第8讲 相似多边形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第8讲 相似多边形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解相似多边形的概念与性质 · · 掌握相似多边形的判定方法 · · 能利用相似比求角、边长、周长和面积 · · 理解相似多边形周长比与面积比的关系 · · 会用相似多边形解决实际问题（黄金矩形、复印纸等） 📚 知识梳理 ☆ 1.相似多边形的概念 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 相似与形状有关，与位置、大小无关 边数不同的多边形一定不相似 概念辨析例题：任意两个矩形相似吗？任意两个正方形呢？ 解析：矩形角相等但边比不一定成比例；正方形角都是90°且边都相等，故一定相似 ☆ 2.相似多边形的性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比 概念辨析例题：两个相似多边形周长比为2:3，较小面积为16，求较大面积 解析：相似比=2:3，面积比=4:9，故较大面积=16×=36 ☆ 3.相似多边形的判定 边数相同+对应角相等+对应边成比例，三者缺一不可 所有正n边形都相似 所有圆都相似；任意两个正方形、等边三角形相似 矩形、菱形不一定相似，需进一步验证边比 概念辨析例题：判断：任意两个菱形相似 解析：菱形边成比例但角不一定相等，如60°菱形与80°菱形不相似 ☆ 4.相似多边形的应用 黄金矩形：宽/长=≈0.618 复印纸对开问题：A0→A1→A2…长宽比恒为:1 边框问题：内外矩形是否相似需验证边长比 动点相似：分两种对应情况分类讨论 概念辨析例题：矩形邻边25和x，分成5个全等小矩形都与原矩形相似，求x 解析：小矩形短边=5，长边=x，由相似得=，x2=125，x=5 📋 知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 边数必须相同 相似比k 对应边之比 有顺序性，前后项不能颠倒 周长比 等于相似比k k=a:b则周长比=a:b 面积比 等于相似比的平方k2 切勿与周长比混淆 对应角 ∠A=∠A′, ∠B=∠B′… 按顶点对应关系找 黄金矩形 宽/长= ≈0.618 复印纸A系列 长宽比=:1 对开后仍相似 判定三条件 边数同+角等+边成比例 缺一不可 ⚠️ 核心考点 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） · · 先看边数是否相同 · · 再看角是否对应相等 · · 最后看边是否成比例 · · 正方形/正n边形自动相似 1．（2025秋•青羊区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【分析】根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【解答】解：∵相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为2×3与4×5的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为60°的菱形与一个内角为80°的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例． 2．（2025秋•朝阳区期中）如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN，若AB＝10cm，FG＝15cm，则下列结论中正确的是（　　） A．3∠C＝2∠H B．2∠A＝3∠F C．3BC＝2GH D．2DE＝3MN 【分析】根据相似多边形的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN，AB＝10cm，FG＝15cm， ∴AB：FG＝2：3，∠A＝∠F，∠C＝∠H， ∴BC：GH＝2：3，DE：MN＝2：3， ∴3BC＝2GH，3DE＝2MN， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 3．（2024秋•崂山区期中）某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（　　） A．800元 B．400元 C．100元 D．50元 【分析】根据相似多边形的性质求出“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比，再计算农资成本即可． 【解答】解：∵“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2， ∴“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比为1：4， ∵“田园风光”的农资成本为200元， ∴“耘梦园”的农资成本为：200×4＝800（元）． 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方． 4．（2024秋•获嘉县期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【分析】根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【解答】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，乙和丙不相似，不符合题意； C、，乙和丙不相似，不符合题意； D、，乙和丙不相似，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等；对应边的比相等是解题的关键． 5．（2026•惠济区校级开学）下面三句话中，表述正确的有（　　）句． ①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系． ②折扣一定，原价和售价成正比例关系． ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍． A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】利用相似三角形的性质，正比例关系的性质，反比例关系的性质一一判断即可． 【解答】解：①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系．正确； ②折扣一定，原价和售价成正比例关系．正确； ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍．正确． 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形的性质，一次函数的应用，正比例的应用，反比例，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 6．（2024秋•惠州期末）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且周长之比为3：4．若CD＝12．则C′D′的长为 　16　 ． 【分析】根据相似多边形的性质得出CD：C′D′＝3：4，再代入数据求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且周长之比为3：4，CD＝12， ∴CD：C′D′＝3：4，即12：C′D′＝3：4， ∴C′D′16． 故答案为：16． 【点评】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键． 7．如图，E，F分别是矩形ABCD边BC，AD上的点，四边形ABEF是正方形，若矩形CDFE∽矩形ADCB，求证：点E是线段BC的黄金分割点． 【分析】根据正方形和矩形的性质可得AB＝BE＝CD，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【解答】证明：∵四边形ABEF是正方形， ∴AB＝BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴AB＝BE＝CD， ∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴， ∴AB•CD＝CE•BC， ∴AB2＝CE•BC， ∴点E是线段BC的黄金分割点． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．一般书本的纸张是从一张全开的原纸多次对开（将全张纸对折裁切后的幅面称为对开）得到的．如图，矩形ABCD表示一张全开的原纸，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推…若各种开本的矩形都相似，求的值． 【分析】由矩形DEFC∽矩形ABCD，推出，得到，即可求出的值． 【解答】解：由题意得到：DEAD，DC＝AB， ∵矩形DEFC∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∴AB2AD2， ∴， ∴（舍去负值）． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边成比例． 【考点2】运用相似多边形的性质求角、边长、面积（第9-22题） · · 周长比=相似比 · · 面积比=相似比平方 · · 对应角用多边形内角和求 · · 求未知边列比例方程 9．（2024秋•漳州期末）如图，现将一张A3纸沿它的长边对折（EF为折痕）可以得到两张A4纸，如果A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是（　　） A． B． C． D． 【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【解答】解：设原来A3纸的长为x，宽为y， ∵将一张A3纸沿它的长边对折（EF为折痕）可以得到两张A4纸， ∴对折后的A4纸的长为y，宽为， ∵A3纸和A4纸的长宽比例是相等的， ∴x：y＝y：， 解得x：y． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 10．（2025秋•仓山区校级月考）两个相似多边形周长的比是2：3，其中较小多边形的面积为16cm2，则较大多边形的面积为（　　） A．16cm2 B．24cm2 C．34cm2 D．36cm2 【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【解答】解：∵两个相似多边形周长的比是2：3， ∴两个相似多边形的相似比是2：3， ∴两个相似多边形的面积比是4：9， 1636（cm2）， 即较大多边形的面积为36cm2． 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 11．（2024秋•惠州期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【分析】分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【解答】解：在三个矩形中，矩形①，②，③的邻边之比分别为：3：4，1：2，1：2， ∴相似的是②③， 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键． 12．（2025秋•宁德期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【解答】解：根据相似多边形的概念可知： 三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：2：5，3：6＝1：2，4：10＝2：5， ∴甲和丙相似， 故选：C． 【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例是关键． 13．（2024秋•米脂县校级期中）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为120，则较小多边形的面积是（　　） A．24 B．40 C．30 D．60 【分析】由两个相似多边形的周长比为1：2，推出两个相似多边形的面积比为1：4可得结论． 【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2， ∴两个相似多边形的面积比为1：4， ∵两个相似多边形的面积和为120， ∴较小多边形的面积是120＝24． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 14．（2025秋•渠县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1：9，则AE的长为（　　） A．1 B．3 C．18 D．2 【分析】根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝6， ∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且面积比为1：9， ∴， ∴， ∴DE＝18，AE＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键． 15．（2025秋•临渭区校级期末）若两个相似多边形的面积比为1：16，较小的多边形周长为2，则较大的多边形周长是　8　 ． 【分析】先根据相似多边形面积的比得出其相似比，根据周长比等于相似比即可得出结论． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为1：16， ∴周长比＝相似比＝1：4， ∵较小的多边形周长为2， ∴较大的多边形周长为2×4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是根据相似多边形面积的比得出其相似比解答． 16．（2025秋•郫都区校级期中）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为　5　 ． 【分析】可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即可． 【解答】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即x2＝25×5＝125，且x＞0， 解得． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是解决本题的关键． 17．（2023秋•秦都区校级期中）我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张黄金矩形的贺年卡，如果贺年卡的长等于16厘米，那么该贺年卡的面积等于 　　 平方厘米．（结果保留根号） 【分析】先求出该贺年卡的宽，进而可得出结论． 【解答】解：该贺年卡的宽为：16（88）厘米， ∴面积为：平方厘米， 故答案为：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 18．（2025秋•东丰县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝　130　 度． 【分析】先根据四边形内角和定理求出∠D，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°， ∴∠D＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠A＝360°﹣50°﹣80°﹣100°＝130°． ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D′＝∠D＝130°（相似多边形对应角相等）． 则∠D′的度数为130°， 故答案为：130． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角与外角，关键是相关性质的熟练掌握． 19．（2024秋•姜堰区期末）两个相似多边形面积的比为9：16，若其中较小的多边形的周长为36cm，则另一个多边形的周长为 　48　 cm． 【分析】根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：∵相似多边形的面积之比是9：16， ∴相似多边形的周长之比为3：4， ∵较小的多边形的周长为36cm， ∴较大相似多边形的周长为48cm， 故答案为：48． 【点评】此题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的相似比等于周长之比是解答本题的关键． 20．（2024•绥棱县校级开学）操作题： （1）将下面的三角形按1：3的比缩小． （2）将下面的平行四边形按2：1的比放大． 【分析】（1）三角形按1：3的比缩小，只要数出底和高的格数，再把底和高除以3即可，然后画出三角形即可； （2）平行四边形按2：1的比放大，只要数出边和高的格数，再把边和高分别乘以2即可，然后画出平行四边形即可． 【解答】解：（1）画出三角形如图， （2）画出平行四边形如图． 【点评】本题考查了图形的变换，正确理解题意是解题的关键． 21．（2025秋•萍乡期中）如图所示，四边形ABCD∽是四边形EFGH． （1）求∠D的度数； （2）求x，y的值． 【分析】（1）由相似形的性质可得∠A＝∠E＝115°、∠B＝∠F＝90°、∠C＝∠G＝55°，再根据多边形内角和公式求解即可； （2）由相似形的性质可得，再代入相关数据即可解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴∠A＝∠E＝115°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝55°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣115°﹣90°﹣55°＝100°． （2）由题意可得： ，即， ∴x＝12.8，y＝8． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质、四边形的内角和等知识点，掌握相似形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键． 22．（2026秋•同步）如图，正方形和菱形的边长都是3，它们相似吗？为什么？ 【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答． 【解答】解：∵正方形和菱形的对应角不相等， ∴边长为3的正方形和菱形不相似． 【点评】本题考查了相似多边形，解题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第23-32题） · · 黄金矩形记住0.618 · · 复印纸对开列比例式求 · · 边框问题先求新矩形长宽 · · 动点相似分两种对应情况 23．（2024秋•清新区期末）两个相似多边形的相似比是2：3，其中较大多边形的面积为18cm2，则较小多边形的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．16cm2 【分析】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【解答】解：∵两个相似多边形的相似比是2：3， ∴两个相似多边形的面积比是4：9， ∵较大多边形的面积为18cm2， ∴较小多边形的面积为8cm2， 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 24．（2024秋•颍上县校级期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝80°，∠B＝70°，∠C'＝90°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．80° C．110° D．120° 【分析】根据相似多边形的性质求出∠C，再根据四边形内角和等于360°计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠C'＝90°， ∴∠C＝∠C'＝90°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键． 25．（2022秋•盐湖区期中）如图所示，长为10，宽为8的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分）．如果剩下矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【解答】解：如图，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则， 设DF＝xcm，得到：， 解得：x＝6.4， 则剩下的矩形面积是：6.4×8（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 26．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似． （1）α＝　83°　 ； （2）求边x，y的长度． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案； （2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x、y的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°， ∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°， 故答案为：83°； （2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴， 解得：x＝12，y． 【点评】考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 27．（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　12　 ． 【分析】根据相似多边形的性质即可解答． 【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm， ∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'， ∴， ∴， 解得a＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 28．（2025秋•咸阳期中）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，若AB：A1B1＝1：3，则五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比为　1：9　 ． 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且AB：A1B1＝1：3， ∴相似比为1：3． ∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比． 故答案为1：9． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 29．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在AB，CD上，AE＝DF＝4cm．现有两个动点M，N分别从点C，F同时出发，以2cm/s的速度沿CB，FE向点B，E运动，当点M，N运动多长时间时，以点C，F，M，N为顶点的矩形与以点A，E，F，D为顶点的矩形相似？并说明理由． 【分析】当矩形CFNM∽矩形FDAE时，推出FN：AD＝CF：FD，求出FN＝4cm，得到M，N运动的时间是4÷2＝2（s）；当矩形CFNM∽矩形DAEF时，推出FN：AE＝CF：DA，求出FN＝1cm，得到M，N运动的时间是1÷2（s），于是得到答案． 【解答】解：当点M，N运动s或2s时，以点C，F，M，N为顶点的矩形与以点A，E，F，D为顶点的矩形相似，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm， ∴CF＝CD﹣DF＝6﹣4＝2（cm）， 当矩形CFNM∽矩形FDAE时， ∴FN：AD＝CF：FD， ∴FN：8＝2：4， ∴FN＝4（cm）， ∵M、N运动的速度是2cm/s， ∴M，N运动的时间是4÷2＝2（s）； 当矩形CFNM∽矩形DAEF时， ∴FN：AE＝CF：DA， ∴FN：4＝2：8， ∴FN＝1（cm）， ∵M、N运动的速度是2cm/s， ∴M，N运动的时间是1÷2（s）， 当点M，N运动s或2s时，以点C，F，M，N为顶点的矩形与以点A，E，F，D为顶点的矩形相似． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是要分两种情况讨论． 30．如图，正方形ABCD的边长为6cm，E，F分别是AB，CD的三等分点（AE＜BE），连结EF，EF∥AD，点G，H分别从点A和点E同时出发，均以1cm/s的速度沿AD和EF向点D和点F运动．当矩形AGHE与矩形DGHF相似时，求点G运动的时间． 【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB＝CD＝6cm，再根据已知易得：AE＝DF＝2cm，然后设点G运动的时间为ts，则AG＝EH＝tcm，DG＝（6﹣t）cm，分两种情况：当矩形AGHE∽矩形DGHF相似时；当矩形AGHE∽矩形DFHG相似时；从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6cm， ∴AD＝AB＝CD＝6cm， ∵E，F分别是AB，CD的三等分点（AE＜BE），连结EF，EF∥AD， ∴AEAB＝2（cm），DFCD＝2（cm）， 设点G运动的时间为ts，则AG＝EH＝tcm， ∴DG＝AD﹣AG＝（6﹣t）cm， 分两种情况： 当矩形AGHE∽矩形DGHF相似时， ∴， ∴， 解得：t＝3； 当矩形AGHE∽矩形DFHG相似时， ∴， ∴， 解得：t1＝3，t2＝3， 综上所述：点G运动的时间为3s或（3）s或（3）s． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，分两种情况讨论进行计算是解题的关键． 31．我们知道，A4，B5复印纸是彼此相似的长方形，它们的长宽比是：1，我们称这样的长方形为长方形．对于一张正方形的纸，仅使用折叠的方式就可以将它折成长方形的形状．步骤如下： 第一步打叠正方形ABCD，使其对角线BD为折痕． 第二步掀起∠C，折叠后将BC与BD重合，折痕为BH，点C关于BH的对称点为点G． 第三步折叠出过点G的折痕EF，使EF∥AD． 如图所示．则长方形BCFE为长方形． （1）请对上面得到的结论给出证明． （2）请在正方形纸上折叠出长方形．并叙述折叠的步骤和证明． 【分析】（1）证明长方形BCFE的长宽比即可， （2）联想到含30°角的长直角边与短直角边的比为，由此可先折出等边三角形，再利用相似即可，证明时只要证明长方形ABNM的长宽比为即可． 【解答】解：（1）过点G作BC边的垂线，与BC相交于点M（如图②）． 由折纸的第三步可知，EF∥AD， ∴EF∥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形BMGE是矩形， 由第一步折叠可知，∠MBG＝∠EBG＝45°， ∴∠MGB＝90°﹣∠MBG＝45°＝∠MBG， ∴MB＝MG， ∴四边形BMGE构成一个正方形，且有BG：BE：1， 由折纸的第二步可知BG＝BC， ∴长方形BCFE的长宽比为BC：BE＝BG：BE：1， ∴长方形BCFE是个长方形； （2）折叠长方形，如图③． 第一步：将正方形ABCD的两对边AB与CD重合对折，折痕为EF； 第二步：过点B将点C折到EF上，折痕为BG，点C关于BG的对称点为点H； 第三步：延长BH交AD于点M，折叠出过点M的折痕MN，使MN∥AB． 则四边形ABNM为长方形． 证明：由第一步知，EF垂直平分BC， ∴HB＝HC， 由第二步可知，BC＝BH， ∴△BCH是正三角形，HF是这个三角形的高， ∴HFBF， 由第三步知，MN∥AB∥HF， ∴△BFH∽△BNM， ∴， ∴MNBN． ∴四边形ABNM为长方形． 【点评】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，理解题意，懂得每步操作的意义是解题的关键． 32．（2023秋•滨江区校级月考）如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长． 【分析】分别设A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出的值即可． 【解答】解：（1）∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，它们都是相似的矩形， ∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵A1纸的周长为286厘米，； ∴A2纸的周长＝286143． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•东昌府区期中）如图，已知四边形AEFD∽四边形EBCF，若AD＝3，EF＝4，则BC的长为 　　 ． 【分析】由相似多边形对应边的比相等，得到AD：EF＝EF：BC，代入有关数据即可求出BC． 【解答】解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF， ∴AD：EF＝EF：BC， ∵AD＝3，EF＝4， ∴3：4＝4：BC， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边成比例． 【练习 2】两个相似多边形的最长边分别为10cm和30cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为 　cm或15cm ． 【分析】根据相似多边形的对应边对应成比例，列式求解．注意“其中一个多边形的最短边为5cm”，不确定是较大的多边形的短边，还是较小的多边形的短边，分别考虑． 【解答】解：设最短边为xcm，由题意得， 10：30＝5：x，或10：30＝x：5， ∴x＝15或． 故答案为：cm或15cm． 【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边对应成比例． 【练习 3】（2025春•莱州市期末）一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为 　8　 ． 【分析】设该多边形的最短边长为x，利用相似多边形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：设该多边形的最短边长为x． 由相似多边形的性质可知：， ∴x＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【练习 4】（2024秋•寿宁县期中）如图，矩形ABCD和正方形ABFE，若矩形ABCD与矩形CDEF相似，BC＝2，则AB＝　﹣1　 ． 【分析】根据相似多边形的性质得出比例方程解答即可． 【解答】解：设AB＝x，则AB＝BF＝EF＝AE＝x，FC＝2﹣x， ∵矩形ABCD与矩形CDEF相似， ∴， 即， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， 即AB＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，关键是根据相似多边形的性质得出比例方程解答． 【练习 5】（2023秋•南海区期中）一块矩形绸布的宽AB＝1m，长AD＝am，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是 　　 ． 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，继而求得答案． 【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴ ∴a2＝n， ∴a． 故答案为：． 【点评】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应边成比例． 【练习 6】如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似． （1）α＝　83　 ； （2）求边x，y的长度． 【分析】（1）根据相似多边形的性质对应角相等解答即可； （2）根据相似多边形的性质对应边的比相等解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似， ∴∠D′＝∠D＝140°， ∴α＝∠C′＝∠C＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°． 故答案为：83°； （2）∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似， ∴， 解得x＝12，y． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解答本题的关键是掌握相似图形的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · · 相似多边形三条件缺一不可：边数同、角等、边成比例 · · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · · 求未知边一律列比例方程，注意对应顶点顺序 · · 黄金比0.618、复印纸:1两个常见模型要记牢 · · 动点相似问题分两种对应情况讨论，不要漏解 【作业 1】（2024秋•信都区期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【解答】解：A．两圆的形状相同，故是相似图形； B．正方形和长方形的形状不同，故不是相似图形； C．正六边形和正八边形的形状不同，故不是相似图形； D．两图形形状不同，故不是相似图形； 故选：A． 【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 【作业 2】（2025春•台江区校级期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以两个正方形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形 故选：D． 【点评】本题考查考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例． 【作业 3】（2024秋•清水县期末）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3，则下列结论正确的是（　　） A．3BC＝4HI B．六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长＝3：4 C． D．3S六边形ABCDEF＝4S六边形CHIJKL 【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析是解决问题的关键． 【解答】解：A∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3， ∴，即3BC＝4HI，正确，符合题意； B、六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长＝4：3，原说法错误，不符合题意； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， ∴∠E＝∠K，原说法错误，不符合题意； D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为4：3 ∴， ∴9S六边形ABCDEF＝16S六边形CHIJKL，原说法错误，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比叫做相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•芜湖期末）如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN．若AB：FG＝2：3，则下列结论中正确的是（　　） A．3∠A＝2∠F B．2∠A＝3∠F C．3DE＝2MN D．2DE＝3MN 【分析】根据相似图形的性质逐项分析判断即可求解． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN， ∴∠A＝∠F， ∴故A，B错误，不符合题意； ∵AB：FG＝2：3， ∴DE：MN＝AB：FG＝2：3， ∴3DE＝2MN， ∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【作业 5】（2025•红桥区模拟）若两个相似多边形的相似比为3：2，则它们的周长之比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【分析】根据相似多边形的性质，即可解答． 【解答】解：若两个相似多边形的相似比为3：2，则它们的周长之比为3：2， 故选：B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•南郑区期中）已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝2：7，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A′B′C′D′的周长为　14　 ． 【分析】根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝2：7， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′周长比为2：7， ∵四边形ABCD的周长为4， ∴四边形A′B′C′D′的周长． 故答案为：14． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形周长的比等于相似比是解题的关键． 【作业 7】（2026•湘桥区一模）一个矩形如果满足宽和长的比等于，那么这个矩形叫做“黄金矩形”．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到的四边形CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　（1）π　 ．（结果用π表示） 【分析】根据“黄金矩形”先计算出AB1，再利用四边形ABFE为正方形得到EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°，接着根据正方形的性质得到GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°，LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°，然后根据弧长公式计算三段弧的长度的和即可． 【解答】解：∵黄金矩形ABCD的边AD＝2， ∴ABAD1， ∵四边形ABFE为正方形， ∴EA＝AB＝EF＝BF1，∠AEF＝90°， ∵四边形GFCH为正方形， ∴GH＝GF＝FC＝CH＝2﹣（1）＝3，∠FGH＝90°， ∵四边形DHLK为正方形， ∴LH＝DH1﹣（3）＝24，∠HLK＝90°， ∴“黄金螺线”AFHK的长（1）π． 故答案为：（1）π． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．也考查了矩形的性质、正方形的性质和黄金分割． 【作业 8】（2023秋•永州期末）若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm，若较小多边形的面积为8cm2，则较大多边形的面积为 　18　 cm2． 【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【解答】解：∵两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm， ∴两个相似多边形的周长比是2：3， ∴两个相似多边形的相似比是2：3， ∴两个相似多边形的面积比是4：9， ∵较小多边形的面积为8cm2， ∴较大多边形的面积为18cm2， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 【作业 9】（2025秋•神木市期末）已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5，若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为　20　 ． 【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比计算． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'＝1：5， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比1：5， ∵四边形ABCD的周长为4， ∴四边形A'B'C'D'的周长20， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•宁波校级月考）已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且AB＝2，B1C1＝4，BC＝3，则五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比是　9：16　 ． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且B1C1＝4，BC＝3， ∴相似比为3：4． ∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比， 故答案为：9：16． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业 11】（2024秋•成都期中）如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则a：b＝ 　2：1　 ． 【分析】根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【解答】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴， 又∵a＞0，b＞0， ∴，即a：b＝2：1． 故答案为：2：1． 【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，折叠的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键． 【作业 12】已知长AB＝30，宽BC＝20的矩形黑板ABCD． （1）如图1，若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗？请说明理由； （2）如图2，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？ 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边成比例．就可以求出x的值． 【解答】解：（1）不相似，理由如下： AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18， 而， ∴图中两个矩形不相似； （2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似， ∴或， ∴或， 解得x＝1.5或x＝9， 综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似． 【点评】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立． 【作业 13】（2026秋•同步）在如图所示的相似四边形中，求未知的边长x和角度α的大小． 【分析】根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例． 【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以k，解得x＝2.5． a＝360°﹣（125°+120°+55°）＝60°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 【作业 14】（2022秋•长春期末）四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝4，A′B′＝5，若四边形ABCD的面积为12，求四边形A′B′C′D′的面积． 【分析】由题意可求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为，再根据相似图形面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝4，A′B′＝5， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为， ∴， 即， ∴S四边形A′B′C′D′． 【点评】本题考查相似图形的性质．掌握相似图形面积比等于相似比的平方是解题关键． 【作业 15】（2026秋•单元）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3，⋯这样继续下去． （1）找出图中各组相似多边形，并求出每组相似多边形中相邻两个多边形的相似比． （2）分别求出四边形A6B6C6D6，四边形A7B7C7D7的周长和面积． 【分析】（1）连接AC，BD交于O，由中点四边形性质和三角形中位线定理可知，矩形ABCD∽矩形A2B2C2D2∽矩形A4B4C4D∽矩形A6B6C6D6......，且相邻两个矩形的相似比为2；可证∠C1D1A1＝∠DOA＝∠C3D3A3，从而可得菱形A1B1C1D1∽菱形A3B3C3D3∽菱形A5B5C5D5∽菱形A7B7C7D7......，相邻两个菱形的相似比为2；（2）求出矩形ABCD的周长为28，面积为48，AC＝BD＝10，得矩形A6B6C6D6的周长为28×（）2＝7，面积为48×（）2＝3，A1B1AC＝5，故菱形A1B1C1D1的周长为20，面积为48＝24，从而菱形A7B7C7D7的周长为20×（）2＝5，面积为24×（）2． 【解答】解：（1）连接AC，BD交于O，如图： 由中点四边形性质和三角形中位线定理可知，， ∴矩形ABCD∽矩形A2B2C2D2，且相似比为2， 同理可得矩形ABCD∽矩形A2B2C2D2∽矩形A4B4C4D∽矩形A6B6C6D6......，且相邻两个矩形的相似比为2； 由平行四边形对角相等可知，∠C1D1A1＝∠DOA＝∠C3D3A3， ∴菱形A1B1C1D1∽菱形A3B3C3D3，且相似比为2， 同理可得菱形A1B1C1D1∽菱形A3B3C3D3∽菱形A5B5C5D5∽菱形A7B7C7D7......，相邻两个菱形的相似比为2； （2）∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴矩形ABCD的周长为28，面积为48，AC＝BD＝10， ∴矩形A6B6C6D6的周长为28×（）2＝7，面积为48×（）2＝3，A1B1AC＝5， ∴菱形A1B1C1D1的周长为20，面积为48＝24， ∴菱形A7B7C7D7的周长为20×（）2＝5，面积为24×（）2． 【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $第8讲相似多边形优等生讲义 (精讲+典例+针对练习)2026一2027学年华东师大版九年级数学上册 才思维导图 相似多边形概念 判定方法 课程目标 相似此求边角 周长面积比 实际应用 ★1.相似多边形的概念 女2.相似多边形的性质 知识梳理 女3.相似多边形的判定 女4.相似多边形的应用 第8讲相似多边形 【考点1】判断多边形相似 核心考点 【考点2】运用相似多边形的性质求角、边长、面积 【考点3】运用相似多边形解决实际问题 三条件 周长面积比 复习建议 列比例方程 黄金与复印纸 分类讨论 课程目标 ··理解相似多边形的概念与性质 ··掌握相似多边形的判定方法 ··能利用相似比求角、边长、周长和面积 ··理解相似多边形周长比与面积比的关系 ··会用相似多边形解决实际问题（黄金矩形、复印纸等） 知识梳理 ☆1.相似多边形的概念 1. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 第1页（共15页） 2. 相似多边形对应边的比叫做相似比 3. 相似与形状有关，与位置、大小无关 4. 边数不同的多边形一定不相似 概念辨析例题：任意两个矩形相似吗？任意两个正方形呢？ 解析：矩形角相等但边比不一定成比例；正方形角都是90°且边都相等，故一定相似 ☆2.相似多边形的性质 5. 相似多边形对应角相等，对应边成比例 6. 周长比等于相似比 7. 面积比等于相似比的平方 8 对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比 概念辨析例题：两个相似多边形周长比为2：3，较小面积为16，求较大面积 9 解析：相似比=2：3，面积比=4：9，故较大面积=16×436 女3.相似多边形的判定 9. 边数相同+对应角相等+对应边成比例，三者缺一不可 10. 所有正n边形都相似 11. 所有圆都相似：任意两个正方形、等边三角形相似 12. 矩形、菱形不一定相似，需进一步验证边比 概念辨析例题：判断：任意两个菱形相似 解析：菱形边成比例但角不一定相等，如60°菱形与80°菱形不相似 ☆4.相似多边形的应用 13. 黄金矩形：宽/长= V5-1 0.618 2 14. 复印纸对开问题：A0→A1→A2长宽比恒为2：1 15. 边框问题：内外矩形是否相似需验证边长比 16. 动点相似：分两种对应情况分类讨论 概念辨析例题：矩形邻边25和x,分成5个全等小矩形都与原矩形相似，求x 前折：小纯形短边=5，长边x由相似狗行音125.X5行 自知识总结表 核心概念 性质/公式 注意事项 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 边数必须相同 相似比k 对应边之比 有顺序性，前后项不能颠倒 周长比 等于相似比k k=ab则周长比=ab 第2页（共15页） 面积比 等于相似比的平方k? 切勿与周长比混淆 对应角 ∠A=∠A',∠B=∠B'. 按顶点对应关系找 黄金矩形 宽/长G1 ≈0.618 2 复印纸A系列 长宽比=V21 对开后仍相似 判定三条件 边数同+角等+边成比例 缺一不可 △核心考点 【考点1】判断多边形相似（第1-8题） ··先看边数是否相同 ··再看角是否对应相等 ··最后看边是否成比例 ··正方形/正n边形自动相似 1.(2025秋·青羊区校级期末)下列说法正确的是() A.任意两个矩形相似 B.任意两个菱形相似 C.任意两个正方形相似 D.以上说法都正确 2.(2025秋·朝阳区期中)如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN,若AB=10c,FG=15cm,则下列 结论中正确的是() C A.3∠C=2∠H B.2∠A=3∠F C.3BC=2GH D.2DE=3MN 3.(2024秋·崂山区期中)某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦 园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2.若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平 方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为 200元，则“耘梦园”的农资成本为() A.800元 B.400元 C.100元 D.50元 4.(2024秋•获嘉县期末)如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是() 第3页（共15页） 2.5 1.5 甲 丙 A.甲和乙 B.乙和丙 C.丙和丁 D.甲和丁 5.(2026·惠济区校级开学)下面三句话中，表述正确的有()句. ①方队总人数一定，每行人数与每列人数成反比例关系. ②折扣一定，原价和售价成正比例关系 ③将一个长方形按2：1放大后，面积变成原来的4倍. A.1 B.2 C.3 D.0 6.(2024秋·惠州期末)如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且周长之比为3：4. 若CD=12.则C'D'的长为 D 7.如图，E,F分别是矩形ABCD边BC,AD上的点，四边形ABEF是正方形，若矩形CDFE∽矩形 ADCB,求证：点E是线段BC的黄金分割点. F D B E C 8.一般书本的纸张是从一张全开的原纸多次对开（将全张纸对折裁切后的幅面称为对开）得到的.如图， 矩形ABCD表示一张全开的原纸，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推· 若各种开本的矩形都相似，求 AD的值. 第4页（共15页） D 4开 对开M N 8开 【考点2】运用相似多边形的性质求角、边长、面积（第9-22题） ··周长比=相似比 ··面积比=相似比平方 ··对应角用多边形内角和求 ··求未知边列比例方程 9.(2024秋·漳州期末)如图，现将一张A3纸沿它的长边对折(EF为折痕)可以得到两张A4纸，如果 A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是() D F ⊙ B V2 A. B.V2 2 D.2 10.(2025秋·仓山区校级月考)两个相似多边形周长的比是2：3，其中较小多边形的面积为16cm2,则 较大多边形的面积为() A.16c2 B.24cm2 C.34cm2 D.36c 11.(2024秋·惠州期末)在如图所示的三个矩形中，相似的是(） 4 1 ① ③ ③ A.①② B.②③ c.①③ D.都不相似 12.(2025秋·宁德期中)如图有三个矩形，其中为相似矩形的是() 第5页（共15页） 6 10 丙 甲 A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙和丙 13.(2024秋·米脂县校级期中)已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为120，则较小多 边形的面积是() A.24 B.40 C.30 D.60 14.（2025秋·渠县校级月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E,F分别在AD,BC边上，且 EF⊥BC,若矩形ABFE∽矩形DEFC,且面积比为1：9，则AE的长为() D B A.1 B.3 C.18 D.2 15.(2025秋·临渭区校级期末)若两个相似多边形的面积比为1：16，较小的多边形周长为2，则较大 的多边形周长是 16.(2025秋•郫都区校级期中)矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分 割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为 5 203秋·秦都区校级期中)我们把宽与长的比值等于贡金比5-的矩形，叫做黄金矩形， 2 形看，它最具美感.现在想要制作一张黄金矩形的贺年卡，如果贺年卡的长等于16厘米，那么该贺年 卡的面积等于 平方厘米.（结果保留根号） 18.(2025秋·东丰县期末)如图，四边形ABCD∽四边形A'B′CD',若∠B=50°，∠C=80°， ∠A=100°，则∠D'= 度 第6页（共15页） 19.(2024秋·姜堰区期末)两个相似多边形面积的比为9：16，若其中较小的多边形的周长为36c,则 另一个多边形的周长为 20.（2024绥棱县校级开学)操作题： (1)将下面的三角形按1：3的比缩小. (2)将下面的平行四边形按2：1的比放大· 21.(2025秋·萍乡期中)如图所示，四边形ABCD∽是四边形EFGH. H E 115° 6 D A 10 5 55°△ 6.4 (1)求∠D的度数： (2)求x,y的值. 22.(2026秋·同步)如图，正方形和菱形的边长都是3，它们相似吗？为什么？ 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第23-32题） ··黄金矩形记住0.618 ··复印纸对开列比例式求V2 ··边框问题先求新矩形长宽 第7页（共15页） ··动点相似分两种对应情况 23.(2024秋·清新区期末)两个相似多边形的相似比是2：3，其中较大多边形的面积为18c2,则较小 多边形的面积为() A.6c2 B.8cm2 C.9cm2 D.16c2 24.(2024秋颍上县校级期末)如图，四边形ABCD∽四边形ABC"D,∠A=80°，∠B=70°，∠C"= 90°，则∠D的度数为() D A.70 B.80° C.110° D.120° 25.(2022秋·盐湖区期中)如图所示，长为10，宽为8的矩形中.截去一个矩形（图中阴影部分）·如 果剩下矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是() A.144 256 B. 5 5 C.2 5 D.128 5 26.如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD'相似. (1)a= (2)求边x,y的长度. D 9 6/140° 8 A662° y 11 27.(2023秋·郏县期末)书画经装裱后更便于收藏.如图，ABCD为长90c、宽30c的矩形，装裱后 整幅画为矩形A'B'CD,两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B的距离、CD与C'D'的距离都等于 4cm.当AD与AD的距离、BC与B'C'距离都等于aCL,且矩形ABCD∽矩形AB'C"D',整幅书画最 美观此时，a的值为 第8页（共15页） 0 B y B 28.(2025秋·咸阳期中)己知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,若AB:A1B1=1:3,则五边形 ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比为 29.如图，在矩形ABCD中，AB=6C,BC=8c,点E,F分别在AB,CD上，AE=DF=4Cm.现有两 个动点M,N分别从点C,F同时出发，以2Cs的速度沿CB,FE向点B,E运动，当点M,N运动 多长时间时，以点C,F,MN为顶点的矩形与以点A,E,F,D为顶点的矩形相似？并说明理由. D N M 30.如图，正方形ABCD的边长为6C,E,F分别是AB,CD的三等分点(AE<BE),连结EF, EF∥AD,点G,H分别从点A和点E同时出发，均以1cs的速度沿AD和EF向点D和点F运动. 当矩形AGHB与矩形DGHF相似时，求点G运动的时间. AG D H B C 31.我们知道，A4,B5复印纸是彼此相似的长方形，它们的长宽比是V2:1,我们称这样的长方形为√2 长方形.对于一张正方形的纸，仅使用折叠的方式就可以将它折成2长方形的形状.步骤如下： 第一步打叠正方形ABCD,使其对角线BD为折痕， 第二步掀起∠C,折叠后将BC与BD重合，折痕为BH,点C关于BH的对称点为点G. 第三步折叠出过点G的折痕EF,使EF∥AD. 如图所示.则长方形BCFE为V2长方形： (1)请对上面得到的结论给出证明， (2)请在正方形纸上折叠出V3长方形.并叙述折叠的步骤和证明. 第9页（共15页） B C 32.(2023秋·滨江区校级月考)如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸， 一分为二成为A3纸…，它们都是相似的矩形. Q)求 AB的值. (2)若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长. A B D ☐随堂检测 【练习1】(2023秋·东昌府区期中)如图，已知四边形AEFD∽四边形EBCF,若AD=3,EF=4,则 BC的长为 E F 【练习2】两个相似多边形的最长边分别为10cm和30c,其中一个多边形的最短边为5cm,则另一个多 边形的最短边为 。 【练习3】(2025春•莱州市期末)一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多边形 的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为 【练习4】(2024秋·寿宁县期中)如图，矩形ABCD和正方形ABFE,若矩形ABCD与矩形CDEF相似， BC=2,则AB= 第10页（共15页） E 【练习5】(2023秋·南海区期中)一块矩形绸布的宽AB=1,长AD=,按照图中所示的方式将它 裁成相同的面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么α的 值应当是 A 1 2 3 B C 【练习6】如图，四边形ABCD与四边形ABC"D相似. (1)a= (2)求边x,y的长度. D D 9 6 /140° 8 A662 75 BA 11 型课后巩固 复习建议 ··相似多边形三条件缺一不可：边数同、角等、边成比例 ··周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 ··求未知边一律列比例方程，注意对应顶点顺序 ··黄金比0.618、复印纸2：1两个常见模型要记牢 ··动点相似问题分两种对应情况讨论，不要漏解 【作业1】(2024秋•信都区期中)观察如图每组图形，是相似图形的是() 第11页（共15页） D 【作业2】(2025春·台江区校级期末)如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角 三角形各成一组.每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等， 则两个图形对应边不成比例的是() 【作业3】(2024秋·清水县期末)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIKL,相似比为4：3，则下列结 论正确的是() E B A.3BC=4HI B.六边形ABCDEF的周长：六边形GHIJKL的周长=3：4 Q.人E号<K D.3S六边形ABCDEF=4S六边形CHKL 【作业4】(2024秋·芜湖期末)如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN.若AB:FG=2:3,则下列结 论中正确的是() 第12页（共15页） M A.3∠A=2∠F B.2∠A=3∠F C.3DE-2MN D.2DE=3MN 【作业5】(2025·红桥区模拟)若两个相似多边形的相似比为3：2，则它们的周长之比为() A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4 【作业6】(2025秋·南郑区期中)已知四边形ABCD∽四边形A'B′CD',且AB:A'B′=2： 7,若四边形ABCD的周长为4，则四边形A'B'C'D'的周长为 5-1 【作业7】(2026·湘桥区一模)一个矩形如果满足宽和长的比等于 2一，那么这个矩形叫做“黄金矩 形”·如图，黄金矩形ABCD中AB_5- AD 2 ,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到的四边形 CDEF也是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为 圆心作AF,H,K,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为 (结果用π表示) H E K D 【作业8】(2023秋·永州期末)若两个相似多边形的周长分别为6cm和9c,若较小多边形的面积为 &cm2,则较大多边形的面积为 cn. 【作业9】(2025秋·神木市期末)己知四边形ABCD∽四边形AB'CD,且AB:AB=1:5,若四边形 ABCD的周长为4，则四边形AB'CD的周长为一· 【作业10】（2025秋·宁波校级月考)已知五边形ABCDE∽五边形AB1C1D1E1,且AB=2,B1C1=4, BC=3,则五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积之比是 【作业11】(2024秋·成都期中)如图，取一张长为α，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小 矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则：b= 第13页（共15页） 第一次对折 第二次对折 0 【作业12】已知长AB=30,宽BC=20的矩形黑板ABCD. (1)如图1，若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域，图中所形成的两个矩形ABCD与 A'BCD相似吗？请说明理由； (2)如图2，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似？ 图1 图2 【作业13】（2026秋·同步)在如图所示的相似四边形中，求未知的边长x和角度α的大小. 10 Q 55° 55° 125 120° 【作业14】(2022秋·长春期末)四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',AB=4,A'B'=5,若四边 形ABCD的面积为12，求四边形A'B'CD'的面积. 【作业15】(2026秋·单元)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6.顺次连结各边中点，得菱形 A1B1C1D1;再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形AB2CD2;再顺次连结矩形AB2CD2的各边 中点，得菱形A3B3C3D3,…这样继续下去， (1)找出图中各组相似多边形，并求出每组相似多边形中相邻两个多边形的相似比. (2)分别求出四边形A6B6C6D6,四边形AB7CD7的周长和面积. 第14页（共15页） C C D, C C2 D B B A2 A3 B2 ⊙ A 第15页（共15页）