23.3.1.1 锐角三角函数的定义及关系应用 教学设计 2026——2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦锐角三角函数的定义、取值范围及平方关系，通过复习直角三角形互余、中线、勾股定理和相似等旧知，以三个相似直角三角形对应边比值唯一的情境导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料亮点在于以相似三角形为切入点，借助几何直观（数学眼光）引导学生抽象出三角函数定义，通过探究问题链培养推理意识（数学思维），分层例题（如正方形、矩形中求三角函数值）提升应用意识（数学语言），助力学生发展数形结合能力，也为教师提供清晰教学流程与反思模板。

第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用 课题 第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用 授课人 教 学 目 标 　　1.理解三角函数(sinA,cosA,tanA)的意义及它们的取值范围. 2.熟记①0<sinα<1,0<cosα<1;②平方关系:sin2α+cos2α=1. 3.当锐角一定时,它所在的直角三角形的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值唯一确定. 4.通过探究锐角的正弦、余弦、正切的概念,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力. 5.培养良好的数形结合能力,体验三角函数的应用价值. 教学 重点 锐角三角函数的概念、符号、表示方法及取值范围. 教学 难点 锐角三角函数概念的形成过程. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 　　1.直角三角形的两个锐角　互余　.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　.  3.如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有　a2+b2=c2　.  4.有一锐角相等的两个直角三角形　相似　.  　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图23-3-10,已知Rt△AB1C1,Rt△AB2C2,Rt△AB3C3. 图23-3-10 易知Rt△AB1C1　∽　Rt△AB2C2　∽　Rt△AB3C3,  所以=k. 可见,在Rt△ABC中,对于锐角A的每一个确定的值,其对边与邻边的比值都是唯一确定的. 我们同样可以发现,对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边、邻边与斜边的比值和对边与邻边的比值一样也是唯一确定的,即= 　=,= 　=.  　　鼓励学生独立解决问题,让学生感受当直角三角形的锐角确定后,其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值唯一确定. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 锐角三角函数的定义 如图23-3-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值都是锐角A的函数,我们将其分别记作sinA,cosA,tanA,则sinA=,cosA=,tanA=,它们分别叫做锐角A的正弦、余弦、正切、统称为锐角A的三角函数. 图23-3-11 (1)弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义,在Rt△ABC中,∠C=90°,对∠A来说,　BC　是对边、　AC　是邻边;而对∠B来说,　BC　是邻边、　AC　是对边,无论怎样,“边”一定要分清.  (2)为了记忆方便,可以用口诀进行记忆,即“正弦等于对比斜,余弦等于　邻比斜　,正切等于　对比邻　”.  (3)从定义可以看出,锐角三角函数的三个比值是随着角度的变化而变化的,当角度固定不变时,无论边怎样变,它的三个三角函数值是　唯一确定　的.  (4)三角函数的符号是一个整体数学符号,如sinA不能看成是sin和A相乘的关系,而是“∠A的正弦”,它的整体表示　∠A的对边与斜边　的比.  (5)会求锐角的三角函数值,在直角三角形中,知道两边,利用勾股定理求第三边,再用三角函数的定义求出锐角的三角函数值. 　　探究1的设计意在引导学生分清角的对边、邻边,以及斜边,理解三角函数的概念. 活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 锐角三角函数的取值范围及同角三角函数的关系 已知锐角α,那么下列结论中,正确的个数是 (　A　) (1)sinα的值比0大,但比1小;(2)tanα的值是正值;(3)0<cosα<1;(4)sin2α+cos2α=1. A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1 [解析] 把锐角α放在Rt△ABC中,如图23-3-12, 图23-3-12 (1)∵sinα=>0,BC<AB, ∴0<sinα<1; (2)∵tanα=,BC与AC的大小关系不定,∴tanα>0; (3)∵cosα=>0,AC<AB,∴0<cosα<1; (4)∵sinα=,cosα=,BC2+AC2=AB2, ∴sin2α+cos2α==1. 【归纳总结】 (1)0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0; (2)sin2A+cos2A=1. 　　探究2主要是理解锐角三角函数的取值范围及同角三角函数的关系. 归纳总结的内容是本节的重点. 【应用举例】 例1　(1)如图23-3-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于 (D) 图23-3-13 A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosA=,则tanB= 　.  例2　如图23-3-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8.试求出∠A的三个三角函数值. 图23-3-14 解:AB==17, sinA=,cosA=,tanA=. 例3　(备选)已知sinA=,∠A是锐角,求:(1)cosA;(2)tanA. 解:(1)因为sin2A+cos2A=1, 所以cos2A=1-sin2A, 所以cosA=. (2)因为tanA=, 所以tanA=. 　　1.例1、例2审题是解题的关键,通过运用三角函数的定义求三角函数值,学会解决简单的问题.宜采取启发式教学发挥学生的潜能. 2.例3作为备选题,教师可根据本班学生的基础情况做取舍. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例4　如图23-3-15,正方形ABCD中,M为DC的中点,N为BC上一点,BN=3CN,求tan∠MAN的值. 图23-3-15 答案: 此题求解方法多样,教师要注意学生的不同求解过程,及时总结求锐角三角函数值的方法. 例5　如图23-3-16,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上. (1)求证:△ABF∽△DFE; (2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值. 图23-3-16 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE, ∴∠BFE=∠C=90°, ∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°. 又∠AFB+∠ABF=90°, ∴∠ABF=∠DFE, ∴△ABF∽△DFE. (2)在Rt△DEF中,sin∠DFE=, 故设DE=a,则EF=3a,DF==2a. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE, ∴CE=EF=3a,AB=CD=DE+CE=4a,∠EBC=∠EBF. 由(1)知△ABF∽△DFE, ∴, ∴tan∠EBC=tan∠EBF=. 　　1.例4是对本节课的应用升华,进一步理解锐角三角函数. 2.对于例5,教师引导学生分析、找出思路后,让学生自己解答. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P124中的练习. 2.课本P128中的习题23.3中的T1,T2. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课通过相似三角形的对应边之比相等,发现只要锐角确定,其对边与斜边的比、对边与邻边的比和邻边与斜边的比就唯一确定,从而引出锐角三角函数的定义. ②[讲授效果反思] 本课通过前三个例题的探究与展示,主要引导学生根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值、根据同角三角函数的关系求三角函数值,前者是本节课的重点内容,后者是本节课的难点内容,通过例题的学习,学生应该能很好掌握. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $