第7讲 成比例线段 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第7讲 成比例线段 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解比例的基本性质，会进行比例式与等积式互化 · · 掌握合比性质与等比性质，会用设k法求值 · · 理解成比例线段与比例中项的概念 · · 掌握黄金分割的定义与黄金比的计算 · · 掌握平行线分线段成比例定理并会应用 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的基本性质 若=，则ad=bc（内项积等于外项积） 合比性质：若=，则= 等比性质：若==...=，且b+d+...+n≠0，则= 连比问题要把公共量化成相同份数 概念辨析例题：已知==，且a+b+c=66，求a、b、c 解析：设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，9k=66 ☆ 2.成比例线段与比例中项 四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d，则成比例线段 线段的比要统一单位 若c是a、b的比例中项，则c2=ab 比例尺问题中面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：c是a、b的比例中项，a=8cm，b=2cm，求c 解析：c2=ab=16，c=4（线段为正舍去负值） ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若= 则称AB被C黄金分割，AC=·AB≈0.618AB 较长段是全长的倍 注意黄金分割点有两个（较长段和较段两种情况） 概念辨析例题：点C是AB的黄金分割点（AC>BC），AB=2，求AC 解析：AC=×2=-1 ☆ 4.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 AB∥CD∥EF，则= 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 求比例时常作平行线辅助线 概念辨析例题：AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，求BF 解析：CE=3，==，DF=，BF=1.5+ 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 比例基本性质 =⇒ad=bc 互化方向 合比性质 = 分母不变 等比性质 = 分母和≠0 比例中项 c2=ab 线段取正值 黄金分割 较长段=×全长 约0.618 平行线分线段 = 对应线段 设k法 连比设k代入 求k后回代 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例的性质（第1-13题） · · 比例式化等积式：内项积等于外项积 · · 连比问题用设k法 · · 等比性质注意分母和不为0 · · 连比先把公共量化成相同份数 1．（2026春•杨浦区校级期中）如果x、y都不为零，且5x＝6y，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•淄川区期末）如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 3．（2026春•青浦区校级月考）已知a：b＝4：9，且a＞3，则下列说法正确的是（　　） A．a＝4，b＝9 B．（a﹣2）：（b﹣3）＝1：3 C．3a：2b＝2：3 D．（a+4）：（b+4）＝4：9 4．（2025秋•城关区校级期末）若，则的值是（　　） A．﹣9 B．3 C．6 D．9 5．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 6．（2025秋•温江区期末）已知，那么的值是___________________ ． 7．（2026•深圳）已知，则的值为_____ ． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ _______ ． 9．（2025秋•城关区校级期末）若，那么__________________ ． 10．（2025秋•博兴县期末）若，则__________________ ． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 12．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 13．（2026春•静安区校级期中）已知a：b＝2：3，c：b＝4：5，求a：b：c． 【考点2】比例线段（第14-21题） · · 成比例线段按顺序a：b=c：d列比例式 · · 比例中项满足c2=ab · · 判断四线段是否成比例看最大最小积 · · 比例尺面积比等于相似比平方 14．（2025秋•柘城县期末）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则d可能是（　　） A． B．5cm C．9cm D．12cm 15．（2023秋•城阳区期中）若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　） A．1cm B．3cm C．9cm D．12cm 16．（2025秋•东台市期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（　　） A．4cm B．8cm C．2cm D．16cm 17．（2025秋•浦北县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 18．（2023•秦都区校级开学）在一幅比例尺为1：200的地图上，一块圆形菜地的面积是25cm2，这块菜地的实际面积是 ________ m2． 19．（2025秋•鄞州区月考）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 _______________ ． 20．（2025春•让胡路区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c＝12． （1）求a，b，c的值； （2）判断△ABC的形状，并写出推理过程． 21．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3． （1）求AC的长度； （2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度． 【考点3】黄金分割（第22-27题） · · 较长段=×全长 · · 较短段=全长-较长段 · · 注意黄金分割点有两个 · · 结果保留根号形式 22．（2026•合肥模拟）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若BC＝100cm，则AC长为（　　）cm． A．150﹣50 B．100100 C．25125 D．50150 23．（2025秋•兴宁市期末）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝（　　） A． B． C． D．或 24．（2026•南山区校级二模）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是____________________ ． 25．（2026•灞桥区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为____________________ 分米（结果保留根号）． 26．（2023春•海淀区校级期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（图1）．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在宽MN为2的矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图3，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处，此时，AB＝_______________ ，CD＝_________________ ． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）就是黄金矩形．原因是 ____________________ ． 27．如图1，线段AB＝1，C是AB上一点，且AC＞BC，若点C的位置满足（即AC2＝BC•AB），则把点C叫作线段AB的黄金分割点，把比值k叫作黄金分割数． （1）设AC＝x，BC＝1﹣x，试求x的值，并求出黄金分割数k． （2）如图2，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝2BD，以点D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【考点4】平行线分线段成比例（第28-39题） · · 三条平行线截两直线对应线段成比例 · · 找准对应线段列比例式 · · 三角形中作平行线辅助线 · · 中间过渡比传递比例关系 28．（2026•东兴区校级三模）如图，直线AB∥CD∥EF，直线BE与AF相交于点G，若GD＝2，DF＝7，且，则AG的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 29．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 30．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 31．（2025秋•南京期末）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　） A． B． C． D．7 32．（2025•江岸区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝6，DF＝9，那么下列结论正确的是（　　） A．BC：EF＝1：1 B．BC：AB＝1：2 C．AD：CF＝2：3 D．BE：CF＝2：3 33．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝_______ ． 34．（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝2CD，CF＝2BF，则的值为__________________ ． 35．（2026•淄博模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是_____ ． 36．（2026•海淀区校级二模）如图，BD＝CD，AE：DE＝1：2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长＝_______ cm． 37．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 38．（2025秋•六盘水期中）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果EF：DE＝5：3，AB＝4，求AC的长． （2）如果AB＝6，BC＝8，DF＝12，求EF的长． 39．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•莱州市期中）已知2a＝3b，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【练习 3】（2026春•芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为___________________ ． 【练习 4】（2026•成都模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC，DF∥AB，，则的值为__________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · · 比例基本性质：内项积等于外项积，是变形的根本 · · 见到连比就设k，把各量用k表示再代入 · · 比例中项c2=ab，线段取正根 · · 黄金分割较长段是全长的倍，记牢0.618 · · 平行线分线段成比例关键是找准对应线段，必要时作平行线辅助 【作业 1】（2025春•淄川区期末）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【作业 2】（2026秋•西安校级月考）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【作业 3】（2026•盘锦三模）如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，AF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD＝6，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【作业 5】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是_______ ． 【作业 6】（2025秋•龙泉驿区期末）如图，乐器上的一根弦AB的长度为80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为____________________ cm． 【作业 7】（2026•碑林区校级二模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为4cm，则BC的长为____________________ cm． 【作业 8】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【作业 9】（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【作业 10】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 成比例线段 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解比例的基本性质，会进行比例式与等积式互化 · · 掌握合比性质与等比性质，会用设k法求值 · · 理解成比例线段与比例中项的概念 · · 掌握黄金分割的定义与黄金比的计算 · · 掌握平行线分线段成比例定理并会应用 📚 知识梳理 ☆ 1.比例的基本性质 若=，则ad=bc（内项积等于外项积） 合比性质：若=，则= 等比性质：若==...=，且b+d+...+n≠0，则= 连比问题要把公共量化成相同份数 概念辨析例题：已知==，且a+b+c=66，求a、b、c 解析：设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，9k=66 ☆ 2.成比例线段与比例中项 四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d，则成比例线段 线段的比要统一单位 若c是a、b的比例中项，则c2=ab 比例尺问题中面积比等于相似比的平方 概念辨析例题：c是a、b的比例中项，a=8cm，b=2cm，求c 解析：c2=ab=16，c=4（线段为正舍去负值） ☆ 3.黄金分割 点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若= 则称AB被C黄金分割，AC=·AB≈0.618AB 较长段是全长的倍 注意黄金分割点有两个（较长段和较段两种情况） 概念辨析例题：点C是AB的黄金分割点（AC>BC），AB=2，求AC 解析：AC=×2=-1 ☆ 4.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 AB∥CD∥EF，则= 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 求比例时常作平行线辅助线 概念辨析例题：AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，求BF 解析：CE=3，==，DF=，BF=1.5+ 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 比例基本性质 =⇒ad=bc 互化方向 合比性质 = 分母不变 等比性质 = 分母和≠0 比例中项 c2=ab 线段取正值 黄金分割 较长段=×全长 约0.618 平行线分线段 = 对应线段 设k法 连比设k代入 求k后回代 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例的性质（第1-13题） · · 比例式化等积式：内项积等于外项积 · · 连比问题用设k法 · · 等比性质注意分母和不为0 · · 连比先把公共量化成相同份数 1．（2026春•杨浦区校级期中）如果x、y都不为零，且5x＝6y，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的内项积等于外项积将乘积式转化为比例式即可． 【解答】解：∵x，y都不为零，且5x＝6y， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的内项积等于外项积是解题的关键． 2．（2026春•淄川区期末）如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 【分析】根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【解答】解：如果（其中b＞0，d＞0），根据比例的基本性质对选项进行逐一判断如下： A，如果，那么，选项A式子正确，不符合题意； B，如果，那么，选项B式子正确，不符合题意； C，对于，d（a+c）＝c（b+d），即ad+cd＝bc+cd，ad＝bc，由，可得ad＝bc，则选项C式子正确，不符合题意； D，例如，当a＝1，b＝2，c＝2，d＝4时，， 但是，，，所以选项D式子不一定正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 3．（2026春•青浦区校级月考）已知a：b＝4：9，且a＞3，则下列说法正确的是（　　） A．a＝4，b＝9 B．（a﹣2）：（b﹣3）＝1：3 C．3a：2b＝2：3 D．（a+4）：（b+4）＝4：9 【分析】利用设参法进行判断即可． 【解答】解：∵a：b＝4：9，且a＞3， ∴设a＝4k，b＝9k，则4k＞3，即， ∴3a：2b＝12k：18k＝2：3． 故选：C． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 4．（2025秋•城关区校级期末）若，则的值是（　　） A．﹣9 B．3 C．6 D．9 【分析】设，根据比例的性质得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，然后把分别分别代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可． 【解答】解：设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k． 所以． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 5．（2026春•上海校级月考）如果a+b+c＝108，且a：b：c＝3：4：5，则a+c的值是（　　） A．72 B．36 C．18 D．9 【分析】根据a、b、c三个数的和以及这三个数的比例可求出a、c的值，进而可得a+c的值． 【解答】解：∵， ∴a+c＝27+45＝72． 故选：A． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握此知识点是解题的关键． 6．（2025秋•温江区期末）已知，那么的值是　　 ． 【分析】利用比例关系设参数表示a、b、c，再代入表达式计算即可． 【解答】解：设，则a＝3k，b＝5k，c＝7k． ∴， 那么的值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例的性质，关键是比例性质的熟练掌握． 7．（2026•深圳）已知，则的值为　3　 ． 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 8．（2026•武威二模）已知，若a+c＝5，且b+d≠0，则b+d＝ 　15　 ． 【分析】先根据等比性质得到，然后根据内项之积等于外项之积计算b+d的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵a+c＝5， ∴b+d＝3（a+c）＝3×5＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 9．（2025秋•城关区校级期末）若，那么　　 ． 【分析】利用比例的性质计算即可． 【解答】解：由条件可知， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质．熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025秋•博兴县期末）若，则　　 ． 【分析】设，得a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入进行计算即可． 【解答】解：若， 设，得a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，正确进行计算是解题关键． 11．（2026春•浦东新区校级期中）若，且满足a+b+c＝66，求a、b、c的值． 【分析】设k，则根据比例的性质得到a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k，再用k分别表示a、b、c，接着把它们分别代入a+b+c＝66得到3k+1+4k+2+5k+3＝66，解关于k的方程，从而可求出a、b、c的值． 【解答】解：设k，则a﹣1＝3k，b﹣2＝4k，c﹣3＝5k， ∴a＝3k+1，b＝4k+2，c＝5k+3， ∵a+b+c＝66， ∴3k+1+4k+2+5k+3＝66， 解得k＝5， ∴a＝3×5+1＝16，b＝4×5+2＝22，c＝5×5+3＝28． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 12．（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 【分析】讨论：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质得到k，再化简分式得到k；当a+b+c+d＝0，则b+c+d＝﹣a，所以k，约分得到k＝﹣2． 【解答】解：当a+b+c+d≠0时， ∵k， ∴k， 即k， ∴k； 当a+b+c+d＝0， ∴b+c+d＝﹣a， ∴k， 解得k＝﹣2， 综上所述，k的值为或﹣2． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 13．（2026春•静安区校级期中）已知a：b＝2：3，c：b＝4：5，求a：b：c． 【分析】根据比的基本性质，先把两式中b的份数化为相同的数，即求两个b的份数的最小公倍数，再把a、b、c写成连比的形式． 【解答】解：∵a：b＝2：3，c：b＝4：5， ∴a：b＝2：3＝（2×5）：（3×5）＝10：15，b：c＝5：4＝（5×3）：（4×3）＝15：12， ∴a：b：c＝10：15：12． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键． 【考点2】比例线段（第14-21题） · · 成比例线段按顺序a：b=c：d列比例式 · · 比例中项满足c2=ab · · 判断四线段是否成比例看最大最小积 · · 比例尺面积比等于相似比平方 14．（2025秋•柘城县期末）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则d可能是（　　） A． B．5cm C．9cm D．12cm 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm， ∴d＝9cm； 故选：C． 【点评】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 15．（2023秋•城阳区期中）若四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　） A．1cm B．3cm C．9cm D．12cm 【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm代入进行计算即可． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 而a＝2cm，b＝4cm，d＝6cm， ∴c3（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例． 16．（2025秋•东台市期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（　　） A．4cm B．8cm C．2cm D．16cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解答】解：线段a＝8cm，b＝2cm，线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去）， ∴线段c＝4cm． 故选：A． 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 17．（2025秋•浦北县期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【分析】根据比例线段的定义进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为，， 所以， 故A选项不符合题意； 因为，， 所以， 故B选项不符合题意； 因为，， 所以， 故C选项符合题意； 因为，， 所以， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 18．（2023•秦都区校级开学）在一幅比例尺为1：200的地图上，一块圆形菜地的面积是25cm2，这块菜地的实际面积是 　100　 m2． 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：设这个地区的实际面积是xm2， ∵25cm2＝0.0025m2， ∴（）2， ∴x＝100m2． 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方． 19．（2025秋•鄞州区月考）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 　　 ． 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【解答】解：设a，b的比例中项线段为x， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例线段，正确列出算式是解题关键． 20．（2025春•让胡路区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，a+b+c＝12． （1）求a，b，c的值； （2）判断△ABC的形状，并写出推理过程． 【分析】（1）设k，表示a、b、c的长，代入a+b+c＝12中，计算k的值，可得a，b，c的值； （2）根据勾股定理的逆定理可得结论． 【解答】解：（1）设k，则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8， ∵a+b+c＝12， ∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12， ∴k＝3， ∴a＝5，b＝3，c＝4． （2）△ABC是直角三角形，理由是： 由（1）知a＝5，b＝3，c＝4， ∵c2+b2＝42+32＝25＝a2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理，设参数表示三边的长是关键，熟练掌握勾股定理的逆定理． 21．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3． （1）求AC的长度； （2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度． 【分析】（1）根据AB＝30cm，AC：BC＝2：3，即可求出AC的长度； （2）根据线段的和与差得BC＝18cm，PB＝28cm，再根据线段中点的定义得BDBC＝9cm，QBPB＝14cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB＝30cm，AC：BC＝2：3． ∴AC＝3012（cm）； （2）如图， ∵AC＝12cm， ∴BC＝30﹣12＝18cm， ∵PA＝2cm， ∴PB＝28cm， ∵点D、Q分别为BC、BP的中点， ∴BDBC＝9cm，QBPB＝14cm， ∴QD＝QB﹣BD＝14﹣9＝5（cm）． 【点评】本题考查了比例线段，两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 【考点3】黄金分割（第22-27题） · · 较长段=×全长 · · 较短段=全长-较长段 · · 注意黄金分割点有两个 · · 结果保留根号形式 22．（2026•合肥模拟）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若BC＝100cm，则AC长为（　　）cm． A．150﹣50 B．100100 C．25125 D．50150 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），BC＝100cm， ∴， ∴AB＝（5050）cm， ∴AC＝AB+BC＝100+5050＝（150+50）cm， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2025秋•兴宁市期末）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段分情况讨论如下： 当AC是较长线段时，， ∵AB＝2， ∴， 当AC是较短线段时，， ∵AB＝2， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段． 24．（2026•南山区校级二模）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是　　 ． 【分析】根据黄金比例的计算方法列式求解即可． 【解答】解：∵点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），AC＝80cm， ∴BCAC80＝（4040）cm， ∴AB＝AC﹣BC＝80﹣（4040）＝（120﹣40）cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（2026•灞桥区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为3分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为　　 分米（结果保留根号）． 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xdm，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xdm，则： ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答关键． 26．（2023春•海淀区校级期中）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（图1）．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在宽MN为2的矩形纸片的一端，利用图2的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图3，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处，此时，AB＝　　 ，CD＝　　 ． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图5）就是黄金矩形．原因是 　　 ． 【分析】如图4所示，先求出AC＝1，再利用勾股定理求出AB，由折叠的相等得到AD＝AB，则CD，进一步求出即可得到结论． 【解答】解：如图4所示，∵MN＝2， ∴ACMN＝1，BC＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB， 由折叠可知AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC， 如图5所示，∵DE＝BC＝MN＝2， ∴， ∴矩形BCDE为黄金矩形． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了黄金分割、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．如图1，线段AB＝1，C是AB上一点，且AC＞BC，若点C的位置满足（即AC2＝BC•AB），则把点C叫作线段AB的黄金分割点，把比值k叫作黄金分割数． （1）设AC＝x，BC＝1﹣x，试求x的值，并求出黄金分割数k． （2）如图2，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝2BD，以点D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （2）利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】（1）解：∵AC2＝BC•AB， ∴x2＝（1﹣x）•1， 整理得：x2+x﹣1＝0， 解得：x1，x2（舍去）， ∴k， 即x，k； （2）证明：设BD＝DE＝x， ∵AB＝2BD， ∴AB＝2x， 在Rt△ABD中，ADx， ∴AE＝AC＝AD﹣DE＝（1）x， ∴， ∴点C是线段AB的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割，解一元二次方程﹣公式法，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点4】平行线分线段成比例（第28-39题） · · 三条平行线截两直线对应线段成比例 · · 找准对应线段列比例式 · · 三角形中作平行线辅助线 · · 中间过渡比传递比例关系 28．（2026•东兴区校级三模）如图，直线AB∥CD∥EF，直线BE与AF相交于点G，若GD＝2，DF＝7，且，则AG的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，依此构建关于AG的方程求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，GD＝2，DF＝7，且， ∴， 即， ∴， 解得． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 29．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（　　） A．12 B．6 C．18 D．16 【分析】由DF：DC＝1：3得DF：FC＝1：2，根据AD∥EF∥BC可得，然后代入数据计算即可． 【解答】解：∵DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2， ∵在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC． ∴，则， ∴BE＝12． 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 30．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可． 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 31．（2025秋•南京期末）如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么BF的长为（　　） A． B． C． D．7 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 32．（2025•江岸区校级模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝6，DF＝9，那么下列结论正确的是（　　） A．BC：EF＝1：1 B．BC：AB＝1：2 C．AD：CF＝2：3 D．BE：CF＝2：3 【分析】由平行线分线段成比例定理得出，由比例的性质得出，即可得出结论． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴BC：AB＝1：2； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键． 33．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝　14　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵AD：DF＝3：2， ∴， ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AF＝AD+DF ∴， ∵BC＝21， ∴， ∴BE＝35， ∴如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝BE﹣BC＝35﹣21＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键 34．（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝2CD，CF＝2BF，则的值为　　 ． 【分析】过点D作BC的平行线，交AF于点E，设BF＝3a，由平行可判定△ADE∽△ACF，则，计算得DE＝4a，同理△DEP∽△BFP，因此． 【解答】解：如图，过点D作BC的平行线，交AF于点E，设BF＝3a， 由条件可知，CF＝6a， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACF， ∴， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DEP∽△BFP， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键． 35．（2026•淄博模拟）如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是　9　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例的性质求AC的长． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，EF＝8， ∴，即， ∴AC＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 36．（2026•海淀区校级二模）如图，BD＝CD，AE：DE＝1：2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长＝　20　 cm． 【分析】过D作BF的平行线交AC于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：如图，过点D作DG∥BF，交AC于G， ∵BD＝CD，DG∥BF， ∴1， ∴CG＝GF， ∵DG∥BF， ∴AF：FG＝AE：ED＝1：2， ∵AF＝4cm， ∴FG＝2AF＝CG＝8（cm）， ∴AC＝4+8+8＝20（cm）． 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解题关键． 37．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出AB即可． 【解答】解：（1）∵EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8， ∴， ∴， ∴； （2）∵DE∥BC，，AE＝8， ∴， ∵AD＝10， ∴， 解得：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 38．（2025秋•六盘水期中）如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3． （1）如果EF：DE＝5：3，AB＝4，求AC的长． （2）如果AB＝6，BC＝8，DF＝12，求EF的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得BC的长，进一步可求得AC的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得EF的长． 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，EF：DE＝5：3，AB＝4， ∴， ∴， ∴BC， ∴AC＝AB+BC； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝12， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 39．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N． （1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值； （2）若点D是BC上任意一点，试证明：． 【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值； （2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得 【解答】（1）解：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∵点D为BC中点， ∴点E是AB中点，且， ∴； （2）证明：如图，过点D作DE∥PM交AB于E， ∴， 又∵PM∥AC， ∴DE∥AC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•莱州市期中）已知2a＝3b，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵， ∴3a＝2b，故不符合题意； B、∵， ∴3a﹣3b＝b， ∴3a＝4b，故不符合题意； C、∵， ∴2a+2b＝5b， ∴2a＝3b，故符合题意； D、∵， ∴5a+10＝4b+8， ∴5a＝4b﹣2，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•虹口区期末）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【分析】根据比例线段的定义，进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为1×4≠2×3， 所以A选项不符合题意； 因为2×5≠3×4， 所以B选项不符合题意； 因为1×5≠2×3， 所以C选项不符合题意； 因为2×6＝3×4， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 【练习 3】（2026春•芝罘区期中）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵EG∥AC， ∴． ∵DF＝5，EF＝2， ∴． ∵AD＝AB， ∴． ∵GE∥AC， ∴． 又∵BC＝8， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 【练习 4】（2026•成都模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC，DF∥AB，，则的值为　　 ． 【分析】根据两直线平行线得到∠A度数，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠2度数． 【解答】解：∵点D，E，F分别在△ABC的三边上，DE∥AC，， ∴， ∵DF∥AB， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 比例基本性质：内项积等于外项积，是变形的根本 · · 见到连比就设k，把各量用k表示再代入 · · 比例中项c2=ab，线段取正根 · · 黄金分割较长段是全长的倍，记牢0.618 · · 平行线分线段成比例关键是找准对应线段，必要时作平行线辅助 【作业 1】（2025春•淄川区期末）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【分析】可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 【解答】解：A、1，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； B、3×4＝6×2，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； C、4×10≠6×5，故本选项的四条线段，不是成比例线段，符合题意； D、22，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题重点考查两条线段的比、成比例线段等知识，将四条线段从小到大排列，再求出前面两条线段的比及后面两条线段的比，看这两个比是否相等，即可判断这四条线段是否成比例． 【作业 2】（2026秋•西安校级月考）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【分析】根据比例线段相关知识运算即可． 【解答】解：由题意得，，． ∵b+d+f＝3， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2026•盘锦三模）如图，AB∥CD∥EF，若AD＝3，AF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知可求DF＝5，再根据AB∥CD∥EF，可得． 【解答】解：∵AD＝3，AF＝8， ∴DF＝5， ∵AB∥CD∥EF， ∴，C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD＝6，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴， ∵，CD＝6， ∴， ∴AC＝10 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【作业 5】（2026春•闵行区校级期末）一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24，则这个三角形中最长的一条边长是　10　 ． 【分析】根据三边长度比确定最长边对应的份数，计算总份数后，按比例分配即可求出最长边长度． 【解答】解：由条件可知：总份数为3+4+5＝12，最长边占周长的5 12， ∴最长边长度为． 故答案为：10． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2025秋•龙泉驿区期末）如图，乐器上的一根弦AB的长度为80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为　（4040）　 cm． 【分析】直接由黄金比值列式计算即可． 【解答】解：∵点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB的长度为80cm， ∴AC（4040）cm． 故答案为：（4040）． 【点评】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键． 【作业 7】（2026•碑林区校级二模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的黄金分割点（AB＞BC），若横画AC的长为4cm，则BC的长为　　 cm． 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段是全长的倍，较短线段等于全长减去较长线段，据此计算即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义可知， ∵AC＝4cm， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业 9】（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【分析】（1）由a∥b∥c得到，然后代数求解； （2）由a∥b∥c得到，然后结合得到，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F，AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴，即， ∴； （2）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 【分析】（1）由EF∥BD即可得到，即可求证； （2）由平行四边形得到BC∥AD，则． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，EF∥BD， ∴， ∴HF•AG＝GE•AH； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键要明确：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $