22.3.1 相似三角形 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的概念、判定预备定理及与全等三角形的关系，通过回顾相似多边形和全等三角形知识，结合风筝情境导入新课，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 资料以探究活动为核心，从三角形中位线特例到一般情况推导判定定理，培养学生推理意识，结合平行四边形、正方形内接三角形等实例设计应用与拓展，发展应用意识。达标检测与知识网络助力巩固，教学反思促进教师优化，提升学生探究能力与教师教学效率。

1.相似三角形 课题 1.相似三角形 授课人 教 学 目 标 　　1.知道相似符号、相似比的意义. 2.知道平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 3.运用相似三角形的性质解决问题. 4.知道相似三角形和全等三角形之间的关系. 5.通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系. 教学 重点 相似三角形的概念及初步判定. 教学 难点 相似三角形的本质属性,对应边、角的确定. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.根据相似多边形的定义,判断两个能重合的矩形相似吗,为什么?两个全等三角形相似吗?为什么? 2.我们已经知道“各边对应成比例,各角对应相等的两个边数相同的多边形叫相似多边形”,那么“三条边对应成比例,三个角对应相等的两个三角形”能叫相似三角形吗? 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 小明和小亮在老师的指导下分别制作了一个三角形风筝(如图22-3-10所示).这两个风筝的形状有何关系?如何判定这两个三角形风筝相似呢?这一节课我们就来学习相似的相关知识. 图22-3-10 　　以各种常见的图片引入新课,激发学生的学习积极性、兴趣和求知欲,同时为解决图形相似问题做好衔接,借此引导学生探究.可以让学生寻找身边的相似三角形,以便理解两个三角形相似的特征,为本节课的学习做好铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】相似三角形的概念与性质 1.相似多边形的定义是什么? 两个边数相同的多边形,如果各边对应成比例,各角对应相等,就称这两个多边形相似. 2.你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗? 对应边成比例,对应角相等的两个三角形叫做相似三角形. 3.相似三角形的定义既可以作为判定又可以作为性质,用几何语言如何表示? 图22-3-11 如图22-3-11. (1)在△ABC和△DEF中, ∵∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,, ∴　　　　　　　　　　.  活动 二: 探究 与 应用 (2)在△ABC和△DEF中, ∵△ABC∽△DEF,∴　.  4.如果两个相似三角形的相似比是1,那么这两个三角形有什么关系? 当相似比是1时,两个相似三角形是全等三角形,即全等三角形是相似三角形的特例. 【探究2】相似三角形判定的预备定理 活动1　三角形的中位线分得的三角形与原三角形的关系 如图22-3-12,DE为△ABC的中位线,△ADE和△ABC是相似三角形吗? 图22-3-12 根据三角形中位线定理,有DE∥BC,DE=BC.由此可知∠ADE= ∠ABC,∠AED=∠ACB,∠A=∠A;. 即△ADE和△ABC的三个角对应相等、三条边对应成比例.因此△ADE和△ABC是相似三角形,相似比k=. 师生活动:引导学生先思考三角形中位线的性质定理,再来寻找三对对应角、三组对应线段之间的数量关系,进而得出结论. 活动2　平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形的关系 思考:如图22-2-13,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC相似吗? 图22-3-13 师生活动:教师引导学生思考:(1)要说明三角形相似,需要哪些条件?(2)你能证明这些角对应相等吗?(3)如何证明?(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢? ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,.如图22-3-14,过点D作AC的平行线交BC于点F,∴.∴. ∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF.∴. 又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. 图22-3-14 让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流,教师以巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时应关注:①学生的研究方法,发现好的方法时,可与其他同学一起交流分享.②还有哪些小组的同学在研究时有困难,此时教师可及时对其进行讲解,争取不让任何一个学生掉队. 总结:平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似. 　　1.学生通过阅读课本和回答教师的提问,弄清楚平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 2.从特殊情况出发,使学生对相似三角形有一个直观的感性认识,再让学生以一般的形式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出相似三角形判定的预备定理. 活动 二: 探究 与 应用 　　活动3　平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形的关系 思考:如图22-3-15,DE∥BC,△AED与△ABC是否还是相似的? 图22-3-15 学生先独立思考,再合作交流、互相补充.各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由. 师生归纳:平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【应用举例】 例1　如图22-3-16,在△ABC中,DE∥BC,CD与BE相交于点O.若DO=6,OC=15,则△ODE∽　△OCB　,相似比为　2∶5　,△OCB与△ODE的相似比是　5∶2　.  图22-3-16 师生讨论,共同探究出答案. 变式　如图22-3-17,在△ABC中,DE∥BC,CD与BE相交于点O,DO=6,OC=15,△ADE与△ABC的相似比为　2∶5　.  图22-3-17 [解析] 由例1可以知道DE∶BC=2∶5,所以△ADE与△ABC的相似比为2∶5. 特别提醒:用相似符号表示两个三角形相似,对应顶点写在对应位置上,如果△ABC与△ADE的相似比是k,那么△ADE与△ABC的相似比是. 例2　如图22-3-18,在△ABC中,点D是边AB的三等分点,DE∥BC,DE=5.求BC的长. 图22-3-18 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线,和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似). ∴. ∴BC=3DE=15. 变式　如图22-3-19,在Rt△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. (1)如果AD=2,DB=3,求DE∶BC的值; (2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长. 图22-3-19 解: (1)∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴. (2)∵△ADE∽△ABC, ∴. 又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7, ∴, ∴AE=6,BC=. 　　例1主要是巩固相似三角形的相似比,注意相似比一定要分清楚是谁与谁的比;同时也是对平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似的针对性范例. 　　例2不仅是对判定定理的直接应用,更能锻炼学生熟练使用几何语言表达三角形相似的能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　 【拓展提升】 例3　如图22-3-20,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AD=4 cm,BD= 8 cm,DE=5 cm,求线段BF的长. 图22-3-20 解: ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴. ∵AD=4 cm,BD=8 cm,DE=5 cm, ∴, ∴BC=15 cm. ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DECF是平行四边形, ∴FC=DE=5 cm, ∴BF=BC-FC=15-5=10(cm). 例4　如图22-3-21所示,Rt△ABC中,∠C=90°,有一内接正方形DEFC,连结AF交DE于点G,AC=15,BC=10,求GE的长. 图22-3-21 解: ∵四边形DEFC是正方形, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ACB, ∴. ∵AC=15,BC=10,设正方形DEFC的边长为x, 则, 解得x=6. 又∵DE∥CB, ∴△ADG∽△ACF, ∴, 即, 解得DG=3.6, ∴GE=DE-DG=6-3.6=2.4. 　　例3是根据平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似后,求出一边,再根据平行四边形的对边相等代入后求出所要求的线段. 例4是两次利用平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似的一道综合性较强的问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P76中的练习. 2.补充练习:如图22-3-22,E是平行四边形ABCD的边AD上的一点,且,CE交BD于点F,BF=15 cm,求DF的长. 图22-3-22 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AD=BC,, ∴. ∵AD∥BC, ∴△EDF∽△CBF, ∴. ∵BF=15 cm, ∴, ∴DF=6 cm. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 两个三角形不仅形状相同,且大小也相同,这样的三角形称为全等三角形,全等三角形是相似三角形的特例.请思考:全等的两个三角形一定相似吗?相似的两个三角形会全等吗?全等符号与相似符号之间有什么联系与区别? ②[讲授效果反思] 本节重点是平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似,应用此判定可以求三角形的边长或线段长.注意在求相似比时要注意相似比是有顺序性的,三角形甲与乙的相似比和三角形乙与甲的相似比互为倒数.用相似符号表示两个三角形相似时特别要注意对应顶点写在对应的位置上. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $