精品解析：广东汕头市龙湖区汕头育能实验学校 2026—2027学年度第一学期九年级数学第一次随堂测试

汕头育能实验学校 2026—2027学年度第一学期初三数学第一次随堂测试 考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 若是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5题，共15分） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 14. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 15. 如图，已知与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使有最大值，则这个最大值为___________ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2） 17. 已知抛物线的顶点为．求b，c的值． 18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 21. 如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； （2）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （3）点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式： （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 六、解答题（四）：本题共10分． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （2）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头育能实验学校 2026—2027学年度第一学期初三数学第一次随堂测试 考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3. 将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 4. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 6. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ， ， . 7. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 若是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题（共5题，共15分） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 14. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 15. 如图，已知与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使有最大值，则这个最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，，则，由于，故当点三点共线时，取得最大值，即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，取得最大值，即为 令，则， 解得，， ∴，， 令，则 ∴ ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 17. 已知抛物线的顶点为．求b，c的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件写出顶点式，再展开即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为 ∴ ∴． 18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 【答案】 应邀请6支球队参加比赛. 【解析】 【详解】解：设邀请支球队参加比赛， 依题意得， ， 或(不合题意，舍去)． 答：应邀请6支球队参加比赛． 三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）． （1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程的两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：方程有实数根，即方程根的判别式， 对于方程，其中，，， ∴， 化简得，解该一元一次不等式得， 故答案为． 【小问2详解】 解：∵、为该方程的两个实数根， ∴实数m应满足（1）中的要求，即， 根据方程根与系数的关系， ∴， ， ∵， 故， 解得，（不满足，舍去）， ∴实数m的取值为． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 21. 如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：___________，___________． （用含的代数式表示）； （2）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． （3）点、运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）， （2）不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴的面积不能等于； （3）当点、运动秒后，的面积最大，最大为 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （3）将三角形的面积转化为二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，．  【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点运动到点时，（秒）； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，最大为， 故当点、运动秒后，的面积最大，最大为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【小问1详解】 解：方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ 【小问3详解】 由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式： （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）取得最大值， （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； 【小问3详解】 解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 六、解答题（四）：本题共10分． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （2）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标和点的坐标，分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分3种情况，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，解得或， ∵该抛物线与轴的左交点为， ∴， ∵点在该抛物线上，横坐标为，且， ∴； ①如图所示，当，即时， 抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时， ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为， ∴ ∵， ①当是的中点，如图所示 则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， 解得：， ③如图所示， 设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为， ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $