第五章一元函数的导数及其应用单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）已知函数，则其导函数（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7．（本题5分）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 8．（本题5分）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）函数，则________． 13．（本题5分）在上的最小值为，最大值为，则_____. 14．（本题5分）若恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)已知，求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数（）在处取得极小值. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，讨论零点的个数； (2)求证：． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用》参考答案 1．D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．A 【详解】由求导公式：，. 所以. 3．C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．A 【分析】求出导函数，然后令，解出不等式即可得答案. 【详解】解：， 令，得，所以函数的单调递减区间是， 故选：A. 5．B 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 6．B 【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 7．C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 8．C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 9．ACD 【详解】A：恒成立，所以为增函数； B：，因为，所以当时，， 所以在上为减函数，显然在定义域R上不为增函数； C：恒成立，所以为增函数； D：，当且仅当即时，, 所以为增函数． 10．ABC 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减.故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 12． 【详解】因为，所以. 13． 【分析】应用导数求出函数在区间上的最值，即可得. 【详解】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 14． 【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可． 【详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 15．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）由，得， 所以， 又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为， 则， 易知时，恒成立， 由，得，此时； 由，得，此时， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先由函数的极小值点的导数值等于零可得或，然后检验判断可得； （2）直接用导数求函数在闭区间上的最值可得. 【详解】（1）因为，所以， 因在取极小值，则，解得或. 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极大值点，不符合题意， 当时，，令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在，单调递增，在单调递减，是的极小值点，符合题意， 因此，此时. （2）由（1）知， 所以函数在，单调递增，在单调递减， 且，，所以函数在上的最大值为. 17．(1) (2) 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18．(1)当时，函数只有一个零点； 当时，函数无零点． (2)证明见详解 【分析】（1）分类讨论，求导，研究单调性质，通过最值分析零点个数； （2）利用放缩，转化为证明问题，构造函数，求导，通过最值符号证明不等式成立. 【详解】（1）当时，，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，此时函数只有一个零点； 当时，，则． 令，得．当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 又，所以，所以， 此时函数无零点． 综上，当时，函数只有一个零点； 当时，函数无零点． （2）由（1）知，，要证， 只需证，只需证， 记，则 时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 所以， 即成立，当且仅当时，等号成立， 又由不等式，当且仅当时，等号成立， 所以恒成立，故，得证 19．(1)极小值为1，无极大值 (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． (3) 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； （3）分离参数得，构造函数求最大值，由恒成立条件得参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. （2）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3）因为对任意的，都有恒成立，所以，即， 令，，则， 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，所以， 故当时，对任意的，恒成立，即恒成立． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $