19.2 实数（第2课时）课件2026-2027学年数学沪教版五四制八年级上册

第19章 实数 19.2 实数 （第2课时）无理数 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 本课学习目标 认识新数 认识无限不循环小数，辨认常见无理数。 估计大小 用相邻数的平方逐步缩小算术平方根的范围。 求近似值 用计算器求平方根、立方根，并按要求取近似值。 复习引入 已有的小数形式 回顾 有理数必为有限小数或无限循环小数。 举例 ；。 思考 是否存在既不是有限小数、也不是无限循环小数的数？ 知识讲授 两个正方形的拼图 剪开 两个单位正方形，各沿对角线剪开。 拼合 四个相同三角形，各面积为。 面积 拼成正方形，面积仍是。 拼合 → 例题讲解 问题1　拼成的正方形边长 图中，正方形的边长是多少？ 答：。 解 设边长为，由面积得。 边长为正，所以。 方法：用面积列出边长的平方关系。 注意：边长取正数。 例题讲解 问题2　平方等于2的数是有理数吗（选学） 正方形的边长是一条线段的长，即表示一个数。那么是有理数吗？ 建立假设 答：假设它是有理数，并写成最简正分数。 解 假设，为互素的正整数。 两边平方得，所以是偶数，也是偶数。 方法：先假设结论相反，再寻找矛盾。 注意：分子、分母互素是关键条件。 知识讲授 为什么平方为偶数，原数也是偶数 如果为奇数 设整数为，其平方为。 观察奇偶 前两项为偶数，再加，结果仍为奇数。 因此 整数的平方为偶数时，这个整数不可能是奇数。 例题讲解 问题2　矛盾来自分子分母同为偶数（选学） 正方形的边长是一条线段的长，即表示一个数。那么是有理数吗？ 推出矛盾 答：不是有理数。 解 由为偶数，设，代入得，故也为偶数。 于是有公因数，与互素矛盾；原假设不成立。 方法：保留原假设的互素条件，检查是否矛盾。 注意：不能只证明偶数就结束。 知识讲授 无理数 无限不循环小数又叫作无理数． “无限”与“不循环”两个条件缺一不可。 、、、都是无理数。 有根号的数未必是无理数，如。 环节归纳 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）是无理数。 错 理由：它是无限循环小数，是有理数。 （2）是无理数。 错 理由：，是有理数。 （3）没有根号，所以是有理数。 错 理由：是无限不循环小数，是无理数。 方法：依据定义，必要时先求根式的值。 注意：近似值与原数不能混为一谈。 知识讲授 用平方估计算术平方根 如果，那么． 正方形面积越大，边长也越大。 先找到两个数的平方，把被开方数夹在中间。 比较平方时，先确保用来比较的数都非负。 知识讲授 逐步确定根号2的范围 先取整数 ，所以。 逐位细化 继续试平方，把范围缩小到十分位、百分位、千分位。 所在的范围 所在的范围 知识讲授 更精细地逼近根号2 继续缩小 每增加一位，就把区间长度缩小为原来的十分之一。 注意含义 这些有限小数给出的是范围；仍是精确的无理数。 所在的范围 所在的范围 知识讲授 探究　估计值与近似值 由，能直接断言保留三位小数为吗？ 答：仅凭这个区间还不够；再知，才可取。 解 三位小数的舍入需判断第四位是否小于。 更细区间说明第四位是，所以保留三位小数为。 方法：位数要求与舍入判据对应。 注意：区间下端不总等于四舍五入后的值。 方法总结 估计范围与求近似值 平方夹逼 （1）先用相邻整数的平方确定整数范围。 （2）再试相邻的一位、两位小数的平方。 计算器取近似值 （1）完整输入被开方数，再求平方根或立方根。 （2）多看后一位，按要求四舍五入。 知识讲授 计算器输入的三个检查 根号范围 分数要作为整体输入，如。 正负符号 的负号在根号外；可求值。 取舍时机 先保留屏幕上的较多位数，最后按题意舍入。 输入整个被开方数 求平方根或立方根 按要求取近似值 ↓ ↓ 不同计算器的按键次序可不同，依使用说明操作。 例题讲解 例 4 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 计算器显示，第四位为。 解第（2）题 ，结果是精确整数。 方法：按三位小数舍入。 注意：近似值用。 方法：用平方回查。 注意：精确结果用。 例题讲解 例 4 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 先输入作为被开方数，得。 解第（4）题 计算器得，保留三位小数。 方法：完整输入分数。 注意：第四位为，向前进位。 方法：检查小数点位置。 注意：第四位为，第三位进位。 例题讲解 变式 例 4 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） 解第（1）题 显示，第四位为。 解第（2）题 ，精确值为。 方法：先看所需位数的下一位。 注意：第三位由进为。 方法：优先辨认完全平方。 注意：精确值无需写成近似等号。 例题讲解 例 5 用计算器求值（近似值保留四位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 显示，第五位为。 解第（2）题 。 方法：按四位小数舍入。 注意：连续进位后末位为。 方法：用立方检验。 注意：这是精确值。 例题讲解 例 5 用计算器求值（近似值保留四位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 先求，再添负号。 解第（4）题 先把化为，再开立方。 方法：负数立方根为负数。 注意：不要把负号丢掉。 方法：带分数先化为假分数。 注意：被开方数不是。 例题讲解 变式 例 5 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） 解第（1）题 ，取三位小数后添负号。 解第（2）题 。 方法：先看正数部分，再恢复负号。 注意：保留三位小数，末尾的要写。 方法：用立方确认精确值。 注意：小数点位置要正确。 方法总结 计算表达式与规范书写 辨清根号和符号 （1）时，表示算术平方根，表示两个平方根。 （2）负数可以开立方，结果仍为负数。 辨清等号和位数 （1）精确求值用，四舍五入结果用。 （2）近似值末尾的体现要求的保留位数。 课堂练习 练习1 请判断并说明理由： （1） 无限小数一定是无理数吗？ （2） 无理数一定是无限小数吗？ 解第（1）题 不一定。 例如是无限小数，但它是有理数。 解第（2）题 一定。 无理数是无限不循环小数，因此小数位数必为无限。 方法：用明确反例否定“一定”。 注意：无限循环小数不是无理数。 方法：直接使用定义。 注意：必须同时具有不循环的特征。 课堂练习 练习2 下列无理数分别介于哪两个相邻的整数之间？ （1） （2） 解第（1）题 。 。 方法：找相邻整数的平方。 注意：端点必须相邻。 课堂练习 练习2 下列无理数分别介于哪两个相邻的整数之间？ （1） （2） 解第（2）题 。 ，故。 添上负号后，位置落在与之间。 方法：先确定正数的范围。 注意：负数范围的左端是。 课堂练习 练习3 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，再添负号。 解第（2）题 。 方法：按要求保留三位小数。 注意：原式的负号在根号外。 方法：用立方检验。 注意：精确值用等号。 课堂练习 练习3 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ，算术平方根约为。 解第（4）题 负数立方根为负，计算得。 方法：先求正值，再同时写正负两值。 注意：不要漏掉。 方法：完整输入负的被开方数。 注意：近似值保留三位小数。 课堂小结 无理数 拼图发现 两个单位正方形可拼成面积为二的正方形，其正边长为根号二，不能表示为整数之比。 概念辨认 无理数是无限不循环小数；不能只凭有根号、没有根号或无限小数就作出判断。 逐位逼近 用相邻非负数的平方夹住被开方数，逐步缩小范围，可以获得更精细的近似值。 计算器求值 正确输入根号内的整体，辨清正负号、带分数与根指数，按要求舍入并用近似等号。 特别提醒：原数是无理数，它的有限近似值是有理数。 针对训练 训练1　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）（相邻两个之间依次多一个）是无理数。 对 理由：位数无限且不能从某一位起按固定数字组循环。 （2）是无理数。 错 理由：，是有理数。 （3）是无理数。 错 理由：所写数是有限小数。 方法：依据定义，必要时先求根式的值。 注意：近似值与原数不能混为一谈。 针对训练 训练2　辨认：先求能求出的根 判断是否为无理数，并说明理由： （1） （2） 解第（1）题 不是。 ，是有理数。 解第（2）题 是。 不是整数的完全平方，是无限不循环小数。 方法：先求根式的值。 注意：不能只看根号。 方法：识别常见无理根式。 注意：负号不改变其无限不循环的性质。 针对训练 训练3　估计：相邻整数 不用计算器，确定下列数在哪两个相邻整数之间： （1） （2） 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 ，故。 方法：用平方夹逼。 注意：选取相邻整数。 方法：先找正数范围。 注意：负号对应左侧区间。 针对训练 训练4　辨错：范围的次序 小华由写出。请改正并说明。 答：应为。 解 在与之间。 对应负数在与之间，左端较小。 方法：用熟悉的负数次序核对。 注意：区间从左至右应由小到大。 针对训练 训练5　逼近：把范围缩小 已知，；，。 （1） 写出在相邻一位小数间的范围。 （2） 再写出在相邻两位小数间的范围。 解第（1）题 。 由可得。 解第（2）题 。 由可得。 方法：比较非负数的平方。 注意：区间长度为。 方法：用更精细的小数试平方。 注意：区间长度缩小为。 方法总结 辨认无理数与检验范围 先化简再分类 （1）完全平方数、完全立方数开方后可能是有理数。 （2）无限循环小数虽然不终止，仍是有理数。 平方回查与负号检查 （1）回查两端的平方是否确实夹住被开方数。 （2）估计负根式时，先估计对应的正数。 针对训练 训练6　计算器：三位小数 用计算器求值（近似值保留三位小数）： （1） （2） 解第（1）题 显示，第四位为。 解第（2）题 显示，第四位为，连续进位。 方法：看保留位后一位。 注意：用近似等号。 方法：从右向左正确进位。 注意：末尾的必须保留。 针对训练 训练7　计算器：两个平方根与负立方根 用计算器求值（近似值保留两位小数）： （1） （2） 解第（1）题 ，第三位为。 解第（2）题 ，保留两位后添负号。 方法：先求算术平方根。 注意：结果包含正、负两个值。 方法：负数开立方保留负号。 注意：第三位为，舍去。 针对训练 训练8　辨析：显示屏上的有限小数 计算器显示。小华说：“因此是有限小数。”这句话对吗？ 答：不对；屏幕只显示了有限位近似值。 解 本身是无限不循环小数。 作为有限小数是有理数，但它不等于。 方法：把原数和近似值分清。 注意：显示位数受屏幕限制，不决定原数类别。 针对训练 训练9　选择：近似值的舍入 已知。保留两位小数的结果是什么？ 答：。 解 十分位是、百分位是，千分位是。 按四舍五入，百分位由进为。 方法：由区间确定舍入所需的下一位。 注意：保留两位小数要看第三位。 针对训练 训练10　综合：整数范围里的无理数 请写出两个介于与之间的无理数，并分别用平方关系说明。 答：例如、。 解 。 同理，且均不是完全平方数。 方法：先选两个介于与之间的非完全平方数。 注意：只需给出符合条件的两个数，答案不唯一。 方法总结 长度问题的两种处理 精确表示 （1）面积已知的正方形：边长的平方等于面积。 （2）体积已知的正方体：棱长的立方等于体积。 满足实际精度 （1）先保留根式作为精确值，再求近似值。 （2）选材料长度或规格时，再检验实际条件。 针对训练 训练11　应用：正方形展区 一个正方形展区的面积为平方米。 （1） 求正方形展区的边长，结果保留三位小数。 （2） 用一根米长的直杆沿展区一边摆放，长度够吗？为什么？ 解第（1）题 米。 设边长为米，则，。 所以。 方法：面积求正边长。 注意：先写精确值，再写近似值和单位。 针对训练 训练11　应用：正方形展区 一个正方形展区的面积为平方米。 （1） 求正方形展区的边长，结果保留三位小数。 （2） 用一根米长的直杆沿展区一边摆放，长度够吗？为什么？ 解第（2）题 够；展区边长小于米。 ，所以。 方法：直接比较平方判断是否足够。 注意：不必依赖舍入后的数决定结论。 针对训练 训练12　应用：正方体容器 一个正方体容器的容量为升，已知升立方分米。忽略容器壁厚。 （1） 求容器的内棱长，结果保留三位小数。 （2） 若另做内棱长分米的正方体容器，容量能达到升吗？ 解第（1）题 分米。 设内棱长为分米，则。 计算得。 方法：体积求正的立方根。 注意：体积用立方分米，长度用分米。 针对训练 训练12　应用：正方体容器 一个正方体容器的容量为升，已知升立方分米。忽略容器壁厚。 （1） 求容器的内棱长，结果保留三位小数。 （2） 若另做内棱长分米的正方体容器，容量能达到升吗？ 解第（2）题 不能；容量只有升。 立方分米，即升。 它小于升。 方法：把拟定棱长立方后检验。 注意：容量要求不能只按一位小数四舍五入选规格。 $