第19章 实数（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了实数的核心知识，包括平方根、立方根、有理数与无理数的概念及分类，通过知识图谱将实数与有理数、无理数的从属关系，以及有限小数、无限循环小数与无限不循环小数的特征串联起来，帮助学生构建从有理数到实数的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的递进式复习策略，如考点串讲中通过对比平方根与算术平方根的定义强化抽象能力，题型全解中结合数轴比较实数大小培养几何直观，针对训练设计从基础填空到实际应用题（如长方体水池体积计算）的分层练习。这种设计既发展学生的运算能力与推理意识，又帮助教师精准定位重难点，提升复习效率。

第19章 实数 复习课件 沪教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理清平方根、立方根与实数的概念，构建从有理数到实数的知识体系。 02 掌握运算法则 熟练开方运算与实数混合运算，掌握近似数与有效数字的处理方法。 理解数学思想 领悟数形结合（实数与数轴对应）与分类讨论（平方根双重取值）等数学思想。 提升运算能力 运用实数知识解决实际问题，在数学史与综合题中提升数学素养。 夯实概念基础 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.易漏负数平方根，忽略算术平方根的双重非负性。 2.易误判带根号的数为无理数，需强化常见类型辨析。 3.灵活运用多种方法比较大小，能用有理数逼近无理数。 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的定义与表示方法。 2.理解无理数意义，掌握实数的两种分类方式。 3.掌握实数混合运算，理解实数与数轴一一对应。 4 知识图谱 实数 有理数 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 0 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 5 考点串讲 ——1：平方根与算术平方根 算术平方根 定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即， 那么这个正数叫作的算术平方根． 注意： 的算术平方根记为，读作“根号”． 叫作被开方数． ⚠️ 易错提醒： ①混淆平方根与算术平方根的概念，如=4，而16的平方根是±4. ②算术平方根的双重非负性：被开方数≥0 且结果≥0. ③负数没有平方根． 6 考点串讲 ——1：平方根与算术平方根 平方根 ⚠️ 易错提醒： ①正数𝑎有两个平方根，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． 定义：一般地，如果一个数的平方等于，即， 那么这个数叫作的平方根，也称二次方根. 注意： 叫作被开方数． 7 考点串讲 ——2：立方根 立方根 ⚠️ 易错提醒： ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0； ③负数的立方根是负数； ④任何一个数都有立方根，且只有一个立方根． 定义：一般地，如果一个数的立方等于，即， 那么这个数叫作的立方根，也称三次方根. 注意： 求一个数的立方根的运算叫作开立方． 8 考点串讲 ——3：有理数的小数形式 有理数 定义：有理数必为有限小数或无限循环小数； 反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数． ⚠️ 易错提醒： ①有限小数和无限循环小数都能写成分数形式，都是有理数; ②π本身是无理数; ③无限循环小数化为分数，可设循环节为未知数 ④任何的分数都是有限小数或无限循环小数(除法中余数一定小 于除数，在除数确定的情况下，出现的余数只有有限种可能) 9 考点串讲 ——4：无理数 无理数 定义：无限不循环小数又叫作无理数． 常见类型：①开方开不尽的数（如、）；②含π的数；③特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001…每两个1之间依次多一个0） ⚠️ 易错提醒： ①无理数不能表示成两个整数之比； ②带根号的数不一定是无理数，如 10 考点串讲 ——5：实数与数轴 实数与数轴 定义：有理数和无理数统称为实数． 注意：①实数与数轴上的点一一对应. ②一个无理数在数轴上所对应的点，可以利用这个无理 数的近似值(有理数)所对应的点来大致确定. ⚠️ 易错提醒： ①数轴上右边的点表示的数总比左边的大. ②无理数在数轴上的位置是唯一的，但用近似值标注时不够精确. ③数轴三要素：原点、正方向、单位长度． 11 考点串讲 ——6：实数的绝对值与大小比较 绝对值 定义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值． ⚠️ 易错提醒： ①一个正实数的绝对值是它本身; ②0的绝对值是0; 0的相反数是0； ③一个负实数的绝对值是它的相反数; ④有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 相反数 定义：绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数． 12 考点串讲 ——7：实数的运算 运算律 若、 、 为实数，则有： 加法交换律： ＋ ＝ ＋ ． 加法结合律： (＋ ＋ ＝ ＋ (＋ ． 乘法交换律： ＝ ． 乘法结合律：() ＝． 乘法对加法的分配律： (＋ ＝ ＋ ⚠️ 易错提醒： ①正数和0可以进行开平方运算. ②任意一个实数可以进行开立方运算. ③实数混合运算的顺序,先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减． 13 考点串讲 ——8：科学记数法 科学记数法 定义：把一个数表示成× （1≤｜ ｜＜10，是整数或小数，是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法． 注意：当＝１或＝－１时，“１”常省略不写. ⚠️ 易错提醒： ①绝对值大于10的数：n为正整数; ②绝对值小于1的数：n为负整数; 14 题型全解 题型01 平方根与算术平方根 例：求下列各数的平方根与算术平方根： (1) 49 (2) (3) 0 (4) 16 解析: 49的平方根为±7，算术平方根为7； 0的平方根为0，算术平方根为0； . 15 题型全解 题型01 平方根与算术平方根 例：求下列各式的值： 解析: （取正平方根，即算术平方根）； ； ，9的算术平方根为3。注意：本题是“的算术平方根”，即求9的算术平方根，而不是81的平方根，审题要仔细。 16 题型全解 题型01 平方根与算术平方根 方法总结 分类1：抓定义，辨区别 ①求平方根时，正数有两个互为相反数的结果，要写“±”号；算术平方根只取正的那个； ②负数没有平方根，但被开方数为0时平方根和算术平方根都为0，不可遗漏. 分类 2：审清符号，避免混淆 ① 本身只表示非负的那个平方根（算术平方根），结果不可能为负数; ②带分母的分数开方时，分子分母分别开方，结果仍为分数形式. 题型全解 题型02 立方根 例：求下列各数的立方根： （1）27 （2）-8 （3） （4）0 解析: ； -8的立方根为-2，即； 的立方根为，即 ； 0的立方根为0，即注意：任意实数都有立方根，负数的立方根为负数，符号与被开方数相同。 18 题型全解 题型02 立方根 方法总结 分类1：符号不变，任意可开 ①任意实数都有立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，符号与被开方数相同； ②立方根的结果唯一确定，不涉及“±”号； ③求负数立方根时，负号可直接提到根号外. 分类 2：区分开方次数，灵活转化 ①分清根指数：平方根省略根指数2，立方根必须写根指数3； ②熟悉常用立方数（1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125），可快速求立方根； ③带分母的分数开立方时，分子分母分别开立方. 题型全解 题型03 有理数的小数形式 例： 将下列分数化为小数形式，并指出是有理数还是无理数：． （1） （2） （3） （4） 解析: ，是有限小数，属于有理数； ，是无限循环小数，属于有理数； ，是无限循环小数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数。 注意：所有分数都能化为有限小数或无限循环小数，都属于有理数. 20 题型全解 题型03 有理数的小数形式 例：将化为分数形式，并判断其属于哪类数 解析: 设，则， ∵ ，∴ 化简，得解得 无限循环小数可以化为分数，因此属于有理数. 题型全解 题型03 有理数的小数形式 方法总结 分类1：分数化小数 ①所有分数化得的小数（有限小数或无限循环小数）都属于有理数； ②无限循环小数的小数部分从某一位起依次不断重复出现，可用循环点表示. 分类2：循环小数化分数，设元作差 ①设循环小数为，乘以10的若干次幂（循环节几位就乘10的几次方），使循环部分对齐； ②两式相减消去循环部分，解方程得 的分式形式，再约分； 题型全解 题型04 无理数 例：下列各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？ ， ， ， 3.14， ， （每两个1之间依次多一个0） 答案：无理数有、π、0.1010010001⋯； 有理数有、3.14、  、. 解析，是有理数；是开方开不尽的数，是无理数；π是无限不循环小数，是无理数；3.14是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 0.1010010001⋯是特定结构的无限不循环小数，是无理数；是分数，是有理数. 题型全解 题型04 无理数 例：下列命题正确的是（ ） A.数轴上的点都表示有理数 B.数轴上的点都表示无理数 C.实数与数轴上的点一一对应 D. 与数轴上一一对应的点是无理数 解析:实数分为有理数和无理数，两者合起来与数轴上的点一一对应。A错在遗漏了无理数；B错在遗漏了有理数；D错在遗漏了有理数。答案：C. 题型全解 题型04 无理数 方法总结 分类1：重本质，轻形式 ①判断无理数不能只看形式——带根号的不一定是无理数（如），需先化简； ②抓住本质：无限不循环小数，不能写成分数形式的数才是无理数； ③含的数一般为无理数. 分类 2：熟记三类，准确辨析 ①无理数常见三类：开方开不尽的数（如）、含的数、特定结构的无限不循环小数； ②有限小数、无限循环小数、整数、分数都属于有理数. 题型全解 题型05 实数与数轴 例：判断在数轴上介于哪两个连续整数之间，并在数轴上标出. 解析介于1和2之间。理由：，，1<3<4，所以。因此在数轴上对应的点位于1和2之间. 用计算器可得，在数轴上表示如上图所示. 题型全解 题型05 实数与数轴 方法总结 分类1：一一对应，有序排列 ①实数与数轴上的点一一对应——每个实数都能在数轴上找到唯一对应点，每个点也唯一对应一个实数； ②数轴右边的点表示的数总比左边的大，可利用数轴直观比较大小. 分类 2：估值定位，勾股作图 ①判断无理数在数轴上介于哪两个连续整数之间：找到相邻两个整数，使其平方分别小于和大于被开方数; ②数轴上两点间的距离等于右边点对应的数减去左边点对应的数. 题型全解 题型06 实数的绝对值与大小比较 例：化简下列各式： （1） （2） (3) 解析：（1），，所以. （2），，所以. （3），，所以 关键：先判断绝对值内式子的正负，再根据定义去绝对值。 题型全解 题型06 实数的绝对值与大小比较 方法总结 分类1：去绝对值，先判正负 ①去绝对值前先判断绝对值内式子的正负：正数绝对值等于本身，负数绝对值等于相反数，0的绝对值为0； ②含字母的绝对值需分类讨论. 分类 2：比大小，灵活选法 ①数轴法：将数在数轴上标出，右边大于左边; ②差值法：a - b > 0 则 a > b，a - b < 0 则 a < b； ③平方法：两个正数比较大小时，平方较大的数也较大；两个负数比较时，平方较大的反而小. 题型全解 题型07 实数的运算 例：计算 （1） (2) 解： 原式= 2+（-3）-2 = -3 解： 原式= 3 + 4 - 2 = 5 注意运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减。 题型全解 题型07 实数的运算 例：计算 （1） (2)2 + 4 - 解： 原式= = =2 解： 原式= （ = 5 乘法交换律 乘法对加法的分配律 题型全解 题型07 实数的运算 方法总结 分类1：遵循顺序，先开后算 ①实数混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内； ②开方与乘方互为逆运算，可利用乘方验证开方结果是否正确. ③运算律在实数范围内同样适用 分类 2：化简根式，合并同类 ①将二次根式化为最简形式：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母； ②同类二次根式：化简后被开方数相同的根式，合并时只变系数，根号部分不变. 题型全解 题型08 科学记数法 例：用科学记数法表示下列各数： （1）0.0000208 (2)-0.000000315 解： 原式= 解： 原式= 不要忘记负号！ 题型全解 题型08 科学记数法 例：将 5.02 × 10⁻⁴ 写成小数形式 解： 原式= 0.000502 指数-4表示小数点向左移动4位 题型全解 题型08 科学记数法 方法总结 分类1：规范表示 ①科学记数法形式为，其中 ，n为整数； ②确定n的方法：看小数点左右移动的位数，左移n为正，右移n为负； 分类 2：数准有效 ①科学记数法表示的数化为原数时，指数为正则右移小数点，指数为负则左移； ②负数用科学记数法时，负号写在最前面，a 部分取正数. 针对训练 4 1．16的平方根是_____________； 的算术平方根是_________. 2. 填空： 3．化为小数是__________，属于___________（填“有理数”或“无理数”） 4.在 、 、、3.14、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有______个 【T4】 无理数： ． 3 针对训练 5. 判断：下列说法是否正确？ （1）0的平方根是0; （2）负数有平方根; （3）= ±3; 答案：（1）正确；（2）错误；（3）错误； （4）正确； （5）错误； （6）错误 解析：（1）0的平方根是0，正确。（2）负数没有平方根，错误。（3） 表示9的算术平方根，应等于3；（4）负号可直接提到根号外，这是立方根的重要性质； （5）无限循环小数是有理数，不是无理数；（6）无理数也是实数，同样能在数轴上找到唯一对应点。 （4）; （5）无限小数都是无理数; （6）无理数不能在数轴上表示; 针对训练 6. 计算. 解原式= = = (1) 解原式= = 5 (2) 针对训练 7. 简答：已知 ，求 的值. 解析， 两边立方得 针对训练 8. 简答：将化为分数形式，并写出过程. 解：设 则, 有， 所以化为分数为 9.填空. 针对训练 0.0000156用科学记数法表示为_________； 2.03 × 10⁻⁴ 化为小数形式为__________. 1.56 × 10⁻⁵ 0.000203 10.下列用科学记数法表示正确的是（ ） 0.0035 = 35 × 10⁻⁴ B. 0.0035 = 3.5 × 10⁻³ C. 0.0035 = 3.5 × 10³ D. 0.0035 = 3.5 × 10⁻² B 解：科学记数法要求 1 ≤ |a| < 10，只有3.5满足；0.0035左起第一个非0数字3前面有3个0，指数为-3，所以 0.0035 = 3.5×10⁻³ 11.有一个长方体的水池长、宽、高之比为 3∶2∶1，其体积为 384 m³ （1）求长方体水池的长、宽、高各为多少米； （2）若将一个半径为R的球放入注满水的水池中（球沉入水底），溢出水池的水的体积为水池体积的 1/16。求该球的半径 R 为多少米？（π取3，结果精确到0.1 m，球的体积公式：V = 4/3 πR³） 针对训练 解（1）：设长、宽、高分别为 体积 ， ∴ 长 = 12 m，宽 = 8 m，高 = 4 m 答：长方体水池的长、宽、高各为12米、8米、4米. 11.有一个长方体的水池长、宽、高之比为 3∶2∶1，其体积为 384 m³ （1）求长方体水池的长、宽、高各为多少米； （2）若将一个半径为R的球放入注满水的水池中（球沉入水底），溢出水池的水的体积为水池体积的 1/16。求该球的半径 R 为多少米？（π取3，结果精确到0.1 m，球的体积公式：V = πR³） 针对训练 解（2）：溢出的水的体积 = 水池体积m³ 溢出的水的体积等于球的体积，所以 ， V球 = 结果精确到0.1 m，R ≈ 1.8 m 答：求该球的半径 R 为多少1.8米. 单元总结/易错复盘 ·核心概念 ①有理数和无理数统称为实数； ②有理数可化为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. ·概念辨析 ①9的平方根是±3，但 。看清问题是求“平方根”还是“算术平方根”. ②带根号的不一定是无理数（如=2），无理数也不一定带根号（如）. ·思想方法 ①分类讨论：去绝对值符号时，先判断绝对值内式子的正负; ②数形结合：实数与数轴上的点一一对应，借助数轴直观比较大小、表示无理数位置. 44 沪教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $