19.2 实数（第5课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.2 实数 （第5课时）实数的运算 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 学习目标：算得有序，结果有据 有序计算 把有理数的运算律与运算顺序推广到实数。 精确与近似 先适当化简，再按题目要求取近似值。 解决问题 从公式与几何图形中提取数量关系，解释所得答案。 复习引入 回顾　已学的开方与乘方 计算下列各式： （1） 、。 （2） 。 解第（1）题 、。 先看根号与平方的位置。 解第（2）题 。 。 方法：按算术平方根意义计算。 注意：非负。 方法：先开立方，再求绝对值。 注意：负数的立方根仍是负数。 知识讲授 运算意义推广到实数 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样．我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用． 加、减、乘、除、乘方的意义没有改变。 除法中除数不能为0，这一要求也没有改变。 知识讲授 加法交换律与结合律 加法交换律：． 加法结合律：． 其中、、均为实数。 如。 运算律允许重新安排加数与分组。 知识讲授 乘法交换律与结合律 乘法交换律：． 乘法结合律：． 其中、、均为实数。 如。 把相同的平方根相乘，可用平方根的意义计算。 知识讲授 乘法对加法的分配律 乘法对加法的分配律：． 其中、、均为实数。 如。 反向使用分配律，可以提取相同的因数。 知识讲授 实数混合运算的顺序 实数混合运算的顺序为：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减． 有括号时，先算括号里面的。 乘除同级，通常按从左到右的顺序计算。 平方根要求被开方数非负；立方根可对任意实数求值。 知识讲授 看清根号覆盖到哪里 根号是整体符号 要先计算根号内的两项和。 先算内部 ，，内部合为16。 最后开方 ；不能把一个和随意拆成两个根号。 例题讲解 例 11 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（1）题 。 由分配律：。 解第（2）题 。 除以，就是乘。 交换结合得。 方法：提取共同因数。 注意：最后一项的系数是1。 方法：把除法改为乘倒数，再安排顺序。 注意：分数的分子、分母要整体交换。 例题讲解 例 11 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（3）题 。 根号内先算：；再开方得4。 方法：先确定根号范围。 注意：最外层根号覆盖两项之和。 例题讲解 例 11 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（4）题 。 括号内合并为。 分配得。 方法：先合并相同因数的项，再用分配律。 注意：2不能与直接相加成一个整数。 例题讲解 变式 例 11 计算： （1） 。 （2） 。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 。 方法：提取共同因数。 注意：省略的系数为1。 方法：用分配律逐项相乘。 注意：两项都要乘。 方法总结 运算律的两种用法 合并：反向使用分配律 （1）寻找相同的因数，如。 （2）只把这些项的系数相加或相减。 （3）相同因数保留不变。 配对：使用交换律和结合律 （1）先把除法改成乘倒数。 （2）将相同平方根安排到一起。 （3）用完成计算。 知识讲授 取近似值的顺序 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值．这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五入法”，按照所要求的精确度取近似值． 先化简到便于计算的形式，再输入计算器。 保留两位小数，要观察第三位小数。 由精确值写出近似值时用，保留末尾所需的。 知识讲授 精确的数与近似数 精确表示 一星期7天， cm m；、也能表示精确的数。 近似表示 、，右边是对应的近似值。 按要求作答 未要求取近似值时，结果可以保留为、。 例题讲解 例 12 计算（结果保留两位小数）： （1） 。 （2） 。 解第（1）题 。 先合并。 计算得约4.555806，保留两位小数。 解第（2）题 。 括号内。 计算得约6.928203，保留两位小数。 方法：先化简，再对最后结果舍入。 注意：不要过早把取成1.41。 方法：先算平方与括号。 注意：6.928保留两位小数需进1。 例题讲解 变式 例 12 计算，结果保留两位小数。 答：。 解 平方与减法得。 ，按两位小数写成2.50。 方法：先精确计算，再按位数规范书写。 注意：保留两位小数时，2.5应写为2.50。 方法总结 精确计算与近似计算 精确计算：用运算律整理 （1）先处理乘方、开方和括号。 （2）把相同因数的项合并。 （3）未要求近似时保留精确的根式或π。 近似计算：最后才舍入 （1）先化简，减少计算器输入。 （2）多保留若干位中间结果。 （3）根据最终精确度用四舍五入法取值。 例题讲解 例 13 伞兵脱离飞机打开降落伞前下降的高度（单位：m）与下降的时间（单位：s）近似地满足（不计空气阻力）。某伞兵在打开降落伞前下降了920 m，问：大约经过了多少时间（结果精确到1 s）？ 答：大约经过 s。 解 代入得，所以。 因为，（s）。 方法：先代入模型，再根据时间意义选正根。 注意：这里使用题设近似关系，并且不计空气阻力。 例题讲解 例 13 伞兵脱离飞机打开降落伞前下降的高度（单位：m）与下降的时间（单位：s）近似地满足（不计空气阻力）。某伞兵在打开降落伞前下降了920 m，问：大约经过了多少时间（结果精确到1 s）？ 检验与解释 答：时间介于13 s与14 s之间，精确到1 s为14 s。 解 ，。 离14更近，舍入后的时间不再要求精确还原920 m。 方法：用相邻整数代入模型，检查时间范围。 注意：负根没有时间意义；近似答案回代存在舍入误差。 例题讲解 变式 例 13 仍用（不计空气阻力），若下降高度为196 m，求下降时间。 答：下降时间为 s，约 s。 解 。 取，可用确认正根。 方法：先求时间的平方，再选正根。 注意：没有精确度要求时，精确值与近似值要区分。 知识讲授 结果一定还是原来的数类吗 有理数之间 加、减、乘，以及除数非零的除法，结果仍是有理数。 无理数之间 ，，结果可以是有理数。 判断方法 能化简就先化简；“含无理数”并不决定最后结果的数类。 环节归纳 探究 讨论下列问题： （1） 如果、都是有理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是有理数吗？ （2） 如果、都是无理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是无理数吗？ （3） 除了之前出现的无理数，你还能找出其他的一些无理数吗？ 解第（1）题 在除数非零的条件下，一定是有理数。 把有理数写成分数，四则运算后仍可写成分数。 方法：说明四则运算各自的条件。 注意：除数不能为0。 环节归纳 探究 讨论下列问题： （1） 如果、都是有理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是有理数吗？ （2） 如果、都是无理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是无理数吗？ （3） 除了之前出现的无理数，你还能找出其他的一些无理数吗？ 解第（2）题 不一定。四种运算都可得到有理数。 ；。 ；。 方法：用反例否定“一定”。 注意：必须分别照顾加、减、乘、除四种运算。 环节归纳 探究 讨论下列问题： （1） 如果、都是有理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是有理数吗？ （2） 如果、都是无理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，得到的结果一定是无理数吗？ （3） 除了之前出现的无理数，你还能找出其他的一些无理数吗？ 解第（3）题 例如、。 它们分别是17的算术平方根、13的立方根。 方法：结合已学无理数的例子寻找。 注意：不是所有根式都是无理数，如。 课堂练习 练习1 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（1）题 。 。 解第（2）题 。 分配得。 方法：提取共同因数。 注意：系数和为1。 方法：逐项相乘。 注意：不要遗漏乘1。 课堂练习 练习1 计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（3）题 。 乘倒数并结合：。 解第（4）题 。 先算最外层根号内：。 方法：用交换律将相同平方根配对。 注意：乘除同级，不可把后面的乘式当作整个除数。 方法：先用分配律算内部，再开外层平方。 注意：最外层根号覆盖整个乘积。 课堂练习 练习2 计算（结果保留两位小数）： （1） 。 （2） 。 解第（1）题 。 ；合并。 约为1.096376，保留两位小数为1.10。 解第（2）题 。 括号内。 结果约为−21.166010，保留两位小数。 方法：先化简，再保留两位小数。 注意：进位后末尾的0不可省略。 方法：先精确求括号内的数。 注意：负数舍入时先看绝对值，再保留负号。 课堂练习 练习3 如图，在地面上有一个花坛，其底部外周由一段圆弧与正方形的三条边组成。已知圆弧的半径和正方形的边长相等。正方形的面积为30 m²。求花坛底部的周长（取3.14，结果精确到0.1 m）。 （1） 确定外周圆弧的圆心角。 （2） 求花坛底部的周长。 解第（1）题：外周圆弧的圆心角是。 ，故是等边三角形，。 外周经过大圆弧，圆心角为。 方法：分别计算三边与大圆弧的长度。 注意：、小圆弧不计入外周。 课堂练习 练习3 如图，在地面上有一个花坛，其底部外周由一段圆弧与正方形的三条边组成。已知圆弧的半径和正方形的边长相等。正方形的面积为30 m²。求花坛底部的周长（取3.14，结果精确到0.1 m）。 （1） 确定外周圆弧的圆心角。 （2） 求花坛底部的周长。 解第（2）题：周长约为 m。 边长与半径均为 m。 （m）。 方法：分别计算三边与大圆弧的长度。 注意：、小圆弧不计入外周。 方法总结 实际问题中的两条计算路线 公式型：代入后求未知量 （1）列清已知量、未知量及单位。 （2）代入关系式，先求平方或立方。 （3）按实际意义选根，再取近似值。 图形型：先读边界再计算 （1）找出外周真正包含的线段和圆弧。 （2）由面积求边长，再判断圆心角。 （3）精确列式，最后统一代入近似值。 环节归纳 辨错　近似值不能过早取 求，结果保留两位小数。小明先取，算得41.00。这样做有什么问题？ 答：应为，过早舍入使误差被放大。 解 直接计算。 中间误差乘以100后变大；最后再保留两位小数。 方法：计算器中保留完整中间结果。 注意：只对最终结果按题目精确度舍入。 方法总结 用两种方式检查计算结果 结构检查 （1）括号和根号覆盖范围是否看清。 （2）分配律是否乘到每一项。 （3）同级乘除是否保持原来意义。 数值检查 （1）先估算结果的大致正负与范围。 （2）近似值的小数位数是否正确。 （3）代回原关系时考虑舍入造成的差异。 课堂小结 实数的运算 运算顺序 先处理括号，再乘方和开平立方，然后乘除，最后加减；根号覆盖的整体要先看清。 运算定律 交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用，可把相同因数合并或把相同平方根配对。 近似计算 先对算式进行适当化简，中间多保留若干位，最后按照要求的精确度用四舍五入法取值。 实际应用 明确数量关系与单位，根据时间和长度等实际意义选取合适的根，并检查答案的合理范围。 特别提醒：根号范围看清；除数非零；最后再取近似值。 针对训练 训练1　按顺序完成基础运算 计算：（1）；（2）。 答：（1）；（2）。 解 第一式。 第二式。 方法：先乘方和开方，再加减。 注意：负数的平方为正，负数的立方根为负。 针对训练 训练2　合并相同因数的项 计算：。 答：。 解 由分配律，原式。 系数和为5。 方法：把看作共同因数。 注意：最后一项的系数是1。 针对训练 训练3　判断运算是否正确 （1）。 错 理由：左边5，右边7。 （2）。 对 理由：算术平方根的平方等于被开方数。 （3）。 对 理由：反向使用分配律。 （4）两个无理数相加一定还是无理数。 错 理由：。 方法：用定义、运算律或反例作判断。 注意：不能把根号内的加法随意拆开。 针对训练 训练4　给整式中的每一项都乘到 计算：。 答：。 解 分配得。 平方项为7。 方法：用分配律展开两个乘积。 注意：第二项保留原来的负号。 针对训练 训练5　除以分数再乘实数 计算：。 答：。 解 除法改为乘倒数：。 结合后。 方法：先改写除法，再将相同平方根配对。 注意：不能把最后的放到原分母中。 针对训练 训练6　由内向外处理根号 计算：。 答：。 解 最外层根号内为。 所以原式。 方法：先算根号内的乘方与加法。 注意：最外层算术平方根只取非负值。 针对训练 训练7　整理后再求近似值 计算：，结果保留两位小数。 答：。 解 先合并。 约为4.555806，按第三位小数进位。 方法：先得到精确式，再取近似值。 注意：等号用于精确化简，约等号用于近似结果。 针对训练 训练8　负数也按精确度舍入 计算：，结果保留两位小数。 答：。 解 括号内。 绝对值约12.124356，保留两位小数为12.12。 方法：先算精确式，舍入后保留负号。 注意：不能因结果为负数就改变四舍五入规则。 针对训练 训练9　纠正遗漏乘积的错误 小明算：。指出错误并给出正确答案。 答：正确答案为。 解 分配律要求2和都乘外面的。 第一项是，不是2。 方法：逐项画出“谁乘谁”的对应关系。 注意：不能遗漏一个乘积。 针对训练 训练10　判断结果是有理数还是无理数 计算并判断结果的数类： （1）；（2）；（3）。 答：（1），有理数；（2），有理数；（3），无理数。 解 先分别用相反数、平方根意义和分配律化简。 根据最终结果判断数类。 方法：先算出结果，再给结果分类。 注意：原式中出现无理数，不代表结果一定无理。 针对训练 训练11　应用：由下降高度求时间 某物体下降的高度与时间近似满足（不计空气阻力，用m，用s）。若下降高度为80 m，求下降时间，精确到0.1 s。 答：下降时间约为 s。 解 ，根据时间意义取正根。 ，精确到0.1 s为4.0 s。 方法：代入模型并根据实际意义选择正根。 注意：保留一位小数时应写4.0。 针对训练 训练12　应用：长方形标牌的材料 一块长方形标牌，宽为 m，长为 m。求周长与面积，并把面积保留两位小数。 答：周长为 m；面积为 m²，约 m²。 解 周长。 面积。 方法：分别用周长公式与面积公式，再用分配律。 注意：周长单位是m，面积单位是m²。 $