19.2 实数（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.2 实数 （第1课时）有理数的小数形式 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 本课学习目标 认识形式 会把有理数写成有限小数或无限循环小数。 解释原因 从除法的余数重复说明商为什么循环。 相互转化 能把有限小数化成分数；选学循环小数化分数。 复习引入 分数与小数表示同一个数 回顾 有理数可以写成，其中为整数，。 方法 分数化为小数，就是用分子除以分母。 观察 商会终止，还是某些数字不断重复？ 复习引入 探究　观察有理数的小数形式 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ （1） （2） （3） （4） （5） 解第（1）题 ，余数最后为。 解第（2）题 先算，再添负号。 方法：分子除以分母。 注意：小数可在某一位终止。 方法：先求正数部分。 注意：保留原数的负号。 复习引入 探究　观察有理数的小数形式 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ （1） （2） （3） （4） （5） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：观察反复出现的数字组。 注意：循环节为。 方法：整数部分与循环部分分开。 注意：循环节是。 复习引入 探究　观察有理数的小数形式 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ （1） （2） （3） （4） （5） 解第（5）题 。 方法：先展开小数，再标循环点。 注意：首位不在循环节内。 知识讲授 长除法中的余数 第一步 商，余。 接着算 商余；商余。 观察 余数再次出现，以后运算重复。 补0后的数 商的一位 余数 知识讲授 为什么商一定出现循环 可能有限 除数是时，余数只能为至。 余数重复 若总除不尽，非零余数必有重复。 商也重复 同一余数补再除，商和下一余数都相同。 余数 商 → 余数 商 → 余数 余数重复，后面的商重复 知识讲授 整数也有小数形式 整数 ，，。 有限小数 小数位数有限，如、。 无限循环小数 从某一位起，数字或数字组依次不断重复。 方法总结 分数化小数与循环记法 用除法确定小数 （1）分子除以分母，跟踪每一步的余数。 （2）余数为则终止；余数重复则商循环。 准确标记循环节 （1）一位循环节，在该数字上标一个点。 （2）多位循环节，只在首尾两位上标点。 知识讲授 有限小数怎样化为分数 看位数 一位、两位、三位小数的分母可取。 化分数 ；。 约分 去掉小数点作分子后，还要约为最简分数。 例题讲解 辨析　整数部分不能丢 把化成分数。有人写成，对吗？ 答：；原写法错误。 解 。 原解遗漏了整数部分。 方法：把整个数化成分数。 注意：负号作用于整个数。 例题讲解 例 1 将化成分数。 答：。 解 设，则。 所以，解得。 方法：把小数点右移一位，使循环部分对齐。 注意：乘后，整数部分变为。 例题讲解 变式 例 1 将化成分数。 答：。 解 设，则。 所以，得。 方法：照着移位、对齐、相减的步骤推导。 注意：不要把无限循环小数当成。 方法总结 循环小数化分数（选学） 对齐循环部分 （1）先设循环小数为。 （2）循环节有几位，就让小数点右移几位。 列等式求出分数 （1）移位后的小数部分与原数相同。 （2）相减消去循环部分，再解方程并约分。 例题讲解 例 2 将化成分数。 答：。 解 设，则，得。 所以。 方法：先处理纯循环的小数部分。 注意：题目整数部分为，最后必须加回。 例题讲解 变式 例 2 将化成分数。 答：。 解 设，则，得。 原数。 方法：先算正的小数部分，再恢复符号。 注意：负号包括整数部分和小数部分。 例题讲解 例 3 将化成分数。 先求纯循环部分 答：。 解 先设，则。 所以，得。 方法：先求循环节所对应的纯循环小数。 注意：原题中的首位不参与循环。 例题讲解 例 3 将化成分数。 求原题的分数 答：。 解 。 所以原数。 方法：先分离，循环部分要缩小到十分之一。 注意：不能直接写成。 例题讲解 变式 例 3 将化成分数。 答：。 解 ，所以。 通分得。 方法：分离有限部分，再按位值缩小循环部分。 注意：循环的从百分位开始。 知识讲授 有理数与小数形式 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数． 既能由有理数判断小数形式，也能由小数形式判断它是有理数。 整数可看成小数点后是的小数。 判断时要分清“有限”和“无限循环”。 环节归纳 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）有理数的小数形式一定会终止。 错 理由：不会终止。 （2）写出几个重复数字，就能证明小数循环。 错 理由：必须明确重复会一直持续，有限片段不能决定无限展开。 方法：用定义作判断，用反例说明错误。 注意：“一定”成立需要涵盖所有情况。 课堂练习 练习1 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）有限小数一定是有理数； 对 理由：有限小数可写成整数与的幂的比。 （2）有理数一定是有限小数； 错 理由：是无限循环小数。 （3）无限循环小数一定是有理数； 对 理由：这正是本课结论的反向表述。 （4）有理数是有限小数或无限循环小数． 对 理由：整数和分数均符合此结论。 方法：用定义作判断，用反例说明错误。 注意：“一定”成立需要涵盖所有情况。 课堂练习 练习2 将下列有理数化成小数： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，最后余数为。 解第（2）题 。 方法：做除法。 注意：末位之后不再继续。 方法：识别完整重复数字组。 注意：循环节是。 课堂练习 练习2 将下列有理数化成小数： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ，再加。 解第（4）题 ，恢复负号。 方法：先算分数部分。 注意：只有循环，十分位不循环。 方法：先展开，再找循环起点。 注意：首位不循环，后面的循环。 课堂练习 练习3 将下列无限循环小数化成分数： （1） （2） 解第（1）题 设，则，所以。 原数。 方法：先分开整数与小数部分。 注意：循环节完整取。 课堂练习 练习3 将下列无限循环小数化成分数： （1） （2） 解第（2）题 设，则，得。 原数。 方法：分离不循环的。 注意：循环部分缩小为原来的。 方法总结 判断与检验 判断数的类别 （1）明确有限小数或无限循环小数都属于有理数。 （2）判断“一定”错误时，给出一个明确反例。 检查转化结果 （1）分数要约为最简，原数负号要保留。 （2）用所得分数做除法，核对循环节与整数部分。 课堂小结 有理数的 小数形式 两种形式 有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，这两种小数也都是有理数。 余数解释 余数为零时商终止；余数只有有限种，若除不尽，余数重复就使商循环。 循环记法 先找最小重复数字组；一位循环节标一点，多位循环节只在首尾数字上标点。 相互转化 分数用除法化小数；有限小数按位值化分数；循环小数可移位相减再约分。 特别提醒：循环起点、整数部分和负号都不能漏。 针对训练 训练1　基础：有限小数化分数 把下列小数化成最简分数： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：按三位小数写分母。 注意：约去公因数。 方法：把整数部分一起计入分子。 注意：原数为负，结果也为负。 针对训练 训练2　基础：分数化小数 把下列分数化成小数，并指出属于哪一种形式： （1） （2） 解第（1）题 ，有限小数。 。 解第（2）题 ，无限循环小数。 。 方法：分子除以分母。 注意：余数为。 方法：观察余数的重复。 注意：十分位不循环。 针对训练 训练3　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）每个整数都是有理数。 对 理由：整数可以写成。 （2）小数位数无限的小数一定是无限循环小数。 错 理由：位数无限未说明某个数字组一直重复。 （3）是无限循环小数。 错 理由：它只给出六位小数，没有循环符号或无限延续的说明。 方法：用定义作判断，用反例说明错误。 注意：“一定”成立需要涵盖所有情况。 针对训练 训练4　读记号：找出循环节 写出小数点后的前八位数字，并指出循环节。 答：前八位为；循环节是。 解 展开得。 十分位是，从百分位开始反复出现。 方法：先展开循环记号。 注意：循环节包含，不能只写。 针对训练 训练5　计算：正负数的小数形式 把下列数化成小数： （1） （2） 解第（1）题 。 解第（2）题 ，添上负号。 方法：按除法求商。 注意：假分数的小数形式大于。 方法：分清不循环部分与循环部分。 注意：都不属于循环节。 针对训练 训练6　化分数：先看位值（选学） 把下列小数化成最简分数： （1） （2） 解第（1）题 设，则，故。 解第（2）题 设，则，故。 方法：移位相减。 注意：乘使循环部分对齐。 方法：两位循环节右移两位。 注意：结果还要约分。 针对训练 训练7　辨错：错把循环数字当分子（选学） 小明说：。请判断并改正。 答：错误；。 解 。 而，循环起点不同。 方法：展开两种小数形式作比较。 注意：题中的不参与循环。 针对训练 训练8　余数：不用列完所有小数 计算时，小数点后的商依次为，余数依次为。接下来会发生什么？写出小数形式。 答：。 解 余数又回到最初的，下一轮与第一轮相同。 商会依次不断重复。 方法：用余数回到原状态解释循环。 注意：不能只凭几个数字相似就断定循环。 方法总结 读题与实际量 精确值与近似值 （1）分数与对应的循环小数表示同一个精确数。 （2）题目要求保留若干位时，才按要求取近似值。 平均分配与记录 （1）平均每份用总量除以份数。 （2）实际记录保留小数时，分清精确商与记录值。 针对训练 训练9　综合：循环小数中的指定数字 小数的小数点后第位数字是什么？前位数字之和是多少？ 答：第位是；前位数字之和为。 解 ，前位含组。 第位为，和为。 方法：按循环节长度分组。 注意：按小数点后的位数计数。 针对训练 训练10　综合：循环起点不同（选学） 分别化成最简分数，体会循环起点的作用： （1） 把化成分数。 （2） 把化成分数。 解第（1）题 。 ，再加得。 方法：分开整数和小数部分。 注意：记得加回整数。 针对训练 训练10　综合：循环起点不同（选学） 分别化成最简分数，体会循环起点的作用： （1） 把化成分数。 （2） 把化成分数。 解第（2）题 。 。 方法：把不循环部分按位值拆开。 注意：循环的从百分位开始。 针对训练 训练11　应用：平均分彩带 手工课将米彩带平均分给人。回答下列问题： （1） 每人分得多少米？写出分数和小数形式。 （2） 若把米彩带平均分给人，每人分得多少米？写出小数形式。 解第（1）题 米，即米。 。 方法：平均每份等于总量除以份数。 注意：分数与有限小数都是精确值。 针对训练 训练11　应用：平均分彩带 手工课将米彩带平均分给人。回答下列问题： （1） 每人分得多少米？写出分数和小数形式。 （2） 若把米彩带平均分给人，每人分得多少米？写出小数形式。 解第（2）题 米，即米。 。 方法：整数部分与循环部分分开。 注意：十分位不循环。 针对训练 训练12　应用：分装果汁与记录 把一瓶果汁平均分成份，用每份占总量的比例填写记录表。 （1） 一份果汁占总量的几分之几？化为小数。 （2） 记录表只写，三份相加是否正好为？相差多少？ 解第（1）题 ，即。 一瓶平均分成份，每份占。 方法：先写每份占总量的比例。 注意：比例不带体积单位。 针对训练 训练12　应用：分装果汁与记录 把一瓶果汁平均分成份，用每份占总量的比例填写记录表。 （1） 一份果汁占总量的几分之几？化为小数。 （2） 记录表只写，三份相加是否正好为？相差多少？ 解第（2）题 不是；和为，相差。 ，。 精确分数。 方法：把记录值与精确值分别计算。 注意：有限记录并不等于。 $