高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较难版01）

**基本信息** 聚焦一元函数导数及其应用，分层考查导数计算、单调性、极值等核心知识，融入实际应用与新定义问题，适配单元复习，提升数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（1-2题）、切线斜率（3题）、单调性（4题）|基础巩固，覆盖导数概念与运算| |多选题|3/18|函数性质（9题）、导数图像应用（10题）、曲率新定义（11题）|能力提升，结合图像与创新情境| |填空题|3/15|导数计算（12题）、最值（13题）、单调性应用（14题）|强化基础应用，注重解题规范性| |解答题|5/77|单调区间与切线（15题）、极值与最值（16题）、凸函数新定义（17题）、零点讨论（18-19题）|综合应用，突出逻辑推理与问题解决，如17题结合“凸函数”培养创新思维|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．（本题5分）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果. 【详解】当时，， 函数的定义域为，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 故选：D. 6．（本题5分）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据题意可列出每瓶液体材料的利润关于r的函数解析式，再利用导数求出函数单调性，即可得出利润最大时. 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，求证，即可赋值判断. 【详解】①令，则， 当时，，所以，当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即，等号成立时， 所以，即； ②令，则， 当时，，当1时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以0，即，等号成立时， 所以，即． 综上，． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件； 对于B选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，B不满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11．（本题6分）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，， 所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即， 整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 【答案】 【分析】对函数求导直接代入计算即可. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）在上的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】 【分析】应用导数求出函数在区间上的最值，即可得. 【详解】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16．（本题15分）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【详解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1) 证明：令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； (2) ，， ，在上，， 所以在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则时，，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点； 当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）略. （2）略． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3) 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数是奇函数且为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 11．（本题6分）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 13．（本题5分）在上的最小值为，最大值为，则_____. 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 16．（本题15分）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $