19.2 实数（第3课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.2 实数 （第3课时）实数与数轴 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 本课学习目标 扩充数的范围 认识实数，能按不同标准进行分类。 建立数形联系 理解实数与数轴上的点一一对应。 确定位置 借助近似值，在数轴上标出无理数对应点的大致位置。 复习引入 有理数与无理数 有理数 有限小数或无限循环小数，如。 无理数 无限不循环小数，如。 共同问题 这两类数合在一起，能怎样分类和表示？ 知识讲授 实数 有理数和无理数统称为实数． 每一个有理数都是实数，每一个无理数也是实数。 一个实数若不是有理数，就是无理数。 有理数与无理数两类没有重叠。 知识讲授 按是否有理分类 两大类 实数分成有理数和无理数。 小数依据 看有限、无限循环，还是无限不循环。 实数 有理数 正有理数、0、负有理数 有限小数或无限循环小数 无理数 正无理数、负无理数 无限不循环小数 知识讲授 按正负和零分类 实数也可以分为正实数、、负实数． 正实数包括正有理数和正无理数。 负实数包括负有理数和负无理数。 单独为一类，它是有理数。 实数 正实数 0 负实数 知识讲授 零在两种分类中的位置 按是否有理 ，所以零是有理数。 按正负与零 零既不是正实数，也不是负实数。 分类原则 同一次分类要标准一致、不重不漏。 知识讲授 有规律与循环的区别 固定重复 从小数点后起，固定数字组不断重复。 规律改变 中，两个之间的越来越多。 辨认依据 循环要求存在固定长度的循环节；仅仅有排列规律还不够。 例题讲解 例 6 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （位数无限且相邻两个“3”之间依次增加1个“7”）． 辨认有理数 答：有理数：。 解 整数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。 能写成分数，即使小数位数无限，也是有理数。 方法：先辨认能直接写成整数之比的数。 注意：负号不改变是否有理这一分类。 例题讲解 例 6 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （位数无限且相邻两个“3”之间依次增加1个“7”）． 辨认无理数 答：无理数：。 解 与都是无理数。 最后一个小数中，相邻两个之间的越来越多，不可能固定循环。 方法：依据展开规律判断是否循环。 注意：有规律不等于有固定循环节。 例题讲解 变式 例 6 将按要求分类： （1） 按有理数和无理数分类。 （2） 按正实数、零、负实数分类。 解第（1）题 有理数：；无理数：。 ；其余按小数形式辨认。 解第（2）题 正实数：；零：；负实数：。 先判断每个数的正负；单独归类。 方法：先求能求出的根式值。 注意：有根号不一定是无理数。 方法：同一组数可以按不同标准分类。 注意：一次分类不能混用两种标准。 方法总结 分类的两条路径 依据小数形式 （1）有限小数、无限循环小数归入有理数。 （2）无限不循环小数归入无理数。 依据正负与零 （1）先判断符号，把零单独列出。 （2）正、负实数中分别都有有理数与无理数。 知识讲授 有理数在数轴上的点 数轴要素 原点、正方向、单位长度。 对应位置 对应原点；正数在右侧，负数在左侧。 继续思考 能否对应数轴上的一个点？ -3 -2 -1 0 1 2 3 例题讲解 问题3　先确定根号2所在的区间 能用数轴上的一个点对应表示吗？先确定它在相邻整数之间的位置。 0 1 2 3 答：，所对应的点位于与之间。 解 ，所以。 区间中的端点都已在数轴上确定。 方法：用已有的有理数端点夹住无理数。 注意：目前只确定区间，还没有精细位置。 知识讲授 把根号2所在区间逐步放大 第二步 ，区间长。 第三步 ，区间长。 继续 区间越来越小，最终确定唯一的点。 1.41 1.414 1.415 1.42 1.4 1.41 1.42 1.5 0 1 2 知识讲授 探究　读懂逐层放大的数轴 下列区间都包含：、、。为什么图中放大后的线段看起来同样长？ 答：各层采用不同放大比例；实际长度依次为。 解 为看清更小区间，绘图时逐层放大。 每一层内仍按它标出的刻度等比例安排。 方法：读图时先读端点数值，再判断实际长度。 注意：不能用屏幕上的线段长度代替数轴单位。 知识讲授 实数与数轴上的点 实数与数轴上的点一一对应． 任意一个实数，在数轴上都有唯一的对应点。 反过来，数轴上任意给定的一点，对应唯一的实数。 这个实数可能是有理数，也可能是无理数。 环节归纳 辨析　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）每个无理数都能用数轴上的一个点表示。 对 理由：无理数属于实数，实数与数轴上的点一一对应。 （2）数轴上没有标出的点不对应任何实数。 错 理由：是否画出或标注，不影响点与实数的对应关系。 （3）同一个实数在同一条数轴上可以对应两个不同的点。 错 理由：每个实数只有唯一的对应点。 方法：依据定义或数轴对应关系判断。 注意：注意零与无理数这两类易漏情况。 知识讲授 探究　不同写法会对应同一点吗 与写法不同，它们在同一条数轴上对应的点相同吗？ 答：相同，因为。 解 一一对应是数的值与点对应，不是书写形式与点对应。 同一个实数可以有不同表达形式，但只有一个对应点。 方法：先判断两个表达式是否表示同一个数。 注意：书写形式不同，不代表数值不同。 例题讲解 例 7 在数轴上分别标出所对应的点的大致位置。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 答：；。 解 计算器求出近似值。 在与之间，在与之间。 方法：用近似值定位，点旁仍标原来的精确数。 注意：负数应落在原点左侧；单位长度保持一致。 例题讲解 变式 例 7 在数轴上分别标出所对应的点的大致位置。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 答：；。 解 分别位于与之间、与之间。 依据近似值进一步确定各点在区间中的位置。 方法：先找整数范围，再细定位。 注意：是正数，对应点在右侧。 知识讲授 探究　近似数与原数是同一个点吗 与对应的点完全相同吗？用平方检验。 答：不相同；只是的近似值。 解 ，不等于，所以。 不同的实数对应不同的点，只是两个点的位置很接近。 方法：先核对两个数是否相等，再用一一对应判断。 注意：大致定位不能写成精确相等。 方法总结 从数到点，从点到数 由精确数标点 （1）先判断正负和整数范围。 （2）再用近似值细定位，点旁标精确表达式。 由图中的点读数 （1）读清原点、正方向与单位长度。 （2）依据题中给定的精确标记或数值确认对应关系。 课堂练习 练习1 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）正实数包括正有理数和正无理数； 对 理由：这是正实数按是否有理的分类。 （2）实数可以分为正实数和负实数两类； 错 理由：漏掉了零，应分为正实数、零、负实数。 （3）所有有理数都可以对应数轴上的点； 对 理由：每个有理数都是实数，具有唯一对应点。 （4）数轴上的所有点都对应有理数． 错 理由：如对应的点，就不对应有理数。 方法：依据定义或数轴对应关系判断。 注意：注意零与无理数这两类易漏情况。 课堂练习 练习2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （位数无限且相邻两个“3”之间依次增加1个“1”）． 辨认有理数 答：有理数：。 解 有限小数、整数之比、无限循环小数均为有理数。 接近，但它本身是有理数。 方法：按定义逐项辨认。 注意：近似于无理数的分数仍是有理数。 课堂练习 练习2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （位数无限且相邻两个“3”之间依次增加1个“1”）． 辨认无理数 答：无理数：。 解 前两个数是已知无理数的负值。 最后一个小数中，相邻之间的越来越多，没有固定循环节。 方法：根据无限展开规律作判断。 注意：省略号须结合题中给出的延续规律理解。 课堂练习 练习3 在如图所示的数轴上分别标出所对应的点的大致位置。 -3 -2 -1 0 1 2 3 答：；。 解 在与之间。 在与之间，约位于处。 方法：用计算器近似值，在统一刻度上标点。 注意：精确标签分别为和。 方法总结 避免分类和数轴中的遗漏 检查分类结果 （1）逐一核对原题中的每一个数。 （2）检查零是否遗漏，根式是否已经可以求值。 检查图上的位置 （1）正负方向与整数区间都要正确。 （2）同一条数轴单位一致，近似点位不能冒充精确值。 课堂小结 实数与数轴 实数概念 有理数和无理数统称为实数；一个实数若不是有理数，就是无理数，两类不重叠。 两种分类 可按是否有理分两类，也可按正负和零分三类；每次分类都要标准一致、不重不漏。 一一对应 每个实数对应数轴上唯一的点，数轴上每个点也对应唯一的实数，包括无理数。 近似定位 先判断符号和整数范围，再借助近似值确定点的大致位置，标签保留精确的实数。 特别提醒：零不能漏；有限近似值不等于原来的无理数。 针对训练 训练1　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）每个有理数都是实数。 对 理由：实数包括有理数与无理数。 （2）每个实数都是有理数。 错 理由：是实数，但不是有理数。 （3）零既不是有理数，也不是无理数。 错 理由：，零是有理数。 方法：依据定义或数轴对应关系判断。 注意：注意零与无理数这两类易漏情况。 针对训练 训练2　基础：从符号判断分类 把下列数分别按有理或无理、正或负分类： （1） （2） 解第（1）题 负有理数。 它是整数之比，且符号为负。 解第（2）题 正无理数。 它是正的无限不循环小数。 方法：分别回答两种分类标准。 注意：负数可以是有理数。 方法：同时判断性质与符号。 注意：根号表示算术平方根。 针对训练 训练3　分类：根式先求值 将分为有理数和无理数。 答：有理数：；无理数：。 解 先求，。 再按有限小数或无限不循环小数分类。 方法：能求出的根式先求值。 注意：分类后应核对六个数全部出现且不重复。 针对训练 训练4　分类：同一组数的另一标准 将分为正实数、零、负实数。 答：正实数：；零：；负实数：。 解 先辨认各个数的符号。 正实数中同时出现了有理数与无理数。 方法：按本题指定的标准分类。 注意：不能把“有理数”另列为第四类。 针对训练 训练5　填空：点在原点哪一侧 判断下列数对应点的位置： （1） （2） 解第（1）题 原点左侧，在与之间。 ，故对应负数落在与之间。 解第（2）题 原点右侧，在与之间。 。 方法：先判符号，再确定整数区间。 注意：区间左端是。 方法：用立方估计立方根。 注意：不要用平方关系估计立方根。 针对训练 训练6　辨错：无理数的位置 小明说：“数轴的刻度都写成整数，所以数轴上只能表示整数。”请用两个例子反驳。 -1 0 1 2 3 答：例如和都有唯一的对应点。 解 位于与之间，位于与之间。 刻度标签只是帮助读图，数轴包括刻度之间的所有点。 方法：区分标出的刻度与整条数轴。 注意：不要求每个点都画上名称。 针对训练 训练7　作图：先找整数区间 在数轴上标出和对应点的大致位置。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 答：，。 解 分别在与之间、与之间。 根据小数近似值在各自区间内标点。 方法：先粗定位，再细定位。 注意：左右两侧采用相同单位长度。 针对训练 训练8　读图：对应数与点 图中所对应的数为。哪些点对应有理数？哪些对应无理数？ -3 -2 -1 0 1 2 3 答：有理数对应点；无理数对应点。 解 都是有理数。 是无理数，对应点为。 方法：先对所给数分类，再对应点名。 注意：点的位置本身不能替代给出的精确数。 针对训练 训练9　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）两个写法不同的数一定对应不同的点。 错 理由：与写法不同，但它们是同一个数。 （2）每一个点只对应一个实数。 对 理由：这是一一对应关系的一个方向。 （3）一个无理数的精确点位与其有限近似值的点位相同。 错 理由：不同的实数对应不同点，近似值只能用于大致定位。 方法：依据定义或数轴对应关系判断。 注意：注意零与无理数这两类易漏情况。 针对训练 训练10　综合：发现分类表的问题 一份分类表把实数分为“正数、负数、整数、无理数”四类。说明它为什么不合适，并给出两种正确分类。 答：分类标准混杂，存在重叠。可分为有理数、无理数；或正实数、零、负实数。 解 如既是正数又是整数，既是正数又是无理数，标准混杂。 按是否有理或按正负与零，各采用一个标准即可。 方法：检查是否重叠，以及分类标准是否一致。 注意：原表的“整数”包含零；问题在于并非互不重叠的分类。 方法总结 数轴中的实际位置 约定方向与单位 （1）先说明原点代表什么，以及哪个方向为正。 （2）实际量与数轴刻度使用相同单位。 使用精确数与近似数 （1）题目给定根式，保留其精确表示。 （2）用近似值描点，回答位置与所属类别。 针对训练 训练11 用水平数轴表示温度，表示℃，向右为正，每格表示℃。 -3 -2 -1 0 1 2 （1） 传感器显示℃，传感器显示℃。它们各在零刻度哪一侧？ （2） 标出两温度的大致位置，并说明它们是否为有理数。 解第（1）题：在左侧，在右侧。 为负数，为正数。 方法：温度计横向示意中，向右规定为正。 注意：负号决定相对零刻度的方向。 针对训练 训练11 用水平数轴表示温度，表示℃，向右为正，每格表示℃。 -3 -2 -1 0 1 2 （1） 传感器显示℃，传感器显示℃。它们各在零刻度哪一侧？ （2） 标出两温度的大致位置，并说明它们是否为有理数。 解第（2）题：约在处，是无理数；在处，是有理数。 计算，再在刻度上定位。 有限小数属于有理数。 方法：先定位，再按数的性质分类。 注意：显示的根式视为题设精确数。 针对训练 训练12　应用：直线轨道上的装置 一条东西向直线轨道选定原点，向东为正，每个单位长度表示米。 （1） 装置在原点东侧米处，装置在原点西侧米处。写出位置对应的实数。 （2） 分别确定两点位于哪两个相邻整数刻度之间，并说明数的类别。 解第（1）题 对应，对应。 东侧用正数，西侧用负数。 方法：先用方向确定符号。 注意：西侧距离给的是正长度，位置数须加负号。 针对训练 训练12　应用：直线轨道上的装置 一条东西向直线轨道选定原点，向东为正，每个单位长度表示米。 （1） 装置在原点东侧米处，装置在原点西侧米处。写出位置对应的实数。 （2） 分别确定两点位于哪两个相邻整数刻度之间，并说明数的类别。 解第（2）题 在与之间，对应正无理数；在与之间，对应负有理数。 ，故。 。 方法：用平方夹逼或分数化小数确定区间。 注意：按性质与按符号的两个结论都要写。 $