第10讲 相似三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第10讲 相似三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例 · · 掌握周长比、对应高（中线、角平分线）之比等于相似比 · · 掌握面积比等于相似比的平方 · · 会综合运用判定与性质求线段长和图形面积 · · 会用相似三角形解决测高、测距、投影等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的对应关系 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 找对应边：最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角 相似比k是对应边的比，前后顺序不同则k互为倒数 全等三角形是相似比k=1的特殊相似 概念辨析例题：△ABO∽△CDO，∠COD=50°，∠C=90°，求∠B 解析：∠D=180°-50°-90°=40°，由相似对应角相等∠B=∠D=40° ☆ 2.周长与对应线段的比 相似三角形周长的比等于相似比k 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k 相似多边形周长的比等于相似比 面积比不等于k，等于k的平方（见下节） 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，△ABC周长为9，求△DEF周长 解析：周长比=相似比=1:2，故△DEF周长=9×2=18 ☆ 3.面积比等于相似比的平方 相似三角形面积的比等于相似比的平方，即S1:S2=k2 已知面积比反求相似比要开方：k= 周长比=k，面积比=k2，二者不能混淆 同高（同底）两三角形面积比等于底（高）之比 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，S△DEF=8，求S△ABC 解析：面积比=(1:2)2=1:4，故S△ABC=8×=2 ☆ 4.相似三角形的实际应用 测高：同一时刻物高与影长成正比 测距：标杆法、镜面反射（入射角=反射角）、卡钳 小孔成像与投影：物像大小比等于对应距离之比 把实物抽象成A型或X型基本相似三角形再列比例式 概念辨析例题：小孔成像，O到AB距离10cm，O到CD距离15cm，AB=2cm，求像CD 解析：△AOB∽△COD，CD:AB=15:10，CD=2×=3cm 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对应角 对应角相等 最大角对最大角 对应边 对应边成比例 最长边对最长边 周长比 周长比=k 顺序不同k互为倒数 对应线段 高/中线/角平分线比=k 必须是对应线段 面积比 S1:S2=k2 反求k要开方 同高三角形 面积比=底之比 同底则=高之比 测高测距 物高:影长=定值 抽象成A型/X型 ⚠️ 核心考点 【考点1】由相似三角形的性质求线段长（第1-5题） · · 先用对应角相等求未知角 · · 周长比等于相似比 · · 列比例式解未知线段 · · 写比例时盯紧对应边顺序 1．（2025秋•槐荫区期末）如图，△ABO∽△CDO，则∠B的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】由∠COD＝50°，∠C＝90°，求得∠D＝40°，由△ABO∽△CDO，得∠B＝∠D＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠COD＝50°，∠C＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠COD﹣∠C＝40°， ∵△ABO∽△CDO， ∴∠B＝∠D＝40°， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、相似三角形的性质等知识，根据三角形内角和定理求得∠D＝40°，进而证明∠B＝∠D＝40°是解题的关键． 2．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，△ABC的周长为9， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2， ∴△DEF的周长为9×2＝18． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 3．（2025秋•青山湖区校级期末）相似三角形面积的比等于 　相似比的平方　 ． 【分析】根据三角形的性质判断即可． 【解答】解：相似比的平方． 故答案为：相似比的平方． 【点评】本题考查相似三角形的性质，正确记忆相关内容是解题关键． 4．（2025秋•包河区校级期中）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝ 　　 ； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　2　 ． 【分析】（1）证明△BAD∽△CAE，推出，可得结论； （2）证明∠DCE＝90°，推出CPDE，求出DE的最小值，可得结论． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1， ∴CE， 故答案为：； （2）∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DE， ∴CP的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到DF的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果； （2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果． 【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， ∴DF＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠EDF＝90°， ∴在Rt△DEF中， ； （2）证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°． 【点评】本题考查了三角形相似的性质，以及矩形性质，勾股定理的应用，关键是合理应用三角形相似的性质． 【考点2】由相似三角形的性质求图形的面积（第6-10题） · · 面积比等于相似比的平方 · · 已知面积反求k要开方 · · 分清放大还是缩小方向 · · 多边形放大相似比即对应边比 6．（2025秋•汨罗市期末）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，S△DEF＝8，则S△ABC为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一知识点即可求解． 【解答】解：∵AB：DE＝1：2，△ABC～△DEF， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 7．（2026•南海区校级一模）如图，已知△ADE∽△ABC，其中DE＝3，BC＝9，则△ADE与△ABC的面积比为　　 ． 【分析】由△ADE∽△ABC可得，即可求解． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC， ∴． 则△ADE与△ABC的面积比为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 8．（2025秋•硚口区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是　2或　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，利用等腰三角形的性质，勾股定理求得AD，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△AEF∽△BDF时，利用旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和相似三角形的判定与性质得到BF，相似比为1的相似三角形为全等三角形得到AE＝BD＝2；②当△AEF∽△DBF时，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图， ∵BD＝2，CD＝4， ∴BC＝6， ∵AB＝AC＝5，AE⊥BC， ∴BE＝CEBC＝3， ∴DE＝1，AE4， ∴AD． ∵将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F， ∴DE＝AD． ①当△AEF∽△BDF时，如图， 则∠E＝∠BDF， ∴AE∥BD， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∴∠ADC＝∠FDB， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴△ADC∽△FDB， ∴， ∴BFAC＝2.5， ∴BF＝AF， ∴△AEF≌△BDF， ∴AE＝BD＝2． ②当△AEF∽△DBF时，如图， 则∠E＝∠B， ∵DE＝AD， ∴∠E＝∠DAE， ∵∠C＝∠B， ∴∠E＝∠B＝∠C＝∠DAE， ∴△DAE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE． 综上，AE的值是2或． 故答案为：2或． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 9．（2025秋•路南区期末）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 【分析】（1）根据相似三角形的性质以及角平分线的定义得出角B与角BCD的度数，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据相似三角形的性质得出等式求出AC的长即可． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 10．将如图所示的△ABC放大，使所得到的三角形与原三角形的相似比为5：4． 【分析】在△ABC所在的平面内取一点O，连接OA，OB，OC，分别在OA，OB，OC的延长线上取一点D，E，F，使OD：OA＝OB：OE＝OF：OC＝5：4，作△DEF，则△DEF为所求，由OD：OA＝OB：OE＝5：4得△ODE和△OAB相似，则DE：AB＝OD：OA＝5：4，同理△ODF和△OAC相似，DF：AC＝OD：OA＝5：4，△AEF和△OBC相似，EF：BC＝OB：OE＝5：4，则DE：AB＝DF：AC＝EF：BC＝5：4，由此得△DEF和△ABC，且相似比为5：4． 【解答】解：①在△ABC所在的平面内取一点O，连接OA，OB，OC， ②在OA的延长线上取一点D，使OD：OA＝5：4， ③在OB的延长线上取一点E，使OB：OE＝5：4， ④在OC的延长线上取一点F，使OF：OC＝5：4， ⑤作△DEF，则△DEF为所求，如图所示： 则△DEF∽△ABC，且相似比为5：4，理由如下： ∵OD：OA＝5：4，OB：OE＝5：4， ∴OD：OA＝OB：OE＝5：4， ∴△ODE∽△OAB， ∴DE：AB＝OD：OA＝5：4， 同理：△ODF∽△OAC，DF：AC＝OD：OA＝5：4， △AEF∽△OBC，EF：BC＝OB：OE＝5：4， ∴DE：AB＝DF：AC＝EF：BC＝5：4， ∴△DEF∽△ABC，且相似比为5：4． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，正确地作出符合条件的图形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第11-24题） · · 先判定相似，再用性质求边或角 · · 乘积式b2=ac先改成比例式 · · 动点最值找斜边中线或轨迹圆 · · 多对相似时连锁传递比例式 11．（2026•六盘水模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，．若△ADE的周长为6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，从而得出，求出结果即可． 【解答】解：∵，AD+BD＝AB， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵△ADE的周长为6， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 12．（2025秋•蕉岭县期末）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（　　） A． B． C．1 D．6 【分析】先根据正方形的性质结合相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD、EFGH是正方形， ∴∠EFG＝90°，∠B＝∠C＝90°， 在△BEF与△CFD中 ∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∵BF＝3，BC＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9， 又， ∴， 解得EF， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2026•湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OA在x轴上，且A（6，0），B（7，3），C（1，3）．将▱OABC绕点O逆时针旋转，得到四边形OA′B′C′，使点C的对应点C′落在BC的延长线上，OA′与BC交于点E，则点E的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（5，3） D． 【分析】过点C′作C′F⊥OC于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，根据题意可求CC′＝2，再利用勾股定理可求，易证△OHC∽△C′FC，求得，易证△C′OF∽△EOG，求得OG＝4，即可求解． 【解答】解：设CC′交y轴于点H，过点C′作C′F⊥OC于点F，过点E作EG⊥x轴于点G， ∴∠C′FO＝∠EGO＝90°， 由条件可得EG＝OH＝3，HC＝1，OH⊥CC′， ∴∠OHC＝∠OHC′， 由旋转得，OC＝OC′，∠C′OF＝∠EOG， 在△OC′H和△OCH中， ， ∴△OC′H≌△OCH（SAS）， ∴CH＝HC′＝1， ∴CC′＝2， 在直角△OCH中，OC， ∵∠C′CO＝∠C′CO，∠OHC＝∠C′FC， ∴△OHC∽△C′FC， ∴， ∴， ∵∠C′OF＝∠EOG，∠C′FO＝∠EGO， ∴△C′OF∽△EOG， ∴， ∴， ∴OE＝5， ∴OG4， ∴点E的坐标为（4，3）， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握是解答本题的关键． 14．（2025秋•芝罘区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，，AD＝4，M是四边形内部的一个动点，且∠CBM＝∠BAM，则线段CM长度的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】在AB左边取一点F，使∠AFB＝120°，FA＝FB，先求出∠AMB＝120°，根据定弦对定角得到点M在以F为圆心，FA＝FB为半径的圆上运动，取AB中点G，连接FM，CF，先利用勾股定理求出FB＝FM＝2，，当M在FC上时最小． 【解答】解：∵∠ABC＝∠CBM+∠ABM＝60°，∠CBM＝∠BAM， ∴∠BAM+∠ABM＝60°， ∴∠AMB＝120°， 在AB左边取一点F，使∠AFB＝120°，FA＝FB， 则点M在以F为圆心，FA＝FB为半径的圆上运动，取AB中点G，连接FM，CF， ∵∠AFB＝120°，FA＝FB，AB中点G，， ∴，FG⊥AB，∠FAB＝∠FBA＝30°， ∴BF＝2FG，∠FBC＝∠FBA+∠ABC＝60°+30°＝90°， ∵BF2＝FG2+BG2， ∴， 解得BF＝2（负值舍去）， ∴FB＝FM＝2， ∵平行四边形ABCD中，AD＝4， ∴CB＝AD＝4， ∴， ∴， ∴当M在FC上时最小， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2023秋•东安区校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F是AD边上的两个动点，且AE＝FD．连接BE，CF，BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的序号是 　①③④⑤　 ． ①△ABG∽△FDG； ②HD平分∠EHG； ③AG⊥BE； ④S△HDG：S△HBG＝DF：AB； ⑤线段DH最小值是． 【分析】由△ABE≌△DCF（SAS），得∠ABE＝∠DCF，再证△ADG≌△CDG（SAS），得∠DAG＝∠DCF，可说明③正确；由△CBG∽△FDG，的△ABG∽△FDG，可知①正确，根据S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC，可知④正确；取AB的中点O，连接OD、OH，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，最小值为22． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°， 在△ABE和△DCF 中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ADG 和△CDG 中， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCF， ∴∠ABE＝∠DAG， ∵∠DAG+∠BAH＝90°， ∴∠BAE+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∴AG⊥BE，故③正确， 同法可证：△AGB≌△CGB， ∵DF∥CB， ∴△CBG∽△FDG， ∴△ABG∽△FDG，故①正确， ∵S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC，AB＝BC， ∴S△HDG：S△HBG＝DF：AB；故④正确； 取AB的中点O，连接OD、OH， ∵正方形的边长为4， ∴， 由勾股定理得，， 由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，最小值为22， 无法证明DH平分∠EHG，故②错误， 故①③④⑤正确， 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最值等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解的关键． 16．（2025•庄浪县二模）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，若AD＝2AB＝4，BM＝1，则MN的长为　　 ． 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得MC＝3、，再证明△ABM∽△MCN，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，BM＝1， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝4， ∴MC＝BC﹣BM＝4﹣1＝3， 在直角三角形ABM中，由勾股定理得：， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAM+∠AMB＝90°， ∵AM⊥MN， ∴∠AMB+∠CMN＝90°， ∴∠BAM＝∠CMN， ∴△ABM∽△MCN， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证得△ABM∽△MCN是解题的关键． 17．（2024•牧野区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，E是射线AD上一动点，过点A作AF⊥BE于点F，连接CF，当CF最短时，线段AE的长为 　24　 ． 【分析】根据矩形的性质，得AD＝BC＝6，AB＝DC＝12，再取AB的中点M，连接MF，MC，根据直角三角形的性质，求出MF，根据勾股定理求出MC；根据三角形三边的关系，得到CF≥MC﹣MF，当当M，F，C三点共线，CF最小，根据相似三角形的判定和性质，线段之间的数量关系，求出DG；最后根据相似三角形的判定和性质，得△EDG∽△BCG，求出ED，根据AE＝AD+ED，即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝12，∠ABC＝90°， 取AB的中点M，连接MF，MC，图1， ∵AF⊥BE， ∴∠AFM＝90°， ∴， ∴点F在以M为圆心，半径为6的圆上运动（点A，B除外）， ∵BC＝AD＝8， ∴， ∴CF≥MC﹣MF＝10﹣6＝4，且当M，F，C三点共线时取等号； 当M，F，C三点共线时，图2， 设BE，DC交点为点G， ∵AB∥CD， ∴△MBF∽△CGE， ∴， ∴， ∴CG＝CF＝4， ∴DG＝DC﹣CG＝12﹣4＝8， ∵AE∥BC， ∴△EDG∽△BCG， ∴， ∴ED＝16， ∴AE＝AD+ED＝8+16＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查矩形，相似三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（2025秋•达州校级期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，，点E在BA的延长线上，，连结ED交AC于点F，那么　　 ． 【分析】过点A作AG∥DE得出△ABG∽△EBD，△CFD∽△CAG，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值．正确作出辅助线是解题关键． 【解答】解：∵， ∴，， 如图，过点A作AG∥DE交BC于点G， ∴△ABG∽△EBD，△CFD∽△CAG， ∴， ∴， 设BG＝3k，则BD＝5k， ∴GD＝BD﹣BG＝5k﹣3k＝2k， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设AG＝9a，则DF＝5a，ED＝15a， ∴EF＝DE﹣DF＝15a﹣5a＝10a， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 19．（2024秋•黄浦区期末）如图，已知梯形ABCD中，E、F分别是腰AB、CD上的点，AD∥EF，如果AD：EF：BC＝2：3：5，那么AE：AB＝ 　1：3　 ． 【分析】延长BA、CD交于点H，由AD∥EF，AD∥BC，得EF∥BC，所以△HAD∽△HBC，△HEF∽△HBC，因为AD：EF：BC＝2：3：5，所以，，则AHBH，EHBH，所以AE＝EH﹣AHBH，AB＝BH﹣AHBH，求得，即AE：AB＝1：3，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BA、CD交于点H， ∵梯形ABCD中，E、F分别是腰AB、CD上的点，AD∥EF， ∴AD∥BC， ∴EF∥BC， ∴△HAD∽△HBC，△HEF∽△HBC， ∵AD：EF：BC＝2：3：5， ∴，， ∴AHBH，EHBH， ∴AE＝EH﹣AHBHBHBH，AB＝BH﹣AH＝BHBHBH， ∴， ∴AE：AB＝1：3， 故答案为：1：3． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（2024秋•成都期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：AP＝CP； （2）如果PE＝3，EF＝5，求的值． 【分析】（1）先根据菱形的性质得到DA＝DC，DB平分∠ADC，然后证明△ADP≌△CDP得到AP＝CP； （2）先根据菱形的性质得到CD∥AB，则∠DCP＝∠F，再证明∠DAP＝∠F，于是可判断△PAE∽△PFA，利用相似三角形的性质可计算出PA＝2，所以CP＝2，然后证明△PDE∽△PBC，从而根据相似三角形的性质可得到的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴DA＝DC，DB平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDB， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝CP； （2）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCP＝∠F， ∵△ADP≌△CDP， ∴∠DCP＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠F， ∵∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴AP：PF＝PE：AP， 即AP：（3+5）＝3：PA， 解得PA＝2或PA＝﹣2（舍去）， ∴CP＝AP＝2， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴△PDE∽△PBC， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△PAE∽△PFA是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质． 21．（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 【分析】（1）先证明△GED∽△GDA，再证明△ADE≌△DCF（AAS），最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设EG＝m，AE＝3m，由DG2＝GE•GA，求出DG，再由△GED∽△GDA证明即可． 【解答】证明：（1）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠3， ∵DG2＝GE•GA， ∴， ∵∠5＝∠5， ∴△GED∽△GDA， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝DE， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵AE＝3EG， ∴设EG＝m，AE＝3m， ∴AG＝EG+AE＝4m， ∵DG2＝GE•GA＝m×4m， ∴DG＝2m（舍负）， ∵△GED∽△GDA， ∴， ∵AD＝CD， ∴， ∴DE＝CE， ∴点E是边CD的中点． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2026•绵阳二模）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，DE⊥AF，垂足为H，AC与BD相交于O，DE与AC交于M，AF与BD交于N． （1）求证：AE＝BF； （2）若正方形边长为6，，求DM的长度． 【分析】（1）证明∠ADH＝∠BAF，根据ASA证明△DAE≌△ABF即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，得出，可得，证明△AEM∽△CDM，求出AE＝3，由勾股定理求出，根据相似三角形的性质可求出． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAE＝∠ABF＝90°，即∠BAF+∠DAH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠ADH+∠DAH＝90°，∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝∠BAF， 在△DAE和△ABF中， ， ∴△DAE≌△ABF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AEM∽△CDM， ∴， ∵CD＝6， ∴， 在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6， ∴DE3， ∵△AEM∽△CDM，且相似比为， ∴， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2026•江都区校级二模）如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点． （1）求证：∠ADE＝∠ABE； （2）已知EF＝1，FG＝2，求BE的长． 【分析】（1）根据菱形的性质，可得AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定和性质，可得△ADE≌△ABE，即可得到∠ADE＝∠ABE； （2）根据菱形的性质，可得AD∥BC，推出∠ADE＝∠DGC，等量代换，根据相似三角形的判定和性质，则△GBE∽△BEF，则BE2＝GE×EF，即可． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC， 在△ADE和△ABE中， ∴， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABE； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DGC， ∵∠ADE＝∠ABE， ∴∠DGC＝∠ABE， ∵∠GEB＝∠GEB， ∴△GBE∽△BFE， ∴， ∴BE2＝GE×EF， ∵EF＝1，FG＝2， ∴GE＝GF+FE＝3， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质． 24．（2025•上城区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使DE＝EF． （1）求证：四边形ADBF为矩形； （2）记∠ADE＝α，∠AEM＝β． ①求∠DEM（用含α，β的代数式表示）； ②若β＝90°﹣2α，求证：2DE2＝DM•DA． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再利用斜边上的中线性质得到DE＝BE＝AE，然后利用对角线相等且互相平分的四边形为矩形得到结论； （2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AED＝180°﹣2α，所以∠DEM＝∠AED﹣∠AEM＝180°﹣2α﹣β； ②由β＝90°﹣2α得到∠DEM＝90°，再证明△DEM∽△DAF，根据相似三角形的性质得到DE：DA＝DM：DF，然后利用DF＝2DE可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵点E为AB的中点， ∴DE＝BE＝AE， ∵DE＝EF， ∴DE＝EF＝BE＝AE， ∴四边形ADBF为矩形； （2）①解：∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠ADE＝α， ∴∠AED＝180°﹣2α， ∴∠DEM＝∠AED﹣∠AEM＝180°﹣2α﹣β； ②证明：∵β＝90°﹣2α， ∴∠DEM＝180°﹣2α﹣β＝180°﹣2α﹣（90°﹣2α）＝90°， ∵四边形ADBF为矩形， ∴∠DAF＝90°， ∵∠MDE＝∠FDA，∠DEM＝∠DAF， ∴△DEM∽△DAF， ∴DE：DA＝DM：DF， ∴DE•DF＝DM•DA， 而DF＝2DE， ∴2DE2＝DM•DA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和矩形的判定与性质． 【考点4】相似三角形应用（第25-33题） · · 小孔成像物像比等于距离比 · · 同一时刻物高与影长成正比 · · 镜面反射入射角等于反射角 · · 标杆、河宽问题抽象成相似三角形 25．（2026•营山县二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．2cm B． C．3cm D．4cm 【分析】由AB∥CD，可得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△AOB∽△COD， ∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm， ∴根据相似三角形对应高的比等于相似比可得， ∵AB＝2cm， ∴CD＝3cm， 答：蜡烛火焰倒立的像CD的高度是3cm， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 26．（2025•榕城区一模）高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是（　　） A．3m B． C．12m D． 【分析】设该建筑物的高度为xm，然后根据同一时刻物高与影长成正比可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设该建筑物的高度为xm， 由题意得： ， 解得：x， 即该建筑物的高度为m， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 27．（2026•平桥区一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是　60　 cm． 【分析】根据题意可得△AOC∽△BOD，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， 解得：AC＝60cm， 故答案为：60． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力． 利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 28．（2026•深圳三模）如图，墙MN上挂着一个平面镜EF，身高1.6m的小明（用线段AB表示）站在镜子前，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），线段A′B′是小明在镜中的虚像，虚像A′B′和线段AB关于镜面EF对称．则小明能看到全身像（线段A′B′）的最短镜子（即EF）的长度为　0.8　 m． 【分析】过C作CH⊥A′B′于H，交MN于G，根据轴对称的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：过C作CH⊥A′B′于H，交MN于G， ∵MN∥A′B′， ∴CH⊥MN， ∵虚像A′B′和线段AB关于镜面EF对称． ∴CG＝HG， ∵EF∥A′B′， ∴△CEF∽△CA′B′， ∴， ∵A′B′＝AB＝1.6m， ∴EF1.6＝0.8m， 答：小明能看到全身像（线段A′B′）的最短镜子（即EF）的长度为0.8m， 故答案为：0.8． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，轴对称的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 29．（2026•辽源校级一模）广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远、建筑最高大的七彩琉璃塔，某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图，塔的顶端为点B，BC为塔高（BC⊥AC），在地面上一点E处竖直放一根标杆DE，DE⊥EC，DE＝3m，测得该塔底部点C到点E的距离为48.73m，在CE的延长线上找一点A，使A、D、B三点在同一直线上，A、E、C三点在同一水平线上，测得AE＝3.3m，由测量数据求出塔的高度为　47.3　 m． 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得到DE∥BC，进而证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可知BC⊥AC，DE⊥EC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AE＝3.3m，CE＝48.73m， ∴AC＝AE+CE＝3.3+48.73＝52.03（m）， ∴， 解得BC＝47.3， 即塔的高度为47.3m， 故答案为：47.3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 30．（2022秋•临川区校级期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE＝6，点A'，B，C，E在同一直线上． （1）求PE的长； （2）求点A′到CD的距离． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质多了即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质多了即可得到结论． 【解答】解：（1）∵CD∥PE， ∴△CDB∽△EFB， ∴， ∴， ∴PE＝16， 答：PE的长为16； （2）∵AB∥PE， ∴△ABA′∽△PEA′， ∴， ∴， ∴A′B＝12， ∴A′C＝12+6＝18． 答：点A′到CD的距离为18． 【点评】题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 31．（2026•余杭区二模）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE＝32m． （1）求证：△ABC∽△EDC． （2）求河宽AB的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC． （2）解：∵△ACB∽△DCE， ∴， ∵BC＝45m，DC＝20m，DE＝32m， ∴， ∴AB＝72m． 答：河宽AB为72m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ACB∽△DCE是解题关键． 32．（2026•西城区一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为1：2，竹节人的头长与上身长的比为1：3，头宽比头长少0.5cm，竹节人完全张开手臂的臂展AB长为22cm，求这个竹节人的总高度． 【分析】设竹节人的头长为xcm，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【解答】解：∵短竹节长与长竹节长的比为1：2，竹节人的头长与上身长的比为1：3，头宽比头长少0.5cm，竹节人完全张开手臂的臂展AB长为22cm， ∴设竹节人的头长为xcm，则它的上身长为3xcm，头宽为（x﹣0.5）cm，下身长为4xcm． ∴8x+（x﹣0.5）＝22． 解得x＝2.5． 所以8x＝20． 答：这个竹节人的总高度为20cm． 【点评】本题考查的是比的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 33．（2025秋•南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB＝15（m）． 答：建筑物AB的高度为15米． （2）由题意得：BE1＝BD﹣DE1＝10m，BE2＝BD﹣DE2＝9m，∠CE1D＝∠GE1B，∠CE2D＝∠AE2B， ∵∠CDE1＝∠GBE1＝90°，∠CE1D＝∠GE1B， ∴△CDE1∽△GBE1， ∴， ∴， ∴GB＝7.5（m）． ∵∠CE2D＝∠AE2B，∠CDE2＝∠ABE2＝90°， ∴△CDE2∽△ABE2， ∴， ∴， ∴AB＝4.5（m）， ∴AG＝BG＝AB＝7.5﹣4.5＝3（m）． 答：广告牌AG的高度为3米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•武威期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若，则的值为 　　 ． 【分析】证明BE：EC＝1：3，得出BE：BC＝1：4；证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到，由相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵， ∴BE：EC＝1：3， ∴BE：BC＝1：4， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【练习 2】（2024秋•泰兴市期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ABC的周长为42，面积为84，BC＝14，，则△ADE的面积为 　　 ． 【分析】过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥BC于点N，作OP⊥BC于点P，根据角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OP，再根据△ABC的周长和面积即可求出OM、ON、OP的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质求出BD+CE的长，即可求出AD+AE的长，最后根据△ADE的面积等于△ADO的面积加上△AEO的面积计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥BC于点N，作OP⊥BC于点P， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴OM＝ON＝OP， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC， ∴DO＝DB，EO＝EC， ∴△ADE的周长为AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC， ∵△ABC的周长为42，BC＝14， ∴AB+AC＝42﹣14＝28， 即△ADE的周长为28， ∵， ∴AD+DE＝28， ∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO， ∴， ∴， ∵△ABC的周长为42， ∴， ∴OM＝4＝ON＝OP， ∴S△ADE＝S△ADO+S△AEO ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【练习 3】（2026•西丰县一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝　8　 ． 【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：如图所示： 由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，HF∥BC， ∴∠EFH＝∠B， ∴△EFH∽△EBP， ∴， ∴， 解得PB＝6， ∴BC＝PB+CP＝6+2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求出PB的长是解答本题的关键． 【练习 4】（2025•保康县模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH的面积的13倍，连接BE并延长交AD于M，则的值是 　　 ． 【分析】由面积比和勾股定理可得AF＝2FG，设FG＝x，则 延长CE交AD于N，由sin∠CDE＝sin∠DNE得 由NM∥BC得△MEN∽△BEC，可得 ，，则 ． 【解答】解：FD＝EF+ED＝FE+AF， ∴AD2＝AF+（AF+EF）2， ∵13EF2＝AD2， ∴13EF2＝AF+（AF+EF）2， ∴AF＝2FG， 设FG＝x，则 延长CE交AD于N， 由sin∠CDE＝sin∠DNE得 由NM∥BC得△MEN∽△BEC， 可得 ， ， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 5】（2025•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，连接AE，过点C作CF⊥AC，交AB的延长线于点F． （1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由； （2）若AB＝5，AC＝6，求△ACF的面积． 【分析】（1）先证明AD＝CD，∠ECD＝∠BAD，结合∠EDC＝∠BDA，证明△EDC≌△BDA，可得ED＝BD，可得四边形ABCE是平行四边形，再进一步可得结论； （2）由菱形的性质求解，证明△ADB∽△ACF，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）四边形ABCE是菱形；理由如下： ∵D为AC的中点， ∴AD＝CD， ∵CE∥AB， ∴∠ECD＝∠BAD， ∵∠EDC＝∠BDA， 在△EDC和△BDA中， ， ∴△EDC≌△BDA（ASA）， ∴ED＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCE是菱形； （2）解：∵四边形ABCE是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BE，AD＝CD＝3，BD＝DE， ∵AB＝5， ∴， ∵CF⊥AC， ∴BE∥CF， ∴△ADB∽△ACF， ∴， ∴CF＝2BD＝8， ∴． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定定理． 【练习 6】（2025秋•平原县期末）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，CF＝3，AF＝2EF，求DC的长度． 【分析】根据∠DAE＝∠E，对顶角相等，即可证明；根据AF＝2EF得出相似比，再根据相似比求出DF的长度，即可求解． 【解答】解：∵AF＝2EF， ∴， ∵∠DAE＝∠E，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF． ∴， ∵CF＝3， ∴DF＝6， ∴DC＝CF+DF＝9． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•扬州期末）如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1＝∠2． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若AD＝4，AB＝6，AC＝5，求AE的长． 【分析】（1）由∠1＝∠2，得∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，则∠ACB＝∠AED，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE； （2）由相似三角形的性质得，而AD＝4，AB＝6，AC＝5，则AE． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD， ∵∠ACB＝∠1+∠ACD，∠AED＝∠2+∠ACD， ∴∠ACB＝∠AED， ∵， ∴△ABC∽△ADE． （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AD＝4，AB＝6，AC＝5， ∴AE， ∴AE的长是． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出∠ACB＝∠AED，进而证明△ABC∽△ADE是解题的关键． 【练习 8】（2026春•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DEAD，连接BE交CD于点F． （1）求证：△ABE∽△CFB； （2）若CF＝2，求AB的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠E＝∠CBF，因为∠A＝∠C，所以△ABE∽△CFB； （2）由DEAD，AD＝CB，得DECB，再证明△DEF∽△CBF，得，因为CF＝2，所以DFCF＝1，所以AB＝CD＝3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠CBF， ∵∠A＝∠C， ∴△ABE∽△CFB． （2）解：∵DEAD，AD＝CB， ∴DECB， ∵DE∥CB， ∴△DEF∽△CBF， ∴， ∴DFCF2＝1， ∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3， ∴AB的长是3． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△CBF是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 牢记两条主线：周长比=k，面积比=k2，见到面积比先开方再用 · · 对应边按「最长对最长、最大角对最大角」配对，顺序不能错 · · 求线段长先证相似，再列比例式解方程 · · 动点最值常取直角三角形斜边中线或定弦对定角轨迹圆 · · 应用题把实物抽象成A型/X型，列「物高:影长」或「物:像」比例 【作业 1】（2026•钦州二模）若△ABC∽△DEF，面积比为9：16，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．4：3 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，面积比为9：16， ∴△ABC与△DEF的周长比为3：4． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业 2】（2026•松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．16 【分析】根据比例的性质求出，根据AB∥CD证得△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵，AD＝AE+DE， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∵AB＝5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据AB∥CD判定三角形相似． 【作业 3】（2025秋•合川区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，AB＝10，DE＝3，则BC的长度为　7.5　 ． 【分析】根据△ADE∽△ABC，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，AB＝10，DE＝3， ∴， 解得：BC＝7.5． 故答案为：7.5． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•长宁区期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，联结格点A、B的线段交网格线于M、N两点，那么AM：MN：BN＝　4：5：3　 ． 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理得AB＝5，分别证明△AME∽△ABD和△BFN∽△BDA，可求出AM，BN，MN，从而可求出结论． 【解答】解：如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中， 设小正方形的边长为1，则AD＝3，BD＝4， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∵ME∥BD， ∴△AME∽△ABD， ∴， ∴， 解得：； 同理可得△BFN∽△BDA， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：4：5：3． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 5】（2026•梓潼县一模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠BAC＝∠CBE，AB＝6，BE＝3，AD＝5，则DE＝ 　2.5　 ． 【分析】证明△BEC∽△ABC，推出，∠BEC＝∠ABC，再证明△CDE∽△CAD，得到，即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝BCE， ∴△BEC∽△ABC， ∴， ∵AB＝6，BE＝3， ∴， ∵BC＝CD， ∴， ∵∠ACD＝∠ACD， ∴△CDE∽△CAD， ∴， ∵AD＝5， ∴DE＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【作业 6】（2026春•集美区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝　1　 秒时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】由题意得到CQ＝2t，PD＝3﹣t，当PD＝CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，得到3﹣t＝2t，求出t＝1． 【解答】解：∵P以每秒1个单位长度的速度运动，Q以每秒2个单位长度的速度运动， ∴AP＝t，CQ＝2t， ∴PD＝AD﹣AP＝3﹣t， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴3﹣t＝2t， ∴t＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【作业 7】（2025•昆山市模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为　　 ． 【分析】过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M，利用矩形的判定与性质可得MN＝CD＝4，设ME＝MF＝m，利用相似三角形的判定与性质求得m，进而求得NF，MF的长，利用S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF求得y与x之间关系，再利用二次函数的性质和x的取值范围解答即可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，如图，过点F作FN⊥BC于点N，延长NF交DE的延长线于点M， ∴，DE∥BC， ∴MN⊥DE， ∴四边形CDMN为矩形， ∴． ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°． ∵FN⊥BC， ∴∠NFB＝45°， ∴∠EFM＝∠NFB＝45°． ∴△MEF为等腰直角三角形， ∴ME＝MF． 设ME＝MF＝m， 由题意得：PA＝x，则DP＝4﹣x， ∵DQ＝DP， ∴DQ＝4﹣x， ∴QE＝DE﹣DQ＝4﹣（4﹣x）＝x． ∵QF⊥CQ， ∴∠DQC+∠MQF＝90°， ∵∠DQC+∠DCQ＝90°， ∴∠DCQ＝∠MQF． ∵∠CDQ＝∠QMF＝90°， ∴△DCQ∽△MQF， ∴， ∴， 解得：m＝4﹣x， ∴MF＝4﹣x． ∴FN＝MN﹣MF＝x． ∵S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF， ∴ ， 由题意：x的取值范围为：0≤x≤4， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，等腰直角三角形，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，作出正确的辅助线是解答本题的关键． 【作业 8】（2025秋•德化县期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，点E在边BC上，BE＝2，点F在边CD上，CF＝1，连接AE，EF，若∠AEF＝120°，则线段CE的长为　3　 ． 【分析】过E作EM⊥AB交AB的延长线于M，过F作FN⊥EC于N，由含30度角的直角三角形的性质求出BMBE＝1，CNCF，得到MEBM，FNCN，求出AM＝5，判定△EFN∽△AEM，推出EN：AM＝FN：EM，求出EN＝2.5，得到CE＝CN+EN＝3． 【解答】解：过E作EM⊥AB交AB的延长线于M，过F作FN⊥EC于N， ∵∠ABC＝120°， ∴∠EBM＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BEM＝90°﹣60°＝30°， ∴BMBE2＝1， ∴MEBM， ∴AM＝AB+BM＝4+1＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠C＝60°， ∴∠CFN＝90°﹣60°＝30°， ∴CNCF， ∴FNCN， ∵∠AEF+∠FEN＝∠EAM+∠ABC，∠AEF＝120°， ∴∠FEN＝∠EAM， ∵∠ENF＝∠AME＝90°， ∴△EFN∽△AEM， ∴EN：AM＝FN：EM， ∴EN：5：， ∴EN＝2.5， ∴CE＝CN+EN＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△EFN∽△AEM，推出EN：AM＝FN：EM． 【作业 9】（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为　4　 ． 【分析】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，可得，即可得△ADE的面积． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则． 故答案为：4． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 10】（2025秋•南海区期中）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②BE＝DE；③△BED∽△BDA；④3BF＝4AC．其中结论正确的有　①③④　 （填序号）． 【分析】根据∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∠EAD＝∠DAC，可判断①；分别表示∠ABD＝90°﹣∠FBA＝90°﹣2∠CAD，∠CAD＝∠BDE，再根据90°﹣2∠CAD与∠CAD不一定相等，故∠ABD与∠BDE不一定相等，得BE与DE不一定相等，进行判断②；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明△BED∽△BDA，可判断③；连接DM，可证DM∥BF∥AC，得易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解，即可判断④． 【解答】解：①∵AC⊥BC，DE⊥AD， ∴∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠AED＝∠ADC， 故结论①正确，符合题意； ②BF⊥BC，AC⊥BC， ∴FB∥AC，∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠FBA＝∠CAM， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠CAM＝2∠CAD， ∴∠ABD＝90°﹣∠FBA＝90°﹣∠CAM＝90°﹣2∠CAD， ∵DE⊥AD， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠BDE， ∵90°﹣2∠CAD与∠CAD不一定相等， ∴∠ABD与∠BDE不一定相等， 故BE与DE不一定相等， 故结论②不正确，不符合题意； ③由①知∠AED＝∠ADC， ∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠ADC， ∴∠BED＝∠BDA， 又∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BED∽△BDA， 故结论③正确，符合题意； ④如图，在Rt△ADE，MD为斜边AE的中线，连接DM， ∴DM＝MA． ∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC， ∴DM∥BF∥AC， ∴，△FMB∽△CMA， ∴， ∴3BF＝4AC， 故结论④正确，符合题意， 综上所述，结论正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 【作业 11】（2026春•莱西市期末）如图，四边形ABCD中，E为AB边上一点，∠ECB＝∠DCA，，DE交AC于点F． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△AEF：S△DCF＝16：25，AE＝8，求CD的长． 【分析】（1）由∠ECB＝∠DCA，两边同时加∠ECA，推得∠ACB＝∠DCE；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得△ABC∽△DEC； （2）由△ABC∽△DEC得对应角∠CDE＝∠CAB，结合对顶角∠DFC＝∠AFE，可证△DFC∽△AFE．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ECB＝∠DCA， ∴∠ECB+∠ECA＝∠DCA+∠ECA，即∠ACB＝∠DCE， 又∵， ∴△ABC∽△DEC； （2）解：由（1）知△ABC∽△DEC， ∴∠CDE＝∠CAB， 又∵∠DFC＝∠AFE， ∴△DFC∽△AFE， ∴， ∴， 解得：CD＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意，负值已舍去）． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【作业 12】（2026春•西乡县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，求BD的长． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODA＝∠OBC，而∠AOD＝∠COB，AO＝CO，即可根据“AAS”证明△AOD≌△COB，得DO＝BO，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形； （2）因为AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，所以BC＝AD＝6，∠ACB＝90°，求得AC8，则CO＝AO＝4，所以BO2，则BD＝2BO＝4． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AC、BD相交于点O， ∴∠ODA＝∠OBC， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：∵AB＝10，AD＝6，AC⊥BC， ∴BC＝AD＝6，∠ACB＝90°， ∴AC8， ∴CO＝AOAC＝4， ∴BO2， ∴BD＝2BO＝4， ∴BD的长是4． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△AOD≌△COB是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似三角形的性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例 · · 掌握周长比、对应高（中线、角平分线）之比等于相似比 · · 掌握面积比等于相似比的平方 · · 会综合运用判定与性质求线段长和图形面积 · · 会用相似三角形解决测高、测距、投影等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的对应关系 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 找对应边：最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角 相似比k是对应边的比，前后顺序不同则k互为倒数 全等三角形是相似比k=1的特殊相似 概念辨析例题：△ABO∽△CDO，∠COD=50°，∠C=90°，求∠B 解析：∠D=180°-50°-90°=40°，由相似对应角相等∠B=∠D=40° ☆ 2.周长与对应线段的比 相似三角形周长的比等于相似比k 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k 相似多边形周长的比等于相似比 面积比不等于k，等于k的平方（见下节） 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，△ABC周长为9，求△DEF周长 解析：周长比=相似比=1:2，故△DEF周长=9×2=18 ☆ 3.面积比等于相似比的平方 相似三角形面积的比等于相似比的平方，即S1:S2=k2 已知面积比反求相似比要开方：k= 周长比=k，面积比=k2，二者不能混淆 同高（同底）两三角形面积比等于底（高）之比 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，S△DEF=8，求S△ABC 解析：面积比=(1:2)2=1:4，故S△ABC=8×=2 ☆ 4.相似三角形的实际应用 测高：同一时刻物高与影长成正比 测距：标杆法、镜面反射（入射角=反射角）、卡钳 小孔成像与投影：物像大小比等于对应距离之比 把实物抽象成A型或X型基本相似三角形再列比例式 概念辨析例题：小孔成像，O到AB距离10cm，O到CD距离15cm，AB=2cm，求像CD 解析：△AOB∽△COD，CD:AB=15:10，CD=2×=3cm 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对应角 对应角相等 最大角对最大角 对应边 对应边成比例 最长边对最长边 周长比 周长比=k 顺序不同k互为倒数 对应线段 高/中线/角平分线比=k 必须是对应线段 面积比 S1:S2=k2 反求k要开方 同高三角形 面积比=底之比 同底则=高之比 测高测距 物高:影长=定值 抽象成A型/X型 ⚠️ 核心考点 【考点1】由相似三角形的性质求线段长（第1-5题） · · 先用对应角相等求未知角 · · 周长比等于相似比 · · 列比例式解未知线段 · · 写比例时盯紧对应边顺序 1．（2025秋•槐荫区期末）如图，△ABO∽△CDO，则∠B的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 3．（2025秋•青山湖区校级期末）相似三角形面积的比等于 ___________ ． 4．（2025秋•包河区校级期中）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． （1）当BD＝1时，则CE＝ __________________ ； （2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 _____ ． 5．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 【考点2】由相似三角形的性质求图形的面积（第6-10题） · · 面积比等于相似比的平方 · · 已知面积反求k要开方 · · 分清放大还是缩小方向 · · 多边形放大相似比即对应边比 6．（2025秋•汨罗市期末）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，S△DEF＝8，则S△ABC为（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 7．（2026•南海区校级一模）如图，已知△ADE∽△ABC，其中DE＝3，BC＝9，则△ADE与△ABC的面积比为__________________ ． 8．（2025秋•硚口区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，点D在边BC边上，BD＝2，CD＝4，将线段DA绕点D逆时针旋转得线段DE，DE交AB边于点F，连接AE，若△AEF与△BDF相似，则AE的值是____________________ ． 9．（2025秋•路南区期末）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 10．将如图所示的△ABC放大，使所得到的三角形与原三角形的相似比为5：4． 【考点3】相似三角形判定与性质综合（第11-24题） · · 先判定相似，再用性质求边或角 · · 乘积式b2=ac先改成比例式 · · 动点最值找斜边中线或轨迹圆 · · 多对相似时连锁传递比例式 11．（2026•六盘水模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，．若△ADE的周长为6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 12．（2025秋•蕉岭县期末）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（　　） A． B． C．1 D．6 13．（2026•湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OA在x轴上，且A（6，0），B（7，3），C（1，3）．将▱OABC绕点O逆时针旋转，得到四边形OA′B′C′，使点C的对应点C′落在BC的延长线上，OA′与BC交于点E，则点E的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（5，3） D． 14．（2025秋•芝罘区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，，AD＝4，M是四边形内部的一个动点，且∠CBM＝∠BAM，则线段CM长度的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 15．（2023秋•东安区校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F是AD边上的两个动点，且AE＝FD．连接BE，CF，BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的序号是 _________ ． ①△ABG∽△FDG； ②HD平分∠EHG； ③AG⊥BE； ④S△HDG：S△HBG＝DF：AB； ⑤线段DH最小值是． 16．（2025•庄浪县二模）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，若AD＝2AB＝4，BM＝1，则MN的长为____________________ ． 17．（2024•牧野区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，E是射线AD上一动点，过点A作AF⊥BE于点F，连接CF，当CF最短时，线段AE的长为 _______ ． 18．（2025秋•达州校级期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，，点E在BA的延长线上，，连结ED交AC于点F，那么__________________ ． 19．（2024秋•黄浦区期末）如图，已知梯形ABCD中，E、F分别是腰AB、CD上的点，AD∥EF，如果AD：EF：BC＝2：3：5，那么AE：AB＝ ________ ． 20．（2024秋•成都期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：AP＝CP； （2）如果PE＝3，EF＝5，求的值． 21．（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 22．（2026•绵阳二模）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，DE⊥AF，垂足为H，AC与BD相交于O，DE与AC交于M，AF与BD交于N． （1）求证：AE＝BF； （2）若正方形边长为6，，求DM的长度． 23．（2026•江都区校级二模）如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点． （1）求证：∠ADE＝∠ABE； （2）已知EF＝1，FG＝2，求BE的长． 24．（2025•上城区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使DE＝EF． （1）求证：四边形ADBF为矩形； （2）记∠ADE＝α，∠AEM＝β． ①求∠DEM（用含α，β的代数式表示）； ②若β＝90°﹣2α，求证：2DE2＝DM•DA． 【考点4】相似三角形应用（第25-33题） · · 小孔成像物像比等于距离比 · · 同一时刻物高与影长成正比 · · 镜面反射入射角等于反射角 · · 标杆、河宽问题抽象成相似三角形 25．（2026•营山县二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．2cm B． C．3cm D．4cm 26．（2025•榕城区一模）高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是（　　） A．3m B． C．12m D． 27．（2026•平桥区一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是_______ cm． 28．（2026•深圳三模）如图，墙MN上挂着一个平面镜EF，身高1.6m的小明（用线段AB表示）站在镜子前，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），线段A′B′是小明在镜中的虚像，虚像A′B′和线段AB关于镜面EF对称．则小明能看到全身像（线段A′B′）的最短镜子（即EF）的长度为________ m． 29．（2026•辽源校级一模）广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远、建筑最高大的七彩琉璃塔，某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图，塔的顶端为点B，BC为塔高（BC⊥AC），在地面上一点E处竖直放一根标杆DE，DE⊥EC，DE＝3m，测得该塔底部点C到点E的距离为48.73m，在CE的延长线上找一点A，使A、D、B三点在同一直线上，A、E、C三点在同一水平线上，测得AE＝3.3m，由测量数据求出塔的高度为_________ m． 30．（2022秋•临川区校级期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE＝6，点A'，B，C，E在同一直线上． （1）求PE的长； （2）求点A′到CD的距离． 31．（2026•余杭区二模）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE＝32m． （1）求证：△ABC∽△EDC． （2）求河宽AB的长． 32．（2026•西城区一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为1：2，竹节人的头长与上身长的比为1：3，头宽比头长少0.5cm，竹节人完全张开手臂的臂展AB长为22cm，求这个竹节人的总高度． 33．（2025秋•南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度． 📝 随堂检测 【练习 1】（2024秋•武威期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若，则的值为 ___________________ ． 【练习 2】（2024秋•泰兴市期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ABC的周长为42，面积为84，BC＝14，，则△ADE的面积为 ____________________ ． 【练习 3】（2026•西丰县一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝_____ ． 【练习 4】（2025•保康县模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH的面积的13倍，连接BE并延长交AD于M，则的值是 __________________ ． 【练习 5】（2025•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，连接AE，过点C作CF⊥AC，交AB的延长线于点F． （1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由； （2）若AB＝5，AC＝6，求△ACF的面积． 【练习 6】（2025秋•平原县期末）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，CF＝3，AF＝2EF，求DC的长度． 【练习 7】（2025秋•扬州期末）如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1＝∠2． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若AD＝4，AB＝6，AC＝5，求AE的长． 【练习 8】（2026春•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DEAD，连接BE交CD于点F． （1）求证：△ABE∽△CFB； （2）若CF＝2，求AB的长． 💯 课后巩固 复习建议 · · 牢记两条主线：周长比=k，面积比=k2，见到面积比先开方再用 · · 对应边按「最长对最长、最大角对最大角」配对，顺序不能错 · · 求线段长先证相似，再列比例式解方程 · · 动点最值常取直角三角形斜边中线或定弦对定角轨迹圆 · · 应用题把实物抽象成A型/X型，列「物高:影长」或「物:像」比例 【作业 1】（2026•钦州二模）若△ABC∽△DEF，面积比为9：16，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．4：3 【作业 2】（2026•松北区一模）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，，且AB＝5，则CD的长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．16 【作业 3】（2025秋•合川区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，AB＝10，DE＝3，则BC的长度为________ ． 【作业 4】（2025秋•长宁区期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，联结格点A、B的线段交网格线于M、N两点，那么AM：MN：BN＝__________ ． 【作业 5】（2026•梓潼县一模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠BAC＝∠CBE，AB＝6，BE＝3，AD＝5，则DE＝ ________ ． 【作业 6】（2026春•集美区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝_____ 秒时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形． 【作业 7】（2025•昆山市模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，点D、E分别为AC，BA的中点，点P从A点向D点运动，点Q在DE上，且DQ＝DP，连接CQ，过点Q作QF⊥CQ交AB与点F，设点P运动的路程为x，△CQF的面积为y，则y与x之间关系为____________________ ． 【作业 8】（2025秋•德化县期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，点E在边BC上，BE＝2，点F在边CD上，CF＝1，连接AE，EF，若∠AEF＝120°，则线段CE的长为_____ ． 【作业 9】（2026•余杭区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝4，BC＝6，△ABC的面积为9，则△ADE的面积为_____ ． 【作业 10】（2025秋•南海区期中）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②BE＝DE；③△BED∽△BDA；④3BF＝4AC．其中结论正确的有________ （填序号）． 【作业 11】（2026春•莱西市期末）如图，四边形ABCD中，E为AB边上一点，∠ECB＝∠DCA，，DE交AC于点F． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△AEF：S△DCF＝16：25，AE＝8，求CD的长． 【作业 12】（2026春•西乡县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，求BD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $