19.1.2 平方根与立方根-平方根 课件 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“平方根”核心知识点，通过正方形面积求边长、已知平方数求原数的问题引入，从具体实例过渡到抽象概念，搭建平方运算与开平方互逆的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养抽象能力（数学眼光），通过例题辨析强化推理意识（数学思维），用符号“±√a”及公式“√a²=|a|”体现数学语言的精确性。如“思考”环节已知平方根求正数，提升逻辑推理。采用讲练结合与系统小结，助学生构建知识体系，教师教学更高效。

第19章 实数 19.1 平方根与立方根 平方根 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 同学们好！我是来自上海市民办华育中学的汪老师。今天我们将学习19.1第二课时平方根（P） 1 问题引入 已知一个正方形的面积为100，那么它的边长为多少？ 已知一个数的平方是100 ， 这个数是多少？ 已知一个正数的平方，求这个正数. 已知一个数的平方，求这个数. 首先我们来回顾一下问题1：已知一个正方形的面积为100，那么它的边长为多少？（P）我们利用方程的方法得到边长为10，这是我们上节课所学习的已知一个正数的平方，求这个正数即求这个正数的算术平方根.下面来看一下问题2：已知一个数的平方是100，这个数是多少？(P)类比求算数平方根的方法，我们可以设这个数为x ，根据条件，可得： x的平方等于100(P)因为10的平方等于100，10的相反数-10的平方也等于100，（P）所以这个数就是10或-10。(P)问题2就是已知一个数的平方，求这个数，这是我们今天要学习的平方根（P） 2 新知讲授 a≥0 例如：如果x2=64, 那么____叫做_____的平方根. 求_____的平方根的运算叫做开平方，____叫做被开方数. 平方 开平方 互逆运算 x 64 64 64 求64的平方根. 我们一起来看一下一个数的平方根的定义： 如果一个数x的平方等于a ,那么这个数x 叫作 a的平方根,也称为二次方根. a叫作被开方数.（停顿）求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.（P）请同学们思考一下这里的被开方数a 需要满足什么条件吗？(P)我们知道这里的a就是x的平方的结果，所以一定是一个非负数（P）即 a大于等于0。 根据平方根的定义，(P)我们可以得到如果x的平方等于64 ,那么_(P）x ___叫做___(P)64__的平方根.求_(P)64____的平方根的运算叫做开平方，__(P)64__叫做被开方数. 我们进一步来思考(P)如何求64的平方根呢？根据定义我们需要找到平方等于64的所有数，(P) 因为8的平方等于64，-8的平方等于64，所以64的平方根是正负8 (P)我们不难发现根据平方和开平方之间是互为逆运算的关系可以帮助我们求解一个数的平方根（或者说对一个数进行开平方运算）（P） 3 例题讲解 解 一个正数的平方根有什么特点? 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数. 就是找出满足 的 x 下面我们一起来完成例1.求下列各数的平方根，就是找出满足的所有数 (P)第1题求4的平方根，即找出满足平方的所有数 因为,(P)所以4的平方根是. 第2题求的平方根，即找出满足的所有数(P) (2) 因为,(P)所以的平方根是.. 第3题求的平方根，即找出满足的所有数(P) (3)因为,(P)所以的平方根是 (P)根据例1各题的求解过程和所得的结果，我们再来思考一下一个正数的平方根有什么特点呢(P) 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数（P） 4 新知讲授 正数有两个平方根,它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根. 0的平方根是多少？ 负数有平方根吗？ 根据一个数的算术平方根,可以写出它的负的平方根吗？为什么？ 可以。因为正数有两个平方根,它们互为相反数, 所以一个数的算术平方根的相反数就是它的负的平方根. （P）我们知道0的算术平方根是0，那么0的平方根是多少呢？(P) 因为只有0的平方是0，所以0的平方根是0 (P) 负数有平方根吗？ (P) 因为任何数的平方都是非负数，所以负数没有平方根（P） 综合以上结果，我们可以得到一个数的平方根的性质： 下面我们来想一想，根据一个数的算术平方根,可以写出它的负的平方根吗？为什么？ 答案当然是可以的。因为正数有两个平方根,它们互为相反数,所以一个数的算术平方根的相反数就是它的负的平方根. 那么当我们知道一个数的算术平方根，那么也就可以得到这个数的负的平方根以及平方根 5 新知讲授 1 下面我们来判断一下下列说法是否正确： 第1题-6是36的平方根，因为-6的平方等于36，所以 (P）这个说法是正确的 第2题36的平方根是6，因为36的平方根有两个，是，(P)所以这个说法是错误的 请同学们注意第1题和第2题的区别，第1题是判断一个数是否是另一个数的平方根，而第2题是判断一个正数的平方根的情况，根据性质可得正数的平方根有两个，并且是互为相反数 接下来我们来看一下 第3题1的平方根是它本身，也就是1的平方根是1。因为1的平方根有两个，是，(P)所以这个说法是错误的 第4题：-3的平方的平方根是3，在这个问题中我们首先要抓住主语是某个数的平方根（P），而这某个数就是-3的平方，-3的平方等于9，因为9的平方根是 ，(P)所以这个说法是错误的 第5题：的算术平方根是，因为根据算术平方根的定义，的算术平方根是 (P)所以这个说法是错误的(P) 请问的平方根是多少呢？是 这里请同学们注意：（P）一个正数的算术平方根只有1个，它的平方根有2个 第6题：=3，因为表示9 的算术平方根，(P)，所以这个说法是错误的 上一节课我们学习了算术平方根可以用表示，那么一个数的平方根如何用符号来表示呢？ 6 新知讲授 互为相反数 0的算术平方根和平方根都是它本身. 我们一起来看一下 正数a 的两个平方根可以用符号“”表示.（P）其中，“”表示a 的正的平方根，即 a的算术平方根;(P)“”表示的负的平方根，(P)并且它们互为相反数 0的平方根记为“”，.所以0的算术平方根和平方根都是它本身(P) 7 例题讲解 解 (1)求225的算术平方根. 下面我们一起来解决例2中的化简问题 首先要正确识别这些符号的意义(P) 第1题（p)表示求225的算术平方根(P) 请问225的负的平方根是多少呢？因为一个数的算术平方根和负的平方根是互为相反数的关系，所以225的负的平方根就是-15 第求的负的平方根 也可以先求的0.49的算术平方根是0.7，所以它的负的平方根就是-0.7 第3题(p)表示求的平方根 也可以先求得的算术平方根是，加上就可以得到平方根是 8 例题讲解 哪一个是 正确答案？ 求一个正数的平方根. × × (P)接下来，我们将第3题做一个变式： 求的平方根请同学们认真思考，并写出你的结果：(P) 大家分别得到了以下四种不同的答案： ，，， (P)这里哪一个才是正确答案呢？ 我们一起来分析一下，首先要准确读题：明确这道题求什么？(P)我们看到这是求一个正数的平方根(停顿)， 因为一个正数的平方根有两个，并且互为相反数，所以我们发现第1和第3个答案是错误的。那么是求哪个数的平方根呢（P） 当然是的平方根，所以我们先（P）化简，可得：， （P）接下来就是求的平方根，的平方根我们用符号来表示，同学们请问你算对了吗？ 这是一个易错题，请大家一定要先仔细读题，然后明确问题，再进行求解 9 解 互为相反数 和为0 建立方程 解方程 解决问题 下面请同学继续来思考： 已知一个正数的两个不同的平方根分别是2m+4 和m-7，求这个正数． 根据条件，要求得这个正数，只需要求得它的平方根的值(p)也就是求2m+4 和m-7的值(p) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，(p)所以它们的和为0，(p)利用这个性质可以建立关于m的方程，(p) 接下来解方程，(p)可得：m=1 再将m的值带入得到平方根为，所以这个数为36(p) 当我们解决这类问题时需要识别关键性质，建立数学模型，求解模型，最后验证结果并解决问题 10 课堂练习 × × 负数没有平方根 √ √ 接下来我们来完成课堂练习: 1.判断下列说法是否正确 第1题4的平方根是2，因为4的平方根是（P），所以这个说法是错误的 第2题-4的平方根是-2，因为（P）负数没有平方根，所以这个说法是错误的 第3题2是4的一个平方根，因为2的平方是4，所以这个说法是正确的 第4题-2的平方的算术平方根是2，因为-2的平方是4,4的算术平方根是2，所以这个说法是正确的 对于这类判断题，我们判断的依据就是平方根的定义和性质，同时也要抓住平方根和算术平方根的不同点 11 课堂练习 解： 求一个数的算术平方根时，被开方数的小数点向右或向左移动四位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动两位. 第2题求下列各数的平方根 第1题求25的平方根，可以用符号表示为 第2题求的平方根，可以表示为 第3题求的平方根，可以表示为 第4题求169万的平方根，这个数值较大，应该怎么处理呢？ 我们可以考虑先求它的算术平方根，根据上节课的知识点，我们知道 求一个数的算术平方根时，被开方数的小数点向右或向左移动四位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动两位. (P)所因为在算术平方根前面加上正负号就可以得到平方根， 由此，我们可以得到：当求较大或较小的数的平方根时，小数点移动的法则和求算术平方根时是一致的 12 课堂练习 第1题求144的算术平方根，(P) 可以表示 第2题先化简根号内的绝对值，可得（P），表示求2.25负的平方根，化简可得-1.5 第3题求的平方根，直接用符号表示 第4题先求-6的平方，等于36,再求36的算术平方根得到6，（P） 请问同学们根号下6的的化简结果又是多少呢？同样也是先求6的平方，再求算术平方根，所以答案就是6 (P) 请同学们观察一下，这两道题有什么共同点和不同点吗？ 我们发现共同点是它们都是先求平方再求算术平方根，不同点在于第1个问题中先求一个负数的平方再求算术平方根，答案是这个负数的相反数 第2个问题中先求一个正数的平方再求算术平方根，答案就是这个数 13 先平方，再求算术平方根. 一个数的平方的算术平方根是它的绝对值. (P)那么我们一起来看一下 又该如何化简呢 首先它所表示的意义是： （p） 先平方再求算术平方根， 因为0，所以这里的a可以是正数，也可以是负数或0 因此我们分成三种情况进行讨论 结果就是a 其中a=0的情况可以直接和a>0或者a<0进行合并，所以也就可以 归纳得到：一个数的平方的算术平方根是它的绝对值（P） 以后我们可以直接利用这个结论来得到计算结果 例如等于33.45 14 先求算术平方根，再平方. 先求负的平方根，再平方. 一个非负数的平方根的平方是它本身. 接下来请大家继续思考一下什么意义？又该如何化简呢？ 这是先求算术平方根，再平方，因为负数没有算术平方根，所以不考虑a<0的情况 根据平方和开平方互为逆运算的关系，=a（p） 结果又是多少呢？ 这是先求负的平方根，再平方，结果也是等于它本身 （P）将以上两种情况合并起来可以得到:一个非负数的平方根的平方是它本身 这里也充分体现平方和开平方互为逆运算的关系 15 课堂小结 利用平方根的概念; 平方根和开平方的概念 平方与开平方互逆. 数学思想方法 一般地，如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫作的平方根.为二次方根，叫做被开方数.求一个数的平方根的运算叫做开平方. 平方根 的求法 化简过程中注意区分： “”， “”， “”的不同意义. 先求算术平方根，再加上就可以了; 回顾本节课我们进行课堂小结 今天这节课我们学习了平方根和开平方的概念， 学习了如何求一个数的平方根，可以直接利用平方根的概念，也可以利用算术平方根来求解平方根， 并且学习了如何用符号来表示一个数的平方根，注意区分这三个不同的符号。 在探究平方根的定义和性质的过程中利用了平方和开平方互逆运算的思想方法。 互逆运算思想是数学的“双向通道”——它赋予数学结构以灵活性、严谨性与美感，是连接具体计算与抽象理论的桥梁。 16 结束语 万物皆数，而数之平方与其平方根，互为逆旅，如去而复返. ——毕达哥拉斯 古希腊数学家毕达哥拉斯曾强调数学中的对称性与逆反关系，其思想可引申为：“万物皆数，而数之平方与其平方根，互为逆旅，如去而复返。” 希望同学们带着互逆运算的思想继续去探索新的数学知识。 今天的课就上到这里，同学们再见 17 因为， 所以这个数是或. 设正方形纸片的边长为()， 根据条件，得. 因为，所以边长为. 设这个数为, 根据条件，得. 一般地,如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫作的平方根, 也称为二次方根.叫作被开方数. 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 所以4的平方根是. 所以的平方根是. 所以的平方根是. (1)因为, 求下列各数的平方根: (1) ； (2) ； (3). (2)因为, (3)因为, 的平方根是，故错误. 判断下列说法是否正确： （1）是的平方根; （2）的平方根是; （3）的平方根是它本身; （4）的平方根是; （5）的算术平方根是; （6）. 的平方根是多少？ 的算术平方根是，故错误. ，故错误. 的平方根是，故错误. 平方根是，故错误. ，故正确. 正数的两个平方根可以用符号“”表示.其中，“”表示的正的平方根，即的算术平方根;“”表示的负的平方根，读作“负根号”. 0的平方根记为“”，. 正数的平方根： 的平方根. 变式：求的平方根. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和， 求这个正数． 1.判断下列说法是否正确,正确的在括号里打“√”,错误的在括号里打“”: （1）的平方根是; ( ) （2）的平方根是; ( ) （3）是的一个平方根; ( ) （4）的算术平方根是. ( ) 2.求下列各数的平方根: （1）;（2）; （3）; （4）. 3.化简: (1); (2)； (3); (4). 解：（1）. $