第6讲 一元二次方程应用 优等生讲义 （8类必考题型梳理）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第6讲 一元二次方程应用 优等生讲义 （8类必考题型梳理）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤 · · 会解决传播问题、单循环与双循环计数问题 · · 会列方程解决平均增长率与下降率问题 · · 会用一元二次方程解决商品销售利润问题 · · 会解决图形面积与动点几何问题 📚 知识梳理 ☆ 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 审：审题，找出已知量、未知量和等量关系 设：设未知数，可直接设元也可间接设元 列：根据等量关系列出一元二次方程 解：解方程并检验根是否符合实际意义 概念辨析例题：一个两位数等于它个位数字的平方，且个位比十位大3，求这个两位数 解析：设个位为x，则十位为x-3，列方程10(x-3)+x=x2，解得x=5或6 ☆ 2.传播与循环计数问题 传播问题：经过两轮后共有1+x+x(1+x)=(1+x)2人 单循环：n个人每两人碰一次杯，共次 双循环：n个队主客场各赛一场，共n(n-1)场 互赠礼物与双循环相同，共x(x-1)份 概念辨析例题：1人患流感，经过两轮传染后共25人患病，求每轮平均传染人数 解析：(1+x)2=25，解得x=4（x=-6舍去） ☆ 3.平均变化率与利润问题 增长率：a(1+x)2=b（连续两次增长） 下降率：a(1-x)2=b（连续两次降价） 总利润=每件利润×销售量 售价每涨1元销量减少，需据题意列方程 概念辨析例题：某商品原价80吨，经过两年增长到100吨，求年平均增长率x 解析：80(1+x)2=100，(1+x)2=1.25，x=0.25 ☆ 4.图形面积与动态几何问题 面积问题：用含x的代数式表示长和宽，再列面积方程 靠墙问题注意墙长限制，解要符合实际范围 动点问题：用t表示各线段长度，再据等量关系列方程 等腰三角形、距离问题常需分类讨论 概念辨析例题：靠墙围矩形花圃，篱笆长80m，垂直墙边长xm，求面积为750m2时x的值 解析：S=x(80-2x)=750，解得x=15或25，结合墙长限制取x=25 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 列方程步骤 审→设→列→解→验 检验实际意义 传播问题 (1+x)2=总人数 x为正舍去负根 单循环 =次数 除以2 双循环 n(n-1)=场数 不除2 增长率 a(1+x)2=b 下降率用(1-x) 利润问题 总利润=单件利润×销量 注意售价范围 面积动点 用x表示边长再列方程 分类讨论验范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字问题（第1-4题） · · 两位数=10×十位数字+个位数字 · · 设个位或十位为x，用x表示另一数字 · · 月历中上下行相差7，左右列相差1 · · 解出后要检验是否符合数字范围 1．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 2．（2025秋•温江区校级期末）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4＝0的一个实根小于2，一个实根大于3，则实数a的取值范围是__________ ． 3．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 4．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【考点2】传播问题（第5-8题） · · 第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人 · · 两轮后总人数为(1+x)2 · · 第三轮在第二轮基础上继续乘(1+x) · · 成功率不同时分别列方程 5．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 6．（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有________ 个人患流感． 7．（2025秋•新安县期中）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 _____ ． 8．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【考点3】单循环问题（第9-14题） · · 每两人只算一次，总场数= · · 碰杯、握手、单循环比赛都用此公式 · · 解方程后负根舍去 · · 看清是单循环还是双循环 9．（2025秋•遂宁校级月考）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（　　） A．x（ x﹣1）＝36 B．x（ x+1）＝36 C．x（ x﹣1）＝36 D．x（ x+1）＝36 10．（2025秋•开州区期末）近年来NYBO青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排21场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（2024秋•河北区期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 _____ ． 12．（2024秋•越秀区校级月考）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，设参赛的队伍有x支，则可列方程 ____________________ ． 13．（2024•开平市模拟）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 14．（2026秋•单元）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，这次到会的人数是多少？ 【考点4】双循环问题（第15-20题） · · 每两队赛两场，总场数=n(n-1) · · 互赠礼物、主客场比赛用此公式 · · 每人送出(x-1)份，共x(x-1)份 · · 积分问题另列一次方程 15．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 16．（2025秋•榆树市校级期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送出3306张相片．如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝3306 B．x（x+1）＝3306 C．2x（x+1）＝3306 D． 17．（2024秋•鲤城区校级期中）书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有 _____ 人． 18．（2024春•同步）（1）3名同学互赠礼物，每名同学送出 _____ 份礼物，共送出礼物 _____ 份； （2）4名同学互赠礼物，每名同学送出 _____ 份礼物，共送出礼物 _______ 份； （3）x名同学互赠礼物，每名同学送出 __________ 份礼物，共送出礼物 ___________ 份； （4）若干名同学互赠礼物，共送出礼物132份，则有 _______ 名同学． 19．（2024秋•同步）（1）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一场，结果共进行了45场比赛，问这个学校八年级共有几个班级？ （2）八年级某班一个小组同学在春节期间互寄贺卡，每人向小组里的其他同学寄一张贺卡全组互寄的贺卡共计90张，问该小组有多少人？ 20．英格兰足球超级联赛（PremierLeague），简称“英超”，是英格兰足球总会属下的最高等级职业足球联赛，英超联赛一直以来被认为是世界上最好的联赛之一，节奏快、竞争激烈、强队众多，是全世界商业运作最成功的联赛与收入最高的足球联赛．英超联赛采取主客场双循环赛制比赛，每支队伍与各球队对赛两次，主客各一次，一个赛季总共有380场比赛． （1）英超有多少支球队？ （2）英超一轮有10场比赛，则一个赛季英超有多少轮比赛？ （3）积分规则为：胜者积3分，负者积0分，平局两队各积1分，若本赛季，英超冠军共获得96个积分，平场数是负场数的3倍，则该队胜平负各有几场？ 【考点5】增长率问题（第21-28题） · · 增长用a(1+x)2=b · · 下降用a(1-x)2=b · · 几个月总量要逐月相加 · · 增长率写成百分数，负根舍去 21．（2026•隆林县校级模拟）某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100 22．（2025秋•南开区校级期末）某农场每个月都会收获一批南瓜，随着天气转暖，产量逐月增加，4月份的产量是3000kg，第二季度的总产量是12000kg，若设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程（　　） A．3000+3000（1+x）＝12000 B．3000+3000（1+x）2＝12000 C．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 D．3000x＝12000 23．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 __________________ ． 24．（2023秋•锦江区校级期末）某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为169吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ________ ． 25．（2024秋•锡山区期中）华庄街道为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年8月份改造绿化面积为400m2，到了今年10月份增加到900m2，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为 ________ ． 26．（2026秋•单元）某养鱼户经营池塘养鱼已3年，第一年春季放养鱼苗20000尾，成活率约为70%，秋季捕捞前随意捞出10尾鱼，称得质量如下（单位：kg）：0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、0.9、1.1、1.0、1.2、0.8． （1）根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是多少kg； （2）第一年秋季把这池塘中的鱼全部捞出卖掉，售价为4元/kg．除去当年投资成本16000元，求第一年的纯收入； （3）该养鱼户每年春季放养鱼苗，秋季捕捞后全部卖出，已知这3年的纯收入为132400元，求第二年与第三年纯收入的平均年增长率． 27．（2025春•崇明区校级期中）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，生产B型起重机若干台，从五月份起，A型起重机产量的月增长率相同，而B型起重机每月增加3台，已知五月份A型起重机产量是B型起重机产量的2倍，六月份A、B两型起重机共生产54台，求四月份生产B型起重机的台数及从五月份起的A型起重机产量的月增长率． 28．（2025秋•前郭县月考）为了解决初中生画图慢和画图不准确的问题，某企业设计生产了A、B两款初中生专用画图套尺并投入市场销售．4月共销售了5万套，6月共销售了7.2万套．求该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率． 【考点6】商品销售问题（第29-33题） · · 总利润=每件利润×销售量 · · 售价变化时用x表示售价和销量 · · 先求成本和销量函数 · · 最值问题结合二次函数顶点 29．（2026•兖州区二模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：y＝﹣10x+1200． （1）求一盒果篮的成本（成本＝进价+包装费）； （2）若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 30．（2026春•高新区校级期末）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 31．（2026春•新余校级同步）春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 32．（2026春•定海区期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”“国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售 ____________ 件，每件盈利 _______________ 元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 33．（2025秋•东台市期末）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）若该商场这种商品售价不大于95元/件时，每销售一件商品便向慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 【考点7】图形面积问题（第34-39题） · · 用x表示各边长，再列面积方程 · · 靠墙问题注意墙长限制取值范围 · · 剪角折盒底面长和宽都要减2x · · 判断能否围成看判别式符号 34．（2025秋•湄潭县期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 35．（2025秋•东台市期末）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒． 【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？________ （填序号） 【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm， （Ⅰ）这个纸盒的底面积是 _______ cm2，高是 ____________________ cm（用含a、x的代数式表示）． （Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 _______ cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 36．（2025秋•郑州校级月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长72m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚ABCD的面积为285m2，试求出自行车车棚的长BC和宽AB； （2）请问能围成面积为450m2的矩形车棚ABCD吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 37．（2025秋•怀宁县月考）用19m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF＝0.5m（铝合金条的宽度忽略不计）． （1）求窗框的透光面积S（m2）与窗框的宽x（m）之间的函数关系式． （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ （3）当窗框的透光面积不小于10m2时，直接写出x的取值范围． 38．（2025秋•南开区校级月考）如图①，要利用一面墙（墙长为18m）建羊圈，用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为xm，总面积为ym2． （1）如果要围成总面积为63m2的羊围，AB的长是多少？ （2）如果两个矩形羊圈各开一个宽1m的门（如图②），在不浪费围栏的情况下，y与x之间的函数解析式为y＝_____________ ，x的取值范围是____________________ ． （3）在（2）的基础上，求y的最大值． 39．（2025•南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【考点8】动态几何问题（第40-43题） · · 用t表示各动点走过的路程 · · 据线段相等或面积关系列方程 · · 等腰三角形要分类讨论三种情况 · · 勾股定理列距离方程，注意t的范围 40．（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 41．（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 42．（2025秋•安丘市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 43．（2025春•崇川区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · · 列方程解应用题关键是找等量关系，设好未知数 · · 传播问题记(1+x)2，单循环除以2，双循环不除2 · · 增长率用a(1+x)2=b，下降率把加号换成减号 · · 利润问题抓住总利润=单件利润×销量 · · 几何动点用t表示线段，解出后必须检验是否符合实际范围 【作业 1】（2025秋•晋江市校级期中）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 【作业 2】（2025•宜城市模拟）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 【作业 3】（2025秋•闽清县期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+2x）＝363 C．300（1﹣x）2＝363 D．300（1﹣2x）＝363 【作业 4】（2025•广东模拟）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 【作业 5】（2025秋•泗县校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，则x等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业 6】（2025秋•张湾区期中）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为126m2，则小路的宽度为_____ m． 【作业 7】（2024秋•太平区期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 _____ ． 【作业 8】（2024秋•邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为________ ． 【作业 9】（2025秋•龙岗区校级月考）已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m+n+2025的值为_________ ． 【作业 10】（2024秋•延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 __________________ ． 【作业 11】某市要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环模式（即每两个球队之间比赛两次），赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？ 【作业 12】（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【作业 13】（2026•凉州区一模）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克． （1）该商品的进价是多少？ （2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500．若想销售该商品每天获利2210元，该商店需将商品的售价定为多少？ 【作业 14】（2025秋•旌阳区校级期末）2025年“秋假”期间迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去_______ 个房间．此时，利润为__________ 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 【作业 15】（2025秋•白云区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m． （1）若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 【作业 16】（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 一元二次方程应用 优等生讲义 （8类必考题型梳理）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤 · · 会解决传播问题、单循环与双循环计数问题 · · 会列方程解决平均增长率与下降率问题 · · 会用一元二次方程解决商品销售利润问题 · · 会解决图形面积与动点几何问题 📚 知识梳理 ☆ 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 审：审题，找出已知量、未知量和等量关系 设：设未知数，可直接设元也可间接设元 列：根据等量关系列出一元二次方程 解：解方程并检验根是否符合实际意义 概念辨析例题：一个两位数等于它个位数字的平方，且个位比十位大3，求这个两位数 解析：设个位为x，则十位为x-3，列方程10(x-3)+x=x2，解得x=5或6 ☆ 2.传播与循环计数问题 传播问题：经过两轮后共有1+x+x(1+x)=(1+x)2人 单循环：n个人每两人碰一次杯，共次 双循环：n个队主客场各赛一场，共n(n-1)场 互赠礼物与双循环相同，共x(x-1)份 概念辨析例题：1人患流感，经过两轮传染后共25人患病，求每轮平均传染人数 解析：(1+x)2=25，解得x=4（x=-6舍去） ☆ 3.平均变化率与利润问题 增长率：a(1+x)2=b（连续两次增长） 下降率：a(1-x)2=b（连续两次降价） 总利润=每件利润×销售量 售价每涨1元销量减少，需据题意列方程 概念辨析例题：某商品原价80吨，经过两年增长到100吨，求年平均增长率x 解析：80(1+x)2=100，(1+x)2=1.25，x=0.25 ☆ 4.图形面积与动态几何问题 面积问题：用含x的代数式表示长和宽，再列面积方程 靠墙问题注意墙长限制，解要符合实际范围 动点问题：用t表示各线段长度，再据等量关系列方程 等腰三角形、距离问题常需分类讨论 概念辨析例题：靠墙围矩形花圃，篱笆长80m，垂直墙边长xm，求面积为750m2时x的值 解析：S=x(80-2x)=750，解得x=15或25，结合墙长限制取x=25 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 列方程步骤 审→设→列→解→验 检验实际意义 传播问题 (1+x)2=总人数 x为正舍去负根 单循环 =次数 除以2 双循环 n(n-1)=场数 不除2 增长率 a(1+x)2=b 下降率用(1-x) 利润问题 总利润=单件利润×销量 注意售价范围 面积动点 用x表示边长再列方程 分类讨论验范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字问题（第1-4题） · · 两位数=10×十位数字+个位数字 · · 设个位或十位为x，用x表示另一数字 · · 月历中上下行相差7，左右列相差1 · · 解出后要检验是否符合数字范围 1．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得： 10（x﹣3）+x＝x2， 原方程可化为：x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x﹣3＝2，两位数为25； 当x＝6时，x﹣3＝3，两位数为36； 答：这个两位数是25或36． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．（2025秋•温江区校级期末）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4＝0的一个实根小于2，一个实根大于3，则实数a的取值范围是　1＜a＜4　 ． 【分析】将方程转化为开口向上的二次函数，“一个根小于2、一个根大于3”等价于x＝2和x＝3时函数值小于0，据此分别代入函数后解不等式，再找出同时满足两个条件的a的取值范围． 【解答】解：令y＝x2﹣2ax+a2﹣4，依据二次函数的性质作图如下： ∵二次项系数为1＞0， ∴函数图像开口向上， ∵方程一个实根小于2，一个实根大于3， ∴当x＝2或3时，y＜0， 将x＝2代入得：4﹣4a+a2﹣4＜0， 解得：0＜a＜4， 将x＝3代入得：9﹣6a+a2﹣4＜0， 解得：1＜a＜5， 综上所述，实数a的取值范围是1＜a＜4， 故答案为：1＜a＜4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布，解答本题的关键是将方程转化为开口向上的二次函数，利用二次函数的性质解答． 3．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 【分析】设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9），根据圈出的六个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9）， 依题意得：x（x﹣9）＝112， 解得：x1＝16，x2＝﹣7（不合题意，舍去）， 答：这个最大的数为16， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 【考点2】传播问题（第5-8题） · · 第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人 · · 两轮后总人数为(1+x)2 · · 第三轮在第二轮基础上继续乘(1+x) · · 成功率不同时分别列方程 5．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由每轮传染中平均1人传染x人，可得出第一、二轮被传染的人数，结合经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均1人传染x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有　125　 个人患流感． 【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可． 【解答】解：（1+x）2＝25， 解得x＝4或﹣6（舍去）， 25+25×4＝125人． 故答案为：125． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键． 7．（2025秋•新安县期中）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 　9　 ． 【分析】由题意可知：第一轮传播，发给了n个人，第二轮传播，发给了n2个人，根据经过两轮传播后共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，可列出关于n的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：第一轮传播，发给了n个人，第二轮传播，发给了n2个人， ∴1+n+n2＝91， 整理得：n2+n﹣90＝0 解得：n1＝9，n2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴n的值为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【分析】（1）根据两周后将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）由三人号召人数间的关系可得出小丽号召了（n+2）人、小红号召了（15﹣2n）人，根据小红的成功率比小颖的两倍少10%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用号召的成功率100%，即可求出他们三人号召的成功率． 【解答】解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121， 整理得：（1+m）2＝121， 解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）． 答：m的值为10． （2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人， ∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人． 依题意得：100%＝2100%﹣10%， 解得：n＝4， ∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%． 答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【考点3】单循环问题（第9-14题） · · 每两人只算一次，总场数= · · 碰杯、握手、单循环比赛都用此公式 · · 解方程后负根舍去 · · 看清是单循环还是双循环 9．（2025秋•遂宁校级月考）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（　　） A．x（ x﹣1）＝36 B．x（ x+1）＝36 C．x（ x﹣1）＝36 D．x（ x+1）＝36 【分析】利用碰杯的总次数＝参加酒会的人数×（参加酒会的人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝36． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2025秋•开州区期末）近年来NYBO青少年篮球公开赛备受关注，越来越多的青少年进入各个篮球俱乐部进行训练，开州区文旅委计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排21场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】单循环赛的比赛场数公式为，其中n为俱乐部个数．设，解方程即可． 【解答】解：设应邀请俱乐部个数为n，则比赛总场数为， 依题意得：， 解得：n＝7或n＝﹣6（不合题意，舍去）， ∴应邀请的俱乐部个数为7， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．将比赛场数的实际问题转化为一元二次方程，通过解方程得到俱乐部的个数是解题的关键． 11．（2024秋•河北区期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 　9　 ． 【分析】设九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝九年级的班级数×（九年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设九年级共有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得x2﹣x﹣72＝0， 解得x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9， 所以九年级共有9个班． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2024秋•越秀区校级月考）2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，设参赛的队伍有x支，则可列方程 　x（x﹣1）＝55　 ． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝55． 故答案为：x（x﹣1）＝55． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2024•开平市模拟）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 【分析】设该校九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝该校九年级的班数×（该校九年级的班数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该校九年级共有x个班， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该校九年级共有6个班． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2026秋•单元）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，这次到会的人数是多少？ 【分析】用每人握（x﹣1）次、再除以2消去重复计数“得到总次数，等于66列方程，再由人数为正舍去负根﹣11，得x＝12． 【解答】解：设这次到会的人数为x人， 每个人都要和其余（x﹣1）个人各握一次手， x个人共握手x（x﹣1）次， 但每次握手被参与的两人各计算了一次， 所以实际握手总次数为， 由题意：， 解得：x＝12或x＝﹣11，人数不能为负数， 舍去x＝﹣11， 答：所以这次到会的人数是12人． 【点评】本题主要考查了用一元二次方程解决握手（单循环）计数问题，理解每两人握一次手对应且正确消除重复计数是解题的关键．教学中要强调：直接算x（x﹣1）会把每一次握手算两遍，必须除以2；解方程后负根要结合实际意义舍去． 【考点4】双循环问题（第15-20题） · · 每两队赛两场，总场数=n(n-1) · · 互赠礼物、主客场比赛用此公式 · · 每人送出(x-1)份，共x(x-1)份 · · 积分问题另列一次方程 15．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 16．（2025秋•榆树市校级期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送出3306张相片．如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝3306 B．x（x+1）＝3306 C．2x（x+1）＝3306 D． 【分析】由全班有x名学生，可得出每个同学需送出（x﹣1）张相片，结合全班共送出3306张相片，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵全班有x名学生， ∴每个同学需送出（x﹣1）张相片． 根据题意得：x（x﹣1）＝3306． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2024秋•鲤城区校级期中）书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有 　9　 人． 【分析】设书法兴趣小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）个月饼，根据书法兴趣小组在中秋节这一天共送出72个月饼，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设书法兴趣小组的人数为x人，则每人需送出（x﹣1）个月饼， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 即书法兴趣小组的人数为9人， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2024春•同步）（1）3名同学互赠礼物，每名同学送出 　2　 份礼物，共送出礼物 　6　 份； （2）4名同学互赠礼物，每名同学送出 　3　 份礼物，共送出礼物 　12　 份； （3）x名同学互赠礼物，每名同学送出 　（x﹣1）　 份礼物，共送出礼物 x（x﹣1）　 份； （4）若干名同学互赠礼物，共送出礼物132份，则有 　12　 名同学． 【分析】（1）利用每名同学送出礼物数量＝人数﹣1，及共送出礼物数量＝人数×每名同学送出礼物数量，即可求出结论； （2）利用每名同学送出礼物数量＝人数﹣1，及共送出礼物数量＝人数×每名同学送出礼物数量，即可求出结论； （3）利用每名同学送出礼物数量＝人数﹣1，及共送出礼物数量＝人数×每名同学送出礼物数量，即可用含x的代数式表示出各数量； （4）根据（3）的结论，结合共送出礼物132份，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）3名同学互赠礼物，每名同学送出2份礼物，共送出礼物3×2＝6（份）， 故答案为：2；6． （2）4名同学互赠礼物，每名同学送出3份礼物，共送出礼物4×3＝12（份）， 故答案为：3；12． （3）x名同学互赠礼物，每名同学送出（x﹣1）份礼物，共送出礼物x（x﹣1）份， 故答案为：（x﹣1）；x（x﹣1）． （4）依题意得：x（x﹣1）＝132， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）， ∴共有12名同学． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（2024秋•同步）（1）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一场，结果共进行了45场比赛，问这个学校八年级共有几个班级？ （2）八年级某班一个小组同学在春节期间互寄贺卡，每人向小组里的其他同学寄一张贺卡全组互寄的贺卡共计90张，问该小组有多少人？ 【分析】（1）设这个学校八年级共有x个班级，根据该校八年级共进行了45场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该小组有y人，则每人需寄出（y﹣1）张贺卡，根据该小组共互寄贺卡90张，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个学校八年级共有x个班级， 依题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：这个学校八年级共有10个班级． （2）设该小组有y人，则每人需寄出（y﹣1）张贺卡， 依题意得：y（y﹣1）＝90， 整理得：y2﹣y﹣90＝0， 解得：y1＝10，y2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：该小组有10人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．英格兰足球超级联赛（PremierLeague），简称“英超”，是英格兰足球总会属下的最高等级职业足球联赛，英超联赛一直以来被认为是世界上最好的联赛之一，节奏快、竞争激烈、强队众多，是全世界商业运作最成功的联赛与收入最高的足球联赛．英超联赛采取主客场双循环赛制比赛，每支队伍与各球队对赛两次，主客各一次，一个赛季总共有380场比赛． （1）英超有多少支球队？ （2）英超一轮有10场比赛，则一个赛季英超有多少轮比赛？ （3）积分规则为：胜者积3分，负者积0分，平局两队各积1分，若本赛季，英超冠军共获得96个积分，平场数是负场数的3倍，则该队胜平负各有几场？ 【分析】（1）设英超共有x支球队，利用比赛的总场数＝球队支数×（球队支数﹣1），可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用一个赛季英超比赛的轮数＝一个赛季比赛的总场数÷10，即可求出结论； （3）设该队负y场，则平3y场，胜（38﹣4y）场，利用积分＝3×该队获胜场数+1×该队踢平场数，可得出关于y的一元一次方程，解之即可求出y值，再将其代入3y，（38﹣4y）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设英超共有x支球队， 根据题意得：x（x﹣1）＝380， 整理得：x2﹣x﹣380＝0， 解得：x＝20． 答：英超共有20支球队； （2）380÷10＝38（轮）． 答：一个赛季英超有38轮比赛； （3）设该队负y场，则平3y场，胜2×（20﹣1）﹣y﹣3y＝（38﹣4y）场， 根据题意得：3（38﹣4y）+1×3y＝96， 解得：y＝2， ∴3y＝3×2＝6，38﹣4y＝38﹣4×2＝30． 答：该队胜30场，平6场，负2场． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【考点5】增长率问题（第21-28题） · · 增长用a(1+x)2=b · · 下降用a(1-x)2=b · · 几个月总量要逐月相加 · · 增长率写成百分数，负根舍去 21．（2026•隆林县校级模拟）某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100 【分析】利用该种植基地2021年蔬菜产量＝该种植基地2019年蔬菜产量×（1+蔬菜产量的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：80（1+x）2＝100． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（2025秋•南开区校级期末）某农场每个月都会收获一批南瓜，随着天气转暖，产量逐月增加，4月份的产量是3000kg，第二季度的总产量是12000kg，若设5，6两个月的月平均增长率为x，则可以列出方程（　　） A．3000+3000（1+x）＝12000 B．3000+3000（1+x）2＝12000 C．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 D．3000x＝12000 【分析】根据5，6两个月的月平均增长率为x，结合“4月份的产量是3000kg，第二季度的总产量是12000kg”即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意，得3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 23．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 　30（1﹣x）2＝24.3　 ． 【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3． 故答案为：30（1﹣x）2＝24.3． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2023秋•锦江区校级期末）某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为169吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 　30%　 ． 【分析】设该果园水果产量的年平均增长率为x，利用该果园2023年的水果产量＝该果园2021年的水果产量×（1+该果园2023年的水果产量）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝169， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， ∴该果园水果产量的年平均增长率为30%． 故答案为：30%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（2024秋•锡山区期中）华庄街道为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年8月份改造绿化面积为400m2，到了今年10月份增加到900m2，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为 　50%　 ． 【分析】设绿化改造面积月平均增长率为x，利用今年10月份绿化改造面积＝今年8月份绿化改造面积×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设绿化改造面积月平均增长率为x， 依题意得：400（1+x）2＝900， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）， 即绿化改造面积月平均增长率为50%． 故答案为：50%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2026秋•单元）某养鱼户经营池塘养鱼已3年，第一年春季放养鱼苗20000尾，成活率约为70%，秋季捕捞前随意捞出10尾鱼，称得质量如下（单位：kg）：0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、0.9、1.1、1.0、1.2、0.8． （1）根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是多少kg； （2）第一年秋季把这池塘中的鱼全部捞出卖掉，售价为4元/kg．除去当年投资成本16000元，求第一年的纯收入； （3）该养鱼户每年春季放养鱼苗，秋季捕捞后全部卖出，已知这3年的纯收入为132400元，求第二年与第三年纯收入的平均年增长率． 【分析】（1）利用第一年总产量＝平均每尾鱼的质量×放养鱼苗尾数×成活率，即可求出结论； （2）利用第一年的纯收入＝每千克鱼的售价×第一年总产量﹣当年投资成本，即可求出结论； （3）设第二年与第三年纯收入的平均年增长率为x，则第二年的纯收入为40000（1+x）元，第三年的纯收入为40000（1+x）2元，根据这3年的纯收入为132400元，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：20000×70% 20000×70% ＝14000（kg）． 答：根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是14000kg； （2）根据题意得：4×14000﹣16000 ＝56000﹣16000 ＝40000（元）． 答：第一年的纯收入为40000元； （3）设第二年与第三年纯收入的平均年增长率为x，则第二年的纯收入为40000（1+x）元，第三年的纯收入为40000（1+x）2元， 根据题意得：40000+40000（1+x）+40000（1+x）2＝132400， 整理得：100x2+300x﹣31＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣3.1（不符合题意，舍去）． 答：第二年与第三年纯收入的平均年增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 27．（2025春•崇明区校级期中）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，生产B型起重机若干台，从五月份起，A型起重机产量的月增长率相同，而B型起重机每月增加3台，已知五月份A型起重机产量是B型起重机产量的2倍，六月份A、B两型起重机共生产54台，求四月份生产B型起重机的台数及从五月份起的A型起重机产量的月增长率． 【分析】设从五月份起A型起重机产量的月增长率为x，则五月份A型起重机产量为25（1+x）台，B型起重机产量为台，根据六月份A、B两型起重机共生产54台，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，可得出从五月份起的A型起重机产量的月增长率，再将其代入3中，即可求出四月份生产B型起重机的台数． 【解答】解：设从五月份起A型起重机产量的月增长率为x，则五月份A型起重机产量为25（1+x）台，B型起重机产量为台， 根据题意得：25（1+x）23＝54， 整理得：50x2+125x﹣27＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.7（不符合题意，舍去）， ∴33＝12． 答：四月份生产B型起重机12台，从五月份起的A型起重机产量的月增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．（2025秋•前郭县月考）为了解决初中生画图慢和画图不准确的问题，某企业设计生产了A、B两款初中生专用画图套尺并投入市场销售．4月共销售了5万套，6月共销售了7.2万套．求该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率． 【分析】根据平均月增长率的模型，设增长率为x，利用4月销量和平均月增长率表示出6月销量，列方程求解． 【解答】解：设该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率为x， ∵4月共销售了5万套，6月共销售了7.2万套， ∴5（1+x）2＝7.2， 解得：x＝﹣2.2（不合题意，舍去）或0.2， 答：该企业4月至6月这两款套尺总销量的月平均增长率为20%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率的模型构建是解题的关键． 【考点6】商品销售问题（第29-33题） · · 总利润=每件利润×销售量 · · 售价变化时用x表示售价和销量 · · 先求成本和销量函数 · · 最值问题结合二次函数顶点 29．（2026•兖州区二模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：y＝﹣10x+1200． （1）求一盒果篮的成本（成本＝进价+包装费）； （2）若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【分析】（1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为（a+2）元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润＝每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）分两种情况讨论：当70＜m＜84且m为整数时，当m≥84时，根据函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为（a+2）元． 依题意，得， 解得：a＝6， 经检验，a＝6是原分式方程的解，a+2＝8， ∴一盒果篮的成本为：4×6+8×2+8＝48（元）； （2）依题意，得w＝（x﹣48）（﹣10x+1200）＝﹣10x2+1680x﹣57600； （3）当70＜m＜84且m为整数时，每月的最大利润为﹣10（m﹣84）2+12960；m≥84时，每月的最大利润为12960元．理由如下： 由（2）可知每月的利润w＝﹣10x2+1680x﹣57600， 可化简为w＝﹣10（x﹣84）2+12960， ∵﹣10＜0， 当70＜m＜84且m为整数时， y随x增大而增大，当x＝m时，w取得最大值， 即w＝﹣10（m﹣84）2+12960； 当m＞＝84时，当x＝84时，w取最大值， ∴当x＝m＝84时w最大，此时：w＝（84﹣48）（﹣10×84+1200）＝12960， m＞＝84时，当x＝84时，w取最大值， ∴每月的最大利润为12960元； 综上所述，当70＜m＜84且m为整数时，每月的最大利润为﹣10（m﹣84）2+12960；m≥84时，每月的最大利润为12960元． 【点评】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． 30．（2026春•高新区校级期末）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 【分析】第二周销售的销量＝400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可． 【解答】解：第二周单价降低x元后，这周销售的销量为（400+100x）件，由题意得出： 400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500， 即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 则10﹣1＝9（元）． 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 31．（2026春•新余校级同步）春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【分析】（1）根据题意得涨价x元，单个利润为（40+x）﹣30＝10+x元，每天销售量为（50﹣x）个，根据题意列出方程（10+x）（50﹣x）＝800，结合x的限定范围求解得到最终售价； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元，先列出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的最值性质结合x的范围求出最大利润和对应售价． 【解答】解：（1）设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元，则单个利润为（40+x）﹣30＝（10+x）元，每天销售量为（50﹣x）个， 依题意得：（10+x）（50﹣x）＝800， 解得x＝10或x＝30（0≤x≤20，不合题意，舍去）， 此时售价为：40+10＝50（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元， 依题意得：y＝（10+x）（50﹣x）＝﹣（x﹣20）2+900， 当x＝20时，y取得最大值，最大值为900，此时售价为40+20＝60（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，列出二次函数解析式是解答本题的关键． 32．（2026春•定海区期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”“国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售 　（20+2x）　 件，每件盈利 　（120﹣x﹣80）　 元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）利用每天的销售量＝20+2×每件童装降价的钱数，可用含x的代数式表示出每天的销售量；利用每件的销售利润＝售价﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件的销售利润； （2）利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1500＜0，可得出该方程无实数根，即不可能每天盈利2000元． 【解答】解：（1）依题意得：每天可销售（20+2x）件，每件盈利（120﹣x﹣80）元． 故答案为：（20+2x）；（120﹣x﹣80）． （2）依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 答：每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元． （3）不可能每天盈利2000元，理由如下： 依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝2000， 整理得：x2﹣30x+600＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0， ∴该方程无实数根， 即不可能每天盈利2000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量及每件的销售利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 33．（2025秋•东台市期末）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）若该商场这种商品售价不大于95元/件时，每销售一件商品便向慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据“某周该产品的销售量不少于800件”列出x的不等式，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值； （3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将x＝40，y＝1100；x＝55，y＝950分别代入得： ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣10x+1500； （2）∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得y＝﹣10x+1500， ∴﹣10x+1500≥800， 解得：x≤70， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为w元， 依题意得：w＝（x﹣30）（﹣10x+1500）＝﹣10（x﹣90）2+36000， ∴a＝﹣10＜0，对称轴为x＝90， ∴当x≤90时，w随x的增大而增大， ∴当x＝70时，w取得最大值为：﹣10×（70﹣90）2+36000＝32000（元）， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为32000元； （3）设该商场每周销售这种产品的利润为z元， 依题意得：z＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+（1800+10m）x﹣（45000+1500m）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵﹣10＜0， ∴当x＜90+0.5m时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于95元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． ∴94.5＜90+0.5m， 解得m＞9， ∴m的取值范围为m＞9． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． 【考点7】图形面积问题（第34-39题） · · 用x表示各边长，再列面积方程 · · 靠墙问题注意墙长限制取值范围 · · 剪角折盒底面长和宽都要减2x · · 判断能否围成看判别式符号 34．（2025秋•湄潭县期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【分析】（1）根据AB+BC+CD＝80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令S＝750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【解答】解：（1）∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2， ∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym， ∴x+y+x＝80， ∴y＝80﹣2x， ∵墙长42m， ∴0＜80﹣2x≤42， 解得：19≤x＜40， ∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）； 又∵矩形面积S＝BC•AB ＝y•x ＝（80﹣2x）x ＝﹣2x2+80x； （2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下： 当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为750m2； ∴， 解得：x1＝25，x2＝15， ∵19≤x＜40， ∴x＝25； （3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0， ∴S有最大值， 又∵19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800， 即当x＝20时，S的最大值为800． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 35．（2025秋•东台市期末）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒． 【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？　①③④　 （填序号） 【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm， （Ⅰ）这个纸盒的底面积是 x2 cm2，高是 　　 cm（用含a、x的代数式表示）． （Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 　20　 cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 【分析】（1）根据正方体的展开图进行判断即可； （2）根据题意画图即可； （3）（Ⅰ）根据题意列出代数式即可； （Ⅱ）根据底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，列出关于a的方程，解方程求出a＝12，然后求出纸盒的容积即可； （4）根据纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，得出，整理得：，根据t为正整数，求出m的值即可． 【解答】解：（1）图①③④都有5个小正方形，且通过折叠正好可以折叠成一个无盖的正方体盒子，图②中有6个小正方形，无盖的正方体盒子有5个面， 所以图②不能折叠成一个无盖的正方体盒子； 故答案为：①③④； （2）正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，如图所示： （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm， （Ⅰ）这个纸盒的底面积是xcm2，高是； 故答案为：x2；； （Ⅱ）∵当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3， ∴， 解得：a＝12， 当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为：． 故答案为：20． （4）∵该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等， ∴， ∴， ∵t为正整数，m为正整数， ∴m＝3或6或9． 【点评】本题主要考查了正方体的展开图，列代数式，一元一次方程的应用，求代数式的值，解题的关键是理解题意，熟练掌握正方体的展开图． 36．（2025秋•郑州校级月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长72m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚ABCD的面积为285m2，试求出自行车车棚的长BC和宽AB； （2）请问能围成面积为450m2的矩形车棚ABCD吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（72﹣3x）m，根据矩形车棚ABCD的面积为285m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值（即AB的长），再将其代入（72﹣3x）中，即可求出BC的长； （2）假设能围成面积为450m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（72﹣3y）m，根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣24＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为450m2的自行车车棚． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（72﹣3x）m， 根据题意得：x（72﹣3x）＝285， 整理得：x2﹣24x+95＝0， 解得：x1＝5，x2＝19， 当x＝5时，72﹣3x＝72﹣3×5＝57＜60，符合题意； 当x＝19时，72﹣3x＝72﹣3×19＝15＜60，符合题意． 答：自行车车棚的长BC为57m或15m，宽AB为5m或19m； （2）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为450m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（72﹣3y）m， 根据题意得：y（72﹣3y）＝450， 整理得：y2﹣24y+150＝0， ∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为450m2的自行车车棚． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 37．（2025秋•怀宁县月考）用19m长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF＝0.5m（铝合金条的宽度忽略不计）． （1）求窗框的透光面积S（m2）与窗框的宽x（m）之间的函数关系式． （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ （3）当窗框的透光面积不小于10m2时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出AC，建立透光面积与宽的函数关系即可． （2）根据二次函数的图象和性质回答即可； （3）由于S＞10m2，根据二次函数图象与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图象即可求解不等式即可． 【解答】解：（1）∵矩形窗框，CD长表示窗框的宽，窗框的宽x（m）， ∴AF＝BE＝CD＝xm， ∵EF＝0.5m，BC＝GH＝DE， ∴AB＝EF＝0.5m， ∵矩形窗框的周长为19cm，AC＝AB+BC， ∴， ∴S＝AC•CD＝（6.5﹣x）x， ∴窗框的透光面积S（m2）与窗框的宽x（m）之间的函数关系式为S＝﹣x2+6.5x（0＜x＜6）； （2）∵， ∴当时，． 即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是； （3）当S≥10时，即﹣x2+6.5x≥10，即x2﹣6.5x+10≤0， 解方程x2﹣6.5x+10＝0得：， ∵二次函数y＝x2﹣6.5x+10开口向上， ∴不等式x2﹣6.5x+10≤0的解集为． ∴． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图象与性质分析是解题的关键． 38．（2025秋•南开区校级月考）如图①，要利用一面墙（墙长为18m）建羊圈，用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为xm，总面积为ym2． （1）如果要围成总面积为63m2的羊围，AB的长是多少？ （2）如果两个矩形羊圈各开一个宽1m的门（如图②），在不浪费围栏的情况下，y与x之间的函数解析式为y＝　﹣3x2+32x ，x的取值范围是　　 ． （3）在（2）的基础上，求y的最大值． 【分析】（1）设羊圈的一边AB长为xm，则羊圈的另一边BC＝30﹣3x，再根据长方形的面积公式列方程求解并检验即可解答； （2）由题意可得：BC＝32﹣3x，再根据矩形的面积公式列出函数关系式即可；再根据BC的长不超过18米且大于等于2列不等式组可求出x的取值范围； （3）先求出对称轴，再根据x的取值范围即可确定y的最大值． 【解答】解：（1）用30m的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB长为xm，则羊圈的宽为（30﹣3x）cm， 依题意得：x（30﹣3x）＝63． 整理，得：x2﹣10x+21＝0， 解得：x＝3或7， 当x＝3时，BC＝30﹣9＝21＞18，不成立，舍去； 当x＝7时，BC＝30﹣21＝9＜18，成立， ∴AB长为7m； （2）依题意得：BC＝30+2﹣3x＝32﹣3x， ∴总面积为y与x之间的函数解析式为y＝x（32﹣3x）＝﹣3x2+32x， ∵0≤BC≤18， ∴2≤32﹣3x≤18，即， ∴x的取值范围为， 故答案为：﹣3x2+32x；； （3）∵y＝﹣3x2+32x， ∴对称轴为直线x，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，y有最大值． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，根据题意表示长方形的长BC并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．（2025•南山区模拟）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【分析】（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，根据该路段的长度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为（3y+6）米，宽为（2y+2）米，根据镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米， 根据题意得：30x＝12（x+120）， 解得：x＝80． 答：原计划每天摊铺沥青80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米， 根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2， 整理得：y2+3y0， 解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）． 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【考点8】动态几何问题（第40-43题） · · 用t表示各动点走过的路程 · · 据线段相等或面积关系列方程 · · 等腰三角形要分类讨论三种情况 · · 勾股定理列距离方程，注意t的范围 40．（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t； （2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况． 【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ． 则16﹣2t＝t， 解得 t． 答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ； （2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则 （CQ+BP）•BCAB•AD，即（x+16﹣2x）×616×6， 解得 x． 答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形 ①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H． 则PQ， 所以 16﹣2k， 整理 得5k2﹣32k+36＝0， 解得 k1，k2； ②当BP＝BQ时，BQ． 则16﹣2k， 整理 得3k2﹣64k+220＝0． 解得k或（舍）； ③当QP＝BQ时，，即， 整理 得，（16﹣3k）2＝k2， 解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或k时，使得△BQP是等腰三角形 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 41．（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解． 【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时， t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 42．（2025秋•安丘市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 【分析】（1）通过三角形内平行线分线段成比例，列式计算，再判断得到的t值是否符合题意，来判断即可； （2）设运动时间为t时，△ADE的面积为S＝S△ACE﹣S△DCES△ABC，计算t的值，再判断值是否符合题意． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 假设存在某一时刻t，使DE∥AB， ∴， ∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t， ∴， ∴t，符合题意（t最大为8÷2＝4秒）， ∴存在某一时刻t秒，使DE∥AB； （2）设运动t秒时，SS△ABC， 根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCES△ABC， ∵S△ABCAC•CB6×8＝24平方厘米， S△ACEAC•CE6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米， S△DCECD•CEt（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米， ∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米， ∴SS△ABC， ∴t2﹣10t+2424， 解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3， ∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4， ∴t＝3秒符合题意， ∴此时CD＝3（cm）， ∴CD＝3cm时，SS△ABC． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，动态几何问题，解题的关键是读懂题意，掌握运动的整个过程，利用一元二次方程解决问题． 43．（2025春•崇川区校级月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程＝速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【解答】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ． 根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12． 则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6， 解得t； （2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ． ①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5， 解得t或 ； ②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5， 得方程5t2﹣32t+59＝0， 此时Δ＜0，此方程无解． 综上所述，当t或 时，点P与点Q之间的距离． 【点评】此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用． 💯 课后巩固 复习建议 · · 列方程解应用题关键是找等量关系，设好未知数 · · 传播问题记(1+x)2，单循环除以2，双循环不除2 · · 增长率用a(1+x)2=b，下降率把加号换成减号 · · 利润问题抓住总利润=单件利润×销量 · · 几何动点用t表示线段，解出后必须检验是否符合实际范围 【作业 1】（2025秋•晋江市校级期中）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵剪去小正方形的边长为xcm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm． 依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 2】（2025•宜城市模拟）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 【分析】利用2023年下学期平均每天书面作业时长＝2022年下学期平均每天书面作业时长×（1﹣该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：90（1﹣x）2＝70． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•闽清县期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+2x）＝363 C．300（1﹣x）2＝363 D．300（1﹣2x）＝363 【分析】利用第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+该快递店揽件日平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝363， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 4】（2025•广东模拟）图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 【分析】根据各边之间的关系，可得出折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为80cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为xcm， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形． 根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝80． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•泗县校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，则x等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是97个，即可列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意得：1+x+x2＝91， 整理得：x2+x﹣90＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去）， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•张湾区期中）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为126m2，则小路的宽度为　3　 m． 【分析】设小路的宽度为xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为（24﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，根据其面积为126m2，可得方程，解方程即可． 【解答】解：设小路的宽度为xm，则矩形的长为（24﹣2x）m，宽为（10﹣x）m，依题意得： （24﹣2x）（10﹣x）＝126， 解得：x1＝3，x2＝19， 当x＝19时，10﹣x＝﹣9＜0，不合题意，舍去， ∴x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键要明确：用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验． 【作业 7】（2024秋•太平区期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 　6　 ． 【分析】设八年级有x个班，利用比赛的总场次数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出八年级共有6个班． 【解答】解：设八年级有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 8】（2024秋•邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为　10%　 ． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得： 300（1﹣x）2＝243， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 故x的值为10%， 故答案为：10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•龙岗区校级月考）已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m+n+2025的值为　2026　 ． 【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出x2﹣x﹣2＝0的一个根，可得答案． 【解答】解：根据韦达定理求m+n的值对于一元二次方程ax2+bx+c ＝ 0（a≠0）， 若方程的两根为x1和x2，则有x1+x2＝﹣6． 在方程x2﹣x﹣2＝0中，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2， 因为m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根， 所以m+n＝﹣＝l＝1．将m+n＝1代入m+n+2025， 可得m+n+2025＝ 1+2025＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握方程的解的定义及韦达定理是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 　115（1+x）2＝216　 ． 【分析】利用该款上衣3月份销售量＝该款上衣1月份销售量×（1+该款上衣销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：115（1+x）2＝216． 故答案为：115（1+x）2＝216． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 11】某市要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环模式（即每两个球队之间比赛两次），赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？ 【分析】设比赛组织者应邀请x个球队参赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个球队参赛， 依题意得：x（x﹣1）＝10×3， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：比赛组织者应邀请6个球队参赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 12】（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【分析】（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+8），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：81×（1+8） ＝81×9 ＝729（人）， ∵729＞700， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 13】（2026•凉州区一模）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克． （1）该商品的进价是多少？ （2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500．若想销售该商品每天获利2210元，该商店需将商品的售价定为多少？ 【分析】（1）设该商品的进价是m元，利用总价＝单价×数量，结合两次购进数量之间的关系，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该商品的进价是m元， 依题意得：500m＝30000﹣20000， 解得：m＝20． 答：该商品的进价是20元． （2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2210， 整理得：x2﹣70x+1221＝0， 解得：x1＝33，x2＝37． 答：该商店需将商品的售价定为33元或37元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【作业 14】（2025秋•旌阳区校级期末）2025年“秋假”期间迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去　38　 个房间．此时，利润为　10640　 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为w元，则，由于x 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当x＝310或400，又获利润不低于10360元，则310≤x≤400，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解． 【解答】解：（1）依题意得：（300﹣180）÷10＝12（个）， ∴50﹣12＝38（个）， ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润为：300×38﹣20×38＝10640（元）， 故答案为：38，10640； （2）设利润为w元， 依题意得： ， ∵， ∴开口向上，对称轴为直线x＝355， 又∵x 为10的整数倍， ∴当x＝350或360时，有最大值w＝10560； （3）， 解得：x＝310或400， 又∵所获利润不低于10360元， ∴310≤x≤400， ∵该民宿空闲房间数不能超过20间， ∴， 解得：x≤380， ∴310≤x≤380，且x为10的整数倍． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键． 【作业 15】（2025秋•白云区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m． （1）若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ （2）如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 【分析】（1）设垂直于墙的边长为xm，根据鸡场的面积列出方程，解答即可； （2）设垂直于墙的边长为xm，养鸡场面积ym2，根据矩形面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值． 【解答】解：（1）设鸡长的宽为xm，则鸡长的长为（30+2﹣2x）m， 依题意得：x（30+2﹣2x）＝120， 解得：x1＝10，x2＝6（此时长为20＞18，不合题意，舍去）， ∴30+2﹣2x＝32﹣20＝12（m）， 答：鸡场长为12米，宽为10米； （2）设垂直于墙的边长为xm，养鸡场面积为ym2， 由题意得：y＝x（30﹣2x+2）＝﹣2（x﹣8）2+128， ∵﹣2＜0， ∴当x＝8时，养鸡场面积取得最大值，且为128m2， 此时平行于墙的边长30﹣2×8+2＝16（米），符合题意， 答：设计为垂直于墙的边长为8m，平行于墙的边长为16m时，养鸡场面积取得最大值，且为128m2． 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【作业 16】（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度； （2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值； （3）根据四边形APQC的面积＝△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8． ∴BQ＝x，PB＝8﹣2x； （2）由题意，得 8﹣2x＝x， ∴x． ∴当x时，△PBQ为等腰三角形； （3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则， 解得x1＝x2＝2． 假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm2． 【点评】本题借助动点问题考查了勾股定理，路程与速度、时间的关系，等腰三角形的性质以及不规则图形的面积计算，综合性较强． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $