19.1 平方根与立方根（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 （第2课时）平方根 八年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 本课学习目标 说清意义 理解平方根、开平方的含义，区别算术平方根。 写全结果 知道正数、零、负数的平方根情况，正确使用。 辨清符号 正确化简、、等式子。 复习引入 先回顾算术平方根 定义回顾 ，因为且。 符号要求 算术平方根是非负数；。 提出新问 若只知道一个数的平方为，这个数还可能是谁？ 复习引入 问题2　平方等于100的数 已知一个数的平方等于，那么这个数是多少？ 答：这个数是或，可写成。 解 ，。 两个数都满足平方等于的条件。 方法：直接将候选数平方验证。 注意：本题中的“一个数”没有规定必须为正。 知识讲授 条件变了，答案也变了 边长问题 正方形面积为时，边长只能为。 数的问题 一个数的平方为时，和都可以。 关键区别 边长带有正数限制；一般求数不能擅自补上限制。 知识讲授 平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根，也称为二次方根．叫作被开方数． 只要，就是的一个平方根。 定义中说“一个数”，没有限定是正数。 如，所以是的一个平方根。 知识讲授 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方． 平方是已知一个数求它的平方；开平方是反过来找数。 求的平方根，就是对进行开平方运算。 开平方的结果需要根据被开方数的情况写完整。 例题讲解 例 6 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） 解第（1）题 ，。 解第（2）题 ，。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 例题讲解 例 6 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） 解第（3）题 ，。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 知识讲授 平方根的个数与符号 正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是； 负数没有平方根． 正数的两个平方根，一正一负，绝对值相等。 零只有一个平方根，写即可。 正数、零、负数的平方都不是负数。 知识讲授 先看被开方数是哪一类 正数 如有两个平方根：和。 零 只有，所以零的平方根只有一个。 负数 没有一个我们已学的数的平方等于。 知识讲授 用一个符号写出两个平方根 正数的两个平方根可以用符号“”表示． 表示两个数：与。 如的平方根是，即和。 这里的必须是正数。 知识讲授 正的平方根与负的平方根 其中，“”表示的正的平方根，即的算术平方根；“”表示的负的平方根，读作“负根号”． 表示正的平方根。 表示负的平方根。 将两个平方根一起表示。 知识讲授 零的记法 的平方根记为“”，． 与是同一个数，不能算作两个不同平方根。 求零的平方根与算术平方根，结果都是。 正数有两个平方根的结论不能直接套在零上。 例题讲解 变式 例 6 求的平方根、算术平方根和负的平方根。 答：平方根为；算术平方根为；负的平方根为。 解 ，。 按题目要求分别保留两个数、正数或负数。 方法：先求出正的结果，再按名称选择。 注意：“平方根”不能只写正的一个。 方法总结 先定个数，再定符号 按被开方数分类 （1）正数：两个，互为相反数。 （2）零：一个；负数：没有平方根。 按问题用语作答 （1）算术平方根只取非负结果。 （2）平方根必须写全；负的平方根前加负号。 例题讲解 例 7 化简： （1） （2） （3） 解第（1）题 ，取正值。 解第（2）题 先求，再加前面的负号。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：根号前已有的负号或正负号不能漏掉。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：根号前已有的负号或正负号不能漏掉。 例题讲解 例 7 化简： （1） （2） （3） 解第（3）题 先求，保留。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：根号前已有的负号或正负号不能漏掉。 例题讲解 思考　由算术平方根得到另一个根 根据一个数的算术平方根，可以写出它的负的平方根吗？为什么？ 答：当这个数为正数时，可以；负的平方根是它的算术平方根的相反数。 解 正数的两个平方根互为相反数。 如，则的负的平方根为。 方法：利用正数两个平方根的关系。 注意：零没有负的平方根，不能把看作负数。 例题讲解 变式 例 7 化简与。 答：分别为和。 解 ，所以。 ，保留。 方法：先求算术平方根，再照写根号前的符号。 注意：不把误写为。 例题讲解 变式 例 7 化简并比较： （1） （2） （3） 解第（1）题 先算，再求。 解第（2）题 根号内为，算术平方根为，最后添负号。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：负数先平方后变成正数；根号前符号另行处理。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：负数先平方后变成正数；根号前符号另行处理。 例题讲解 变式 例 7 化简并比较： （1） （2） （3） 解第（3）题 根号内为，算术平方根为，最后保留。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：负数先平方后变成正数；根号前符号另行处理。 方法总结 含平方或绝对值时怎样化简 先整理根号内 （1）先算根号内的平方或绝对值。 （2）例如，。 再处理根号外 （1）根号自身给出非负值。 （2）最后保留根号外的负号或正负号。 例题讲解 辨析　负号的位置能否随意移动 与的含义相同吗？ 答：不同。；在我们已学的数中没有意义。 解 前者先求的算术平方根，再取相反数。 后者要求一个数的平方为，无法满足。 方法：先确定根号横线覆盖的范围。 注意：平方根的负号不能像普通括号那样任意移入根号。 课堂练习 练习1 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”： （1）的平方根是。 错 理由：还应有，应写。 （2）的平方根是。 错 理由：负数没有平方根，。 （3）是的一个平方根。 对 理由：，符合“一个平方根”。 （4）的算术平方根是。 对 理由：，。 方法：根据原数、符号和结果个数逐项判断。 注意：“一个平方根”与“平方根”所要求的完整性不同。 课堂练习 练习2 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 课堂练习 练习2 求下列各数的平方根： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：求正数的平方根时，两个结果都要写全。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 解第（2）题 ，所以结果为。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：注意绝对值的范围与根号前的负号。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：注意绝对值的范围与根号前的负号。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ，保留。 解第（4）题 ，。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：注意绝对值的范围与根号前的负号。 方法：先求算术平方根，再按要求确定符号。 注意：注意绝对值的范围与根号前的负号。 方法总结 怎样避免答案漏项或多项 先读要求 （1）求平方根：正数写两个结果。 （2）化简根式：严格按原有符号计算。 再用平方检验 （1）所写平方根的平方应等于被开方数。 （2）零只有一个根，负数没有平方根。 课堂小结 平方根 平方根定义 若一个数的平方等于给定数，它就是给定数的平方根；求平方根的运算叫作开平方。 个数与符号 正数有两个互为相反数的平方根，零的平方根是零，负数没有平方根，先分类再求值。 两类根区别 正数的正平方根就是它的算术平方根；负平方根是它的相反数，两个平方根用正负号表示。 化简与检验 先整理被开方数，再求算术平方根，最后处理根号外符号；通过再平方检验求根结果。 特别提醒：平方根要写全，根号自身的值不能为负。 针对训练 训练1　选择：平方根写完整 的平方根是（　）。 A． B． C． D． 答：选C：。 解 ，。 正数有两个互为相反数的平方根。 方法：先判断根的个数，再求值。 注意：只写只给出了算术平方根。 针对训练 训练2　填空：由一个根确定另一个 一个正数的一个平方根为，这个正数是____，另一个平方根是____。 答：这个正数是，另一个平方根是。 解 原数为。 两个平方根互为相反数，另一个为。 方法：平方求原数，取相反数求另一个根。 注意：给出的负数是平方根，原数仍然为正。 针对训练 训练3　判断：零与负数 （1）有两个平方根和。 错 理由：，是同一个数。 （2）没有平方根。 对 理由：我们已学的数的平方不可能为负数。 （3）。 错 理由：根号表示算术平方根，应为。 方法：根据原数、符号和结果个数逐项判断。 注意：“一个平方根”与“平方根”所要求的完整性不同。 针对训练 训练4　辨错：根号外不要添符号 小华写，又写的平方根是。请改正。 答：；的平方根是。 解 是的算术平方根，只取正值。 求的平方根，需把和都写出。 方法：区分一个根式的值与一个数的全部平方根。 注意：不要把两种写法的正负号交换。 针对训练 训练5　计算：分数与带分数 求和的平方根。 答：分别为和。 解 。 ，。 方法：先整理被开方数，再写两个相反数。 注意：带分数先化成假分数。 针对训练 训练6　化简：外面的符号保留 化简和。 答：分别为和。 解 ，再添负号。 ，再保留。 方法：算术平方根求对以后再处理外面符号。 注意：第二题的结果要包括两个数。 针对训练 训练7　化简：先算根号内 化简与。 答：分别为和。 解 ，。 ，。 方法：按照根号内、根号、根号外的顺序计算。 注意：第一题不能把结果写成原来那个负数。 针对训练 训练8　已知平方求未知数 已知，求的值。 答：。 解 。 ，两个值均满足。 方法：把看作所给数的平方根。 注意：题目未给，不能只保留正值。 针对训练 训练9　带条件选择平方根 已知，且，求。 答：。 解 由得。 结合，选取。 方法：先求全，再按条件筛选。 注意：附加条件不能遗漏，也不能凭空添加。 针对训练 训练10　分类：哪些数有平方根 将、、、按“两个平方根、一个平方根、没有平方根”分类。 答：两个：、；一个：；没有：。 解 正数有两个平方根，所以、归为一类。 零只有一个，负数没有平方根。 方法：按照数的正、零、负分类。 注意：分类依据是被开方数的符号。 针对训练 训练11　应用：展板边长为何不取负 正方形展板的面积为 。小林列出，求得。展板的边长应是多少？说明理由。 答：边长应为 。 解 的平方根为。 实际边长满足，舍去。 方法：先按平方根求全，再用实际意义筛选。 注意：负值满足平方关系，但不能表示实际边长。 针对训练 训练12　应用：两个位置都要保留 笔直走道以中点为原点，向右为正方向，用米表示位置。两处标记的位置都满足。它们各在原点哪一侧、相距多少米？ 答：在左侧 和右侧 处；相距 。 解 由得。 两标记位于原点两侧，相距 。 方法：正负数表示方向，先求两个可能的位置。 注意：位置可为负数；两点间距离必须为正。 方法总结 把条件带回实际情境 从等式求完整结果 （1）一个数平方等于正数时先写出两个根。 （2）逐个代回原式检查。 按实际条件筛选 （1）边长等量只保留正值。 （2）位置等带方向的量可能同时保留正、负值。 $