19.1(3)平方根与立方根-立方根-课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“立方根”核心知识点，涵盖定义、性质、符号表示及小数点移动规律。课堂导入通过纸盒底面积（平方根）与体积（立方根）问题，衔接旧知，搭建从平方运算到立方运算的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以现实问题为起点培养数学眼光，通过正负数、分数、小数的立方根例题推理规律发展数学思维，用表格对比立方根与平方根强化数学语言表达。学生能深化概念理解，教师可依托系统流程高效教学。

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 立方根 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 同学们，我们前面两节学习了算术平方根和平方根的知识，今天我们一起来学习与它们类似的一个概念：立方根。 接下来，我们先来看一个实例。 1 情境引入 已知一个数的立方，求这个数. 已知一个数的平方，求这个数. 如图是一个正方体纸盒,已知纸盒的底面积是100cm²，求它的棱长是多少?【单击】 我们不妨设这个正方体纸盒的棱长是xcm，因为正方体的底面积等于棱长的平方，根据已知条件得x²=100【单击】 所以x是100的算术平方根，所以x=10【单击】 那么，如果已知纸盒的体积是1000cm³，它的棱长又是多少？【单击】 这个问题，我们依然设正方体纸盒的棱长是xcm，由于正方体的体积等于棱长的立方，根据已知条件得x³=1000【单击】 而10的立方等于1000，所以x=10【单击】 第一个问题是已知一个数的平方，求这个数的问题，就是我们前面学习的平方根，即已知一个数的x的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，而第二个问题是已知一个数的立方求这个数的问题，就是我们今天要学习的立方根。类比平方根的定义我们得到 【翻页】 2 新知讲授 求一个正数的平方根的运算叫作开平方. 定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根，也称为三次方根，叫作被开方数. 求一个数的立方根的运算叫作开立方. 例如，=1000，那么10叫作1000的 ，1000叫作 . 求1000的立方根，就是要对1000进行 运算. 一般地，如果一个数x的立方等于a ,即 x³=a,那么这个数x叫作a的立方根,也称为三次方根. a叫作被开方数.【单击】 我们学习过求一个正数的平方根的运算叫做开平方，我们可以类比得到【单击】：求一个数的立方根的运算，叫做“开立方”。【单击】 例如： 例如，10³=1000 ,那么 10叫作1000 的_________,【单击】（立方根）， 1000叫作___________.（被开方数） 求 1000的立方根,就是要对 1000进行________运算.（开立方） 与平方运算和开平方运算互为逆运算类似，立方运算也与开立方运算互为逆运算。 我们已经学习过，一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，那么，是不是任意一个数都有立方根呢，带着这个问题我们看一下下面的例题 3 例题讲解 正数 正数 负数 负数 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 例1，求出下列各数的立方根 第1小题，求27的立方根，因为3³=27，根据立方根的定义，27的立方根是3 第2小题，求-1000的立方根，因为-10³=-1000，所以-1000的立方根是-10， 第3小题，因为被开方数的分子64是4的立方，125是5的立方，所以64/125是4/5的立方，所以64/125的立方根是4/5， 第4小题，因为0的任意次方是0,0³=0，所以0的立方根是0 我们发现第1、3小题中的被开方数是正数【播放】，它们的立方根也是正数，第2小题中的被开方数为负数【播放】，它的立方根是负数，第4小题中0的立方根是0。 经验告诉我们正数、负数、0都有立方根， 而在平方根的学习中，只有非负数有平方根， 这是因为任意数的平方是非负数，而一个数的立方可能是正数、负数或0， 由于开立方是立方运算的逆运算，所以我们可以得到任何数都有立方根。而且在我们现在所认识的数中【单击】，任何一个数都有立方根，且只有一个立方根。 【翻页】 4 新知讲授 正数的立方根是正数; 0的立方根是0； 负数的立方根是负数. 正数、0、负数的立方根各有什么特点呢？ 请同学们思考一下，正数、负数、0的立方根各有什么特点呢 由于正数的立方是正数，负数的立方是负数，0的立方是0 而开立方运算和立方运算互为逆运算，所以相应地【按键】 正数的立方根是正数; 0的立方根是0； 负数的立方根是负数. 数学是一门符号化的语言，如数a的平方根用正负根号a表示，根据立方根的唯一性，数a的立方根我们就用这个符号表示，读作“三次根号a”。 5 例题讲解 接下来，利用这个符号我们一起看一下例2的化简， 第1小题，三次根号二百一十六表示216的三次方根，因为6的立方等于216，所以216的三次方根为6，即三次根号216=6；【单击】 第2小题，三次根号负二百一十六表示-216的三次方根，因为-6的立方等于-216，所以-216的三次方根为-6，即三次根号-216=-6；【单击】 第3小题，三次根号1/8表示1/8的三次方根，因为1/2的立方等于1/8，所以1/8的三次方根为1/2，即三次根号1/8=1/2；【单击】 第4小题，三次根号-1/8表示-1/8的三次方根，因为-1/2的立方等于-1/8，所以-1/8的三次方根为-1/2，即三次根号-1/8=-1/2；【单击】 通过以上几个题目，我们发现被开方数是正数，立方根是正数，被开方数是负数，立方根是负数； 特别地，当被开方数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，即：【按键】一般地，3次根号-a=-三次根号a 由于一个数的立方根和它本身的符号具有一致性，那么求一个负数的立方根时可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 以第4小题为例，我们也可以先确定被开方数-1/8的相反数为1/8，【单击】所以化简结果是1/8的立方根1/2的相反数即-1/2 6 例题讲解 将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根扩大为原来的10倍. 我们再看一组化简 （1）因为27000是30的立方，那么三次根号27000就等于27000的立方根30，我们知道三次根号27等于3，观察发现被开方数27扩大1000倍得27000，立方根3扩大10倍成为30，我们思考一下：将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根如何变化？ 类比一个正数扩大为原来的100倍，它的算术平方根扩大为原来的10倍，我们猜想：将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根扩大为原来的10倍 我们做一个简单的证明{翻页} 7 总结归纳 将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根扩大为原来的10倍. 对于任意数a，我们设a³=x,那么(10a)³=1000a³=1000x，所以x的立方根等于a的话，1000x的立方根就是10a 所以，之前的猜想是正确的，即将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根扩大为原来的10倍 8 例题讲解 根据前面证明的结论，我们一起完成第2和第3小题， 我们知道-125的立方根是-5，第2小题的被开方数-12万5000是-125的小数点向右移动三位 所以它的立方根为-125的立方根-5的小数点向右移动1位即-50 对于第3小题，我们知道-1的立方根是-1，被开方数-100万是-1的小数点向右移动六位 所以它的立方根为-1的立方根-1的小数点向右移动2位即-100 9 例题讲解 接下来，我们再看另一组化简 （1）因为-0.008是-0.2的立方，那么三次根号-0.008就等于-0.008的立方根-0.2， 我们知道三次根号-8等于-2，观察发现被开方数-8缩小为原来的1/1000得-0.008，立方根-2缩小为原来的1/10成为-0.2，我们思考一下：将被开方数缩小为原来的1/1000,它的立方根如何变化？ 类比一个正数缩小为原来的1/100，它的算术平方根缩小为原来的1/10倍，我们猜想：将被开方数缩小为原来的1/1000,它的立方根缩小为原来的1/10 我们做一个简单的证明{翻页} 10 总结归纳 将被开方数缩小为原来的 ,它的立方根缩小为原来的 . 对于任意数a，我们设a³=x,那么(0.1a)³=0.001a³=0.001x，所以x的立方根等于a的话，0.001x的立方根就是0.1a 所以，之前的猜想正确的，即将被开方数缩小为原来的1/1000,它的立方根缩小为原来1/10 11 例题讲解 根据前面证明的结论，我们一起完成第2和第3小题， 我们知道64的立方根是4【单击】，第2小题的被开方数0.064是64的小数点向左移动三位 所以它的立方根为64的立方根4的小数点向左移动1位即0.4【单击】 对于第3小题，我们知道1的立方根是1【单击】，被开方数0.000001是1的小数点向左移动六位 所以它的立方根为1立方根1的小数点向左移动2位即0.01 【单击】 12 归纳总结 被开方数的小数点向右或者向左移动三位,它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 前面两组结论： 一个数扩大为原来的1000倍,它的立方根就扩大为原来的10倍 一个数缩小为原来的 1/1000,它的立方根就缩小为原来的 1/10 我们可以从小数点移动的角度统一为：被开方数的小数点向右或者向左移动三位,它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 这对于我们求一些较大或者较小的数的立方根有非常重要是的实际意义。 接下来我们一起来完成几个练习 13 课堂练习 第一题，a³=125，求a的值，因为5的立方等于125，所以a为125的立方根5，【单击】 已知b³=-1/216，b为负的1/216的立方根，负的1/6；【单击】 已知c³=0.008，所以c为8的立方根小数点向左移动一位即0.2【单击】 14 课堂练习 第1小题三次根号64是求64的三次方根，因为4的立方等于64，所以64的三次方根为4，即【单击】三次根号64=4； 第2小题三次根号-125，因为-5的立方等于-125，所以【单击】三次根号-125=-5； 第3小题三次根号-1/27，因为-1/3的立方等于-1/27，所以【单击】三次根号-1/27=-1/3； 第4小题被开方数可以化为假分数27/8，所以本题转化为三次根,27/8，因为3/2的立方等于27/8，所以三次根号3又3/8【单击】=3/2； 15 课堂练习 第1小题的被开方数800万可视为8的小数点向右移动6位得到，那么800万的立方根就是2小数点向右移动2位，也就是200 第2小题的被开方数0.125是0.5³，所以化简结果是0.5 显然，第3小题的化简结果为负，被开方数的绝对值21万6千可视为216的小数点向右移动3位得到，那么21万6千的立方根就是216的立方根6的小数点向右移动1位得60，那么三次根号-216000就等于60的相反数-60 第4小题被开方数是-27的小数点向左移动6位，立方根的小数点需要向左移动两位，也就是-0.03 这些练习帮助同学们更进一步明确了立方根的概念和性质，那么我们一起来就平方根和立方根进行一下辨析 16 课堂练习 0和1 0、-1和1 （1）正确，因为任意一个数的立方根与它本身同号，这个说法就是公式3次根号-a等于-三次根号a的文字表述 （2）立方根是它本身的数只有0，这个说法是错误的，因为立方根是本身的数还有1和-1 （3）算术平方根是它本身的数只有0，错误，因为算术平方根具有非负性和唯一性，1的算术平方根也是1本身 （4）立方根具有唯一性，而只有0平方根有一个就是0本省，正数的平方根有两个，负数没有平方根 好，同学们我们来复习一下今天学习的主要内容 17 归纳小结 立方根 平方根 我们首先学习了什么是立方根：如果一个数x 的立方等于a ,即x³=a ,那么这个数x叫作a 的立方根,也称为三次方根. 立方根用符号三次根号a表示 我们也证明了任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 被开方数的小数点向右或者向左移动三位,它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 我们在这几个方面和平方根做一个类比， 如果一个数x 的平方等于a ,即x²=a ,那么这个数x叫作a 的平方根,也称为二次方根. 平方根用符号正负根号a表示 非负数有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。 被开方数的小数点向右或者向左移动两位,它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 两个知识点有非常高的相似性，但又各不相同。 对于今天我们学习的立方根，阿基米德曾经说过：【翻页】 18 结束语 数的立方与立方根，是三维世界最简洁的契约. 如果给我们一个体积  ，我们就能用  度量宇宙的厚度. 给我一个体积V，我能用三次根号V度量宇宙的厚度 阿基米德这句话源自于球体积的研究，凸显立方根是空间尺度的核心，立方根的存在使得立体空间可以被度量。 丢番图也说过：数的立方与它的根，是三维世界最简洁的契约。这表达了a³与三次根号a的互逆关系如契约般不可分割，阐明了三次方根的唯一性。 好的，同学们，今天的课就上到这里，下课。 相信同学们通过这节课的学习，感受到数的立方，给我一个体积V，我能用。。。。 19 (3)因为,所以的立方根是. (4)因为,所以0的立方根是0. 求下列各数的立方根: (1); (2); (3); (4)0. (1)因为,所以27的立方根是3. (2)因为,所以的立方根是. 数的立方根用符号“”表示. (3). （4). 一般地, . 化简: (1); (2); (3); (4). (1). (2). 将被开方数扩大为原来的1000倍,它的立方根如何变化？ 化简: (1);(2);(3). 化简: (1); (2); (3). 将被开方数缩小为原来的,它的立方根又如何变化？ 化简: (1); (2); (3). 1、 已知.求的值. (4). 2、化简: (1); (2); (3); (4). (1). (3). (2). (4). 3、化简: (1); (2); (3); (4). (1). (2). (3). 4、下列说法是否正确?如果不正确,请说明理由. (1) 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数; (2) 立方根是它本身的数只有0; (3) 算术平方根是它本身的数只有0; (4) 平方根与立方根相等的数只有 0. $