确？请说明。 答：甲、乙都正确。 解 。 。 方法：直接平方是检验结果的可靠方法。 注意：写清小数点后的零，不能只看与。 针对训练 训练11　应用：正方形花圃 一个正方形花圃的面积为 ，沿四周围一圈栏杆，需要多少米栏杆？ 面积 边长待求 答：需要 栏杆。 解 设边长为 ，，得。 周长为 。 方法：先由面积求边长，再求周长。 注意：面积单位是，栏杆长度单位是。 针对训练 训练12　应用：铺正方形场地 用块面积均为 的方砖，恰好铺成一块正方形场地。不计砖缝，求场地的边长。 答：场地边长为 。 解 总面积为 。 设边长为 ，则，得。 方法：先求场地总面积，再取算术平方根。 注意：方砖数量与总面积不同，不能直接对求根作答。 方法总结 从数值计算走向实际问题 读出数量关系 （1）正方形面积等于边长的平方。 （2）总面积可以由单块面积乘块数求得。 检验实际答案 （1）长度取正数，并写正确单位。 （2）代回面积或周长条件检验。 $