命题大赛 广东茂名市高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第二册第五章

**基本信息** 本单元卷聚焦高二数学选择性必修二第五章“一元函数的导数及其应用”，以原创题为主（如单选8、解答15等），覆盖导数计算、极值判断、零点问题等核心知识点，梯度设计合理，适配单元复习检测，培养数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（题1）、极值判断（题3）、充分必要条件（题5）|基础巩固，结合导函数图象分析| |多选题|3/18|奇函数导数（题9）、三次函数性质（题10）|能力提升，考查多维度逻辑推理| |填空题|3/15|切线平行（题12）、零点个数（题14）|情境简洁，突出数学语言表达| |解答题|5/77|切线方程（题15(1)）、单调区间讨论（题15(2)）、恒成立求参（题15(3)）|综合应用，强调数学思维严谨性与创新论证|

应用场景：单元测 高二数学下学期单元测试 选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用 （考试时间：90分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 2．已知函数 的导函数为，且满足，则 （   ） A． B． C．1 D． 3.已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 4.若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 5.“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 7.若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（原创）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 10. （原创）已知三次函数，则下列选项中正确的是（ ） A．若是奇函数，则 B．若在上有极小值，则满足 C．若，，过点可作三条直线与相切，则满足 D． 若,且与直线有三个不同的交点，记交点的横坐标分别为、、,则 11.（原创）已知函数，对于且，请问下面的结论正确的选项是（ ） A．若,则在处的切线方程为 B．若则的单独递减区间为 C．若则实数的取值范围为 D．若则实数的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______． 13．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 14.（原创）若函数有三个不相等的零点，则参数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（原创）已知函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)当，时，判断函数的单调性． (2)是否存在，，使得为函数的极值点？若存在，求，满足的条件；若不存在，请说明理由． 17.（原创）函数是轴对称图形 （1）求的值. （2）若，求在处的切线方程. （3）证明：当时，是的极小值点. 18.（原创）已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求证：. 19.（原创）已知函数， (1)若函数在为增函数，求实数的取值范围； （2）设，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期单元测试 选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B D A B A B ABD ACD AD 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 2．B 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】求得函数的导数，令，即可求解. 【详解】由，可得，所以 ，则 . 故选：B. 3.【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 4.【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、导数的加减法、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可. 【详解】对于选项A，为奇函数，A错误； 对于选项B，为非奇非偶函数，B错误； 对于选项C，，且，，， 则不是偶函数，C错误； 对于选项D，为偶函数，D正确. 故选：D. 5．A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断命题的充分不必要条件 【分析】对函数求导，根据的范围确定导数大于0时的范围，进而根据充分条件、必要条件的定义确定答案. 【详解】对函数求导得 当时，，此时函数在上单调递增， 所以“”是函数在上单调递增的充分条件； 令，则，即， 因为，所以，所以，经验证当时，此时，在上单调递增，符合题意， 则无法推出， 也就是说，函数在上单调递增推不出“”， 综上，“”是函数在上单调递增的充分不必要条件. 故选：A. 6．B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【详解】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 7．A 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解. 【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， 所以的取值范围为. 故选：A 8． B （原创） 【详解】法一：由得：，令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，由，， 所以使得，当时， 即，所以单调递减，当时， 即，所以单调递增，所以，画图草图如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，即的整数解有且仅有两个，所以有：， 所以，故答案选． 法二：（半分离），令， ； 当时，单调递减， 当时，单调递增，又， 且时，. ①当时，，所以， 且，如右图所示： 所以没有两个整数解. ②当时，. 是原不等式的两个整数解， 所以， 所以,，如右边图所示： 综上，，故答案选. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10.（原创）ACD 对于A，因为是奇函数，所以的零点必定关于原点对称，因此; 对于B，在上有极小值，由图1可得可大于0也可以小于0; 图1 对于C，解法一：代数法 函数，设切点坐标 在的切线方程是，代入可得 ，整理得① 因此，过点可作三条直线与相切转化为方程①有三个不相等的解 设，，令，解得 单调递减；单调递增；单调递减； ；. 因此，. 解法二：几何法 依据三次函数图像的拐点特性，在的切线方程为， 如图2，若过点可作三条直线与相切，则满足. 图2 对于D，当时， 解法一：代数法，联立与，得.根据三次方程的韦达定理有. 解法二：几何法，函数的图像关于点对称，且直线也是关于点对称，因此，函数与直线的三个交点也关于点对称，如图3，因此，. 图3 11.（原创）AD A选项，若 则在处的切线方程为化简可得A选项正确； B选项，，但是这里所以求得的单调递减区间并不完全适用于给定区间，所以B选项错误； C、D选项，由题意可设因为， 若单调递增，则 若单调递减，则 ，令 在上单调递减，在上单调递增； =在上恒成立 ，=在上恒成立 ，化简得 ，化简得 综合可知，的取值范围为. C选项错误,D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12． 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】由求导得，则， 因为函数的图像在处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 13．/ 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 14.（原创）【参考答案】 解法一：参变分离（部分分离） 先证不等式 ，构造函数， ,，当单调递减；又因为，因此，即在上单调递减. 因此，，因此不等式得证. 有三个不相等的零点转化为函数与有三个不相等的交点，结合图像进行分析，当，函数有三个不相等的零点.（如图5） 图6 解法二：参变分离（完全分离） 当时，，因此1是函数的零点： 当时，函数有三个不相等的零点转化为函数与直线有两个不相等的交点. 先证不等式 构造函数， 在上单调递增；又，因此. 因此，当有，，函数单调递增；当有，，函数单调递减.当；由洛必达法则，； 因此，当，函数与直线有两个不相等的交点，即函数有三个不相等的零点. 解法三：讨论含参函数（不分参） 函数，定义域 ； ①当时，，在上单调递增；当，；当，；因此，存在满足，即； 当单调递减；单调递增； 此时，不满足函数有三个不相等的零点.因此，不成立. ②当时，单调递增；单调递减； 当，；当， 设有两个不相等的根，不妨设 要使函数有三个不相等的零点，需要满足 ，即，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（原创） 解：（1）当时，， ……1分 ，所以切点为 ……2分 函数在点处的切线方程为，即 ……3分 （2）的定义域为 ……4分 当时，，在上单调递减 ……5分 当时，令，得（舍去） 在上，，单调递减 在上，，单调递增 ……7分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间 当时，的单调递减区间是， 单调递增区间是 ……8分 （3），即 即， ……9分 设 ……10分 设 ……11分 在上单调递减，且 在上，，即，单调递增 在上，，即，单调递减 ……12分 在处有极大值，也是最大值 ， 所以，若恒成立，则实数的取值范围是. ……13分 16． 【答案】(1)在上单调递增 (2)不存在，理由见解析 【难度】0.57 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】（1）求导得，再构造函数，研究函数值的符号，进而判断在成立即可判断单调性； （2）先根据时不在函数的定义域内得，再求导，结合极值点的导数值为0得，进而得，再构造函数，，研究函数值的符号得恒成立，进而判断函数极值点的情况. 【详解】（1）当，时，，，……1分 则． ……2分 记，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增． ……3分 所以当时，，……4分 所以， 所以函数在上单调递增．……5分 （2） 解：不存在，，使得为函数的极值点．……6分 理由如下： 因为，， 当时，不在函数的定义域内，所以． ……7分 当时，若为函数的极值点，则．……8分 因为，所以，即， 所以． ……10分 令，，则，……11分 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以． ……13分 因为，，所以恒成立， 所以函数在上单调递增，故不是极值点． 综上，不存在，，使得为函数的极值点．……15分 17.（原创）【参考答案】 （1）的定义域是， 因为是轴对称图形，因此关于直线轴对称.……1分 由， 代入得……2分 化简得，解得.……4分 （2）由（1）得，……5分 代入可得，……7分 因此，在处的切线方程为，即……8分 （3）解法一： ……9分 先证不等式成立， 构造函数 ；……10分 当时，， ，在上单调递增； 因为，所以，则不等式即证.……11分 ①当，，，， 因此，，,, 在上单调递增.……13分 ②当，，，， 因此，，,,在上单调递减. 综上，当时，是的极小值点.……15分 解法二：由（1）可得，， ，代入得. ， 因此，当时，是的极小值点. 18. （原创）（1）当时，， 求导可得，……2分 所以切线的斜率为， 又因为， 所以切线的方程为，即. ……5分 （2）证明：由题意可得， 若，，所以在单调递增， 所以不存在，使得，所以. ……7分 设，则， 令，， 所以在单调递减， 又，所以在上恒成立，从而在单调递减， 从而有 ①……10分 又因为，可得， 所以 ②……12分 由①②可得. 又因为，所以， 因此要证，只需证明， 即证 ③ ……14分 令，设，，恒成立， 所以在上为增函数，又因为，所以， 即③式成立.所以得证.……17分 19.（原创） 解：(1) ……1分 函数在为增函数 在上恒成立……2分 在上恒成立……3分 ……4分 ……5分 又 ……6分 当且仅当，（舍），（舍）时，等号成立……7分 ，即实数的取值范围为……8分 （2）证明：要证成立， 需证成立，……9分 则需证，……10分 即证成立……11分 令,设……12分 由(Ⅰ)知， 当，在为增函数；……13分 在为增函数……14分 ……15分 ……16分 即，成立得证……17分 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 简单复合函数的导数、导数的运算法则 0.65 2 单选题 5 求某点处的导数值、导数的运算法则 0.85 3 单选题 5 函数（导函数）图象与极值的关系 0.65 4 单选题 5 函数奇偶性的定义与判断、导数的加减法、求含sinx的函数的奇偶性 0.85 5 单选题 5 用导数判断或证明已知函数的单调性、判断命题的充分不必要条件 0.65 6 单选题 5 利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 0.65 7 单选题 5 利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 0.4 8 单选题 5 基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，导数与函数的单调性，不等式，函数零点存在性定理 0.3 9 多选题 6 由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 0.65 10 多选题 6 函数的奇偶性与对称性、极值与导数的几何意义 0.55 11 多选题 6 函数切线方程、函数单调性 0.4 12 填空题 5 已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 0.85 13 填空题 5 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法、直线与坐标轴围成图形的面积问题 0.85 14 填空题 5 基本初等函数的图像与性质，函数与方程思想，函数的极值与最值以及函数的零点存在定理 0.35 15 解答题 13 导数的计算、切线方程的求解、利用导数分析函数单调性、不等式恒成立问题、参数分离法 0.6 16 解答题 15 用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 0.57 17 解答题 15 函数的对称性、对函数性质的理解与运用、复合函数的求导方法、函数的切线问题、极值的定义 0.5 18 解答题 17 导数的计算及几何意义、函数的单调性、极值、代数变形和函数构造 0.4 19 解答题 17 求双变量函数的导数、双变量函数的单调性变化情况、运用函数导数解决变量取值范围的问题 0.4 $