第1讲 二次根式及其性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第1讲 二次根式及其性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式 · · 掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围 · · 掌握()2=a与=|a|两条基本性质 · · 能利用性质对二次根式进行化简，会处理含数轴、绝对值的问题 · · 理解最简二次根式与同类二次根式的概念，会化简并识别同类根式 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫二次根式，「√」称为二次根号 成为二次根式必须同时满足：根指数为2，被开方数a≥0 被开方数可以是数、单项式或多项式，但整体必须非负 当a<0时在实数范围内没有意义 概念辨析例题：下列各式中一定是二次根式的是：① ② ③√[3]{8} ④ 解析：①被开方数-3<0无意义；③根指数为3是三次根式；④π-4<0无意义；②x2+1≥1恒成立，故选② ☆ 2.二次根式有意义的条件 被开方数a≥0是二次根式在实数范围内有意义的前提 若式子中同时出现分母，还要保证分母不为0 多个二次根式并存时，各被开方数都要≥0，取解集的公共部分 形如+的式子，只能a=0（被开方数同时非负） 概念辨析例题：若在实数范围内有意义，求x的取值范围 解析：由被开方数非负得x-3≥0，解得x≥3 ☆ 3.二次根式的性质 ()2=a（a≥0），先开方再平方还原 =|a|：a≥0时等于a，a<0时等于-a 二次根式具有双重非负性：被开方数a≥0且≥0 化简含字母的时，先判断a的符号再去掉绝对值 概念辨析例题：实数a在数轴上满足1<a<2，化简+ 解析：原式=|a-1|+|a-2|=(a-1)+(2-a)=1 ☆ 4.最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 化简时把开得尽方的因数或因式移到根号外面 被开方数含分母时，要化去根号内的分母 几个二次根式化为最简后被开方数相同，它们是同类二次根式 概念辨析例题：化简与，并判断它们是否为同类二次根式 解析：2==2；=，两者化简后被开方数都是3，故同类 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式定义 （a≥0） 根指数为2且被开方数非负 有意义条件 被开方数a≥0 含分母时还要分母≠0 性质1 ()2=a（a≥0） 先开方后平方可还原 性质2 =|a| a<0时结果为-a 双重非负 a≥0且≥0 常与非负数和为0联用 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方因数 必须化到最简 同类二次根式 化简后被开方数相同 可像合并同类项一样合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的定义（第1-5题） · · 同时看根指数是否为2、被开方数是否非负 · · 被开方数恒负或根指数为3的直接排除 · · 求n的最小值时把被开方数配成完全平方数 · · 代入求值时先化简再代，注意符号 1．（2026春•雷州市期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D．π2 2．（2026春•安庆期末）下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•河北区期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•忻府区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 _______ ． 5．（2026春•鄞州区期中）当a＝﹣1时，二次根式的值是_____ ． 【考点2】二次根式有意义的条件（第6-19题） · · 列被开方数≥0的不等式求解 · · 有分母再添分母≠0的限制 · · 与并存时直接得a=0 · · 几个非负数和为0，则每个非负数都为0 6．（2026春•志丹县期末）要使二次根式有意义，x的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2025秋•高平市期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 8．（2025秋•九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（　　） A．﹣3 B．0 C．4 D．6 9．（2025秋•威宁县校级期中）已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 10．（2026•连云港模拟）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 11．（2023秋•金牛区校级期中）已知x、y为实数，，则3x+4y＝_______ ． 12．（2026春•定陶区期末）已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 _________ ． 13．（2026•西城区校级模拟）若有意义，则x的取值范围为_____________ ． 14．（2026•建邺区三模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________ ． 15．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是_____ ． 16．（2025秋•普陀区期末）已知实数x、y满足，求的立方根． 17．（2025秋•青浦区校级月考）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 18．（2026春•阎良区期中）已知等式成立，求的值． 19．已知，求（z﹣y）2的值． 【考点3】二次根式的性质与化简（第20-36题） · · 见到立即写成|a|再判号 · · 数轴题先确定每个因式的正负 · · 含参数时按区间分类讨论，端点不能漏 · · 复合根式用完全平方公式凑成(m±n)2 20．（2026•恩施市模拟）下列实数中，比3小的无理数是（　　） A． B． C．π D． 21．（2025秋•海口期末）计算的结果为（　　） A．4 B．2 C．8 D．±4 22．（2025秋•莲湖区期末）a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于（　　） A．﹣a﹣b+1 B．a﹣b+3 C．a+b﹣1 D．﹣a+b﹣3 23．（2025春•集宁区校级期末）把根号外面的因式移到根号里面的结果是（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•长宁区校级期中）若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 25．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令n＝1，将A加上B，结果记为，令n＝2，将A加上B，结果记为；令n＝3，将A加上B，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（　　） ①C1的最小值为0； ②当x＝1时，； ③； ④若，则有唯一解． A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026春•高要区期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 27．（2025春•漯河校级期中）化简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 28．（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 29．（2025秋•浦东新区校级期末）化简：____________________ ． 30．（2025秋•闵行区校级期末）如果的化简结果与x无关，那么x的取值范围是__________ ． 31．（2025•上海自主招生）已知，则x3﹣x的值为_____ ． 32．（2026春•惠城区期末）已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简． 33．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 34．（2026春•潮阳区期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x，，即把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：∵， ∴． 根据上述材料，解答下列问题． （1）化简：． （2）化简：． （3）计算：． 35．（2025秋•祁阳市校级期末）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； （1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_______ （填序号）： （2）已知，求代数式的值； （3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 36．（2026春•斗门区期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题：． 【解决问题】 （1）仿照例题补充完整： ____________________ ＝____________________ ＝____________________ ； （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【考点4】最简二次根式（第37-41题） · · 先查被开方数是否含分母 · · 再查是否含能开得尽方的因数或因式 · · 同类根式看化简后被开方数是否相同 · · 实际应用题先代入公式再按性质化简 37．（2026•宽城区校级开学）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 38．（2026春•南海区月考）化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 39．（2025秋•徐汇区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_______ ，b＝_____ ． 40．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①____________________ ； ②__________________ ． 41．（2025秋•普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从60m的高空落到地面的时间； （2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 💯 课后巩固 复习建议 · · 牢记二次根式的双重非负：被开方数≥0，结果≥0 · · 见到先写成|a|，再根据a的正负去绝对值 · · 数轴化简题先在数轴上标出范围，逐个因式定正负 · · 求有意义范围时「被开方数≥0」与「分母≠0」要一起列 · · 化简最终目标：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 【作业 1】（2026春•斗门区期末）下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【作业 3】（2026•宽城区校级开学）若，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4 【作业 4】（2024秋•梓潼县期末）有意义，则x的取值范围为 ________ ． 【作业 5】（2026•海州区校级二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________ ． 【作业 6】（2026•朝阳区三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围 ________ ． 【作业 7】（2025秋•兰州期中）已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 【作业 8】（2025秋•闵行区校级同步）化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【作业 9】（2026春•福山区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当2≤a≤3时，化简，_____ ． （2）若等式成立，则a的取值范围是__________ ． （3）若，求a的取值． 【作业 10】（2026春•陇南月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【作业 11】（2025秋•浦东新区校级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如． （1）填空：_________________ ； （2）化简，并写出化简过程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 二次根式及其性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式 · · 掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围 · · 掌握()2=a与=|a|两条基本性质 · · 能利用性质对二次根式进行化简，会处理含数轴、绝对值的问题 · · 理解最简二次根式与同类二次根式的概念，会化简并识别同类根式 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫二次根式，「√」称为二次根号 成为二次根式必须同时满足：根指数为2，被开方数a≥0 被开方数可以是数、单项式或多项式，但整体必须非负 当a<0时在实数范围内没有意义 概念辨析例题：下列各式中一定是二次根式的是：① ② ③√[3]{8} ④ 解析：①被开方数-3<0无意义；③根指数为3是三次根式；④π-4<0无意义；②x2+1≥1恒成立，故选② ☆ 2.二次根式有意义的条件 被开方数a≥0是二次根式在实数范围内有意义的前提 若式子中同时出现分母，还要保证分母不为0 多个二次根式并存时，各被开方数都要≥0，取解集的公共部分 形如+的式子，只能a=0（被开方数同时非负） 概念辨析例题：若在实数范围内有意义，求x的取值范围 解析：由被开方数非负得x-3≥0，解得x≥3 ☆ 3.二次根式的性质 ()2=a（a≥0），先开方再平方还原 =|a|：a≥0时等于a，a<0时等于-a 二次根式具有双重非负性：被开方数a≥0且≥0 化简含字母的时，先判断a的符号再去掉绝对值 概念辨析例题：实数a在数轴上满足1<a<2，化简+ 解析：原式=|a-1|+|a-2|=(a-1)+(2-a)=1 ☆ 4.最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 化简时把开得尽方的因数或因式移到根号外面 被开方数含分母时，要化去根号内的分母 几个二次根式化为最简后被开方数相同，它们是同类二次根式 概念辨析例题：化简与，并判断它们是否为同类二次根式 解析：2==2；=，两者化简后被开方数都是3，故同类 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式定义 （a≥0） 根指数为2且被开方数非负 有意义条件 被开方数a≥0 含分母时还要分母≠0 性质1 ()2=a（a≥0） 先开方后平方可还原 性质2 =|a| a<0时结果为-a 双重非负 a≥0且≥0 常与非负数和为0联用 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方因数 必须化到最简 同类二次根式 化简后被开方数相同 可像合并同类项一样合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的定义（第1-5题） · · 同时看根指数是否为2、被开方数是否非负 · · 被开方数恒负或根指数为3的直接排除 · · 求n的最小值时把被开方数配成完全平方数 · · 代入求值时先化简再代，注意符号 1．（2026春•雷州市期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D．π2 【分析】根据二次根式满足的两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐一判断选项即可． 【解答】解：A、，根指数为2，被开方数6＞0，符合二次根式定义，符合题意； B、，被开方数﹣6＜0，二次根式无意义，不符合题意； C、是三次根式，根指数为3，不符合题意； D、π2是整式，不含二次根号，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键． 2．（2026春•安庆期末）下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：，不是二次根式，当a＜0时，不是二次根式， 是二次根式， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2026春•河北区期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可． 【解答】解：A、当x＜0时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、﹣7＜0，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的定义，关键是正确理解二次根式的定义． 4．（2025春•忻府区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　35　 ． 【分析】根据题意可变形为，即可求解． 【解答】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的变形． 5．（2026春•鄞州区期中）当a＝﹣1时，二次根式的值是　3　 ． 【分析】根据题意，把a＝﹣1代入到二次根式中，化简可得结果． 【解答】解：当a＝﹣1时， 3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【考点2】二次根式有意义的条件（第6-19题） · · 列被开方数≥0的不等式求解 · · 有分母再添分母≠0的限制 · · 与并存时直接得a=0 · · 几个非负数和为0，则每个非负数都为0 6．（2026春•志丹县期末）要使二次根式有意义，x的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3， 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 7．（2025秋•高平市期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 【分析】需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到x的取值范围． 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得x＝1． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 8．（2025秋•九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（　　） A．﹣3 B．0 C．4 D．6 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此即可求得答案． 【解答】解：式子在实数范围内有意义， 则a﹣5≥0， 解得：a≥5， 则只有6符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 9．（2025秋•威宁县校级期中）已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a＝8，继而求得b＝25，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意知：a﹣8≥0且8﹣a≥0， 解得a＝8． 所以b＝25． 所以2+5＝7． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，立方根和实数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2026•连云港模拟）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x﹣9≥0，再解不等式即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：3x﹣9≥0， ∴x≥3， 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 11．（2023秋•金牛区校级期中）已知x、y为实数，，则3x+4y＝　20　 ． 【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数，即可得到x的值，进而得出y的值，最后代入求值． 【解答】解：∵， ∴， 解得x＝4， ∴y＝2， ∴3x+4y＝12+8＝20， 故答案为：20． 【点评】本题组考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 12．（2026春•定陶区期末）已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　2026　 ． 【分析】根据二次根式的意义求出a的取值范围，再去绝对值，最后进行计算即可． 【解答】解：由题可知， a﹣2026≥0， 解得a≥2026， ∵， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026， 故选：2026． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件、实数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．（2026•西城区校级模拟）若有意义，则x的取值范围为x≥﹣7且x≠3　 ． 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数以及分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣7且x≠3． 故答案为：x≥﹣7且x≠3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 14．（2026•建邺区三模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件（二次根式里的被开方数不小于0）进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2≥0， 解得x≥2， 故答案为：x≥2． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 15．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出a，进而求出b，再根据有理数的乘方计算即可． 【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，1﹣a≥0， 则a＝1， ∴b＝﹣1， ∴a2026﹣b2026＝12026﹣（﹣1）2026＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 16．（2025秋•普陀区期末）已知实数x、y满足，求的立方根． 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定x的值，进而求得y的值，代入代数式，求得代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：∵16﹣x2≥0，x2﹣16≥0， ∴x2＝16， 解得x＝±4， 又∵分母中x+4≠0， ∴x≠﹣4， ∴x＝4， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的立方根． 17．（2025秋•青浦区校级月考）若，其中a、x、y为两两不等的实数，求的值． 【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知a＝0，已知等式可变为，移项、开平方得x＝﹣y，利用代入法求式子的值即可． 【解答】解：由题意得，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0，x﹣a≤0， ∵a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0， ∴a＝0，原等式可变为， ∴x＝﹣y， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义得到a的值是解题的关键． 18．（2026春•阎良区期中）已知等式成立，求的值． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出m的值，再代入等式即可求出n的值，从而求得的值． 【解答】解：依题意得：m﹣10≥0且10﹣m≥0， 解得：m＝10． ∴n＝14， ∴2． 【点评】本题主要考查了考查了二次根式的意义和性质．根据二次根式的被开方数是非负数求出m的值是解题的关键． 19．已知，求（z﹣y）2的值． 【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数可知：原题中方程右边为0，方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值． 【解答】解：由题中方程等号右边知：x+y﹣2026≥0且2026﹣x﹣y≥0， ∴x+y＝2026， ∴原题中方程右边为0， ∴原题中方程左边也为0， ∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0， 又∵x+y＝2026， ∴x＝4，y＝2022，z＝2026， ∴（z﹣y）2＝（2026﹣2022）2＝42＝16． 【点评】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 【考点3】二次根式的性质与化简（第20-36题） · · 见到立即写成|a|再判号 · · 数轴题先确定每个因式的正负 · · 含参数时按区间分类讨论，端点不能漏 · · 复合根式用完全平方公式凑成(m±n)2 20．（2026•恩施市模拟）下列实数中，比3小的无理数是（　　） A． B． C．π D． 【分析】先根据平方根定义和二次根式的性质计算A，D选项中的式子，再估算的大小，从而进行判断即可． 【解答】解：，，π＞3， ∵，即， ∴比3小的无理数是， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握平方根定义和二次根式的性质． 21．（2025秋•海口期末）计算的结果为（　　） A．4 B．2 C．8 D．±4 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 22．（2025秋•莲湖区期末）a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于（　　） A．﹣a﹣b+1 B．a﹣b+3 C．a+b﹣1 D．﹣a+b﹣3 【分析】由数轴得﹣1＜a＜0，2＜b＜3，进一步得出2﹣b＜0，a+1＞0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得﹣1＜a＜0，2＜b＜3， ∴2﹣b＜0，a+1＞0， ∴ ＝|2﹣b|﹣|a+1| ＝b﹣2﹣（a+1） ＝b﹣2﹣a﹣1 ＝b﹣a﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，正确计算是解题的关键． 23．（2025春•集宁区校级期末）把根号外面的因式移到根号里面的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用二次根式的性质得出a的符号，再进行计算即可． 【解答】解：根据二次根式有意义，可知a＜0， 所以原式． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 24．（2025秋•长宁区校级期中）若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 【分析】先根据a+|a|＝0，得|a|＝﹣a，整理得a≤0，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答． 【解答】解：∵a+|a|＝0， ∴|a|＝﹣a， ∵|a|≥0， ∴a≤0， 则 ＝|a+1|+|a﹣1| ＝|a+1|+1﹣a， 当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a； 当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令n＝1，将A加上B，结果记为，令n＝2，将A加上B，结果记为；令n＝3，将A加上B，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（　　） ①C1的最小值为0； ②当x＝1时，； ③； ④若，则有唯一解． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①利用二次根式的性质和非负数的性质可得，即可判断①； ②由题意得：C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）（）45，即可判断②； ③运用分式的运算法则即可判断③； ④运用分式的运算法则和乘法公式即可判断④． 【解答】解：①， ∴结论①错误； ②当x＝1时，C1， C2， C3， C4， …… C2021， C2022， ∴C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）（） 45， ∴结论②正确； ③∵ ， ∴结论③正确； ④∵， ∴（）24x2+29， ∴（）2+（）2＝4x2+29， ∴4x+26＝29， ∴x， ∴结论④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，分式加减运算，完全平方公式等，熟练掌握二次根式的性质、分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 26．（2026春•高要区期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【分析】根据题意可知a﹣1＞0，a﹣2＜0，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0，a﹣2＜0， ∴原式＝a﹣1+（2﹣a） ＝a﹣1+2﹣a ＝1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值和二次根式的性质． 27．（2025春•漯河校级期中）化简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【解答】解：化简得：， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式性质与化简，掌握是解题关键． 28．（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1≤0， ∴a≤1， ∴若，则a的值可以是1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 29．（2025秋•浦东新区校级期末）化简：　　 ． 【分析】将平方根内的数字和变量分别化简，数字部分分解质因数后提取平方因子，变量部分根据指数奇偶性提取偶数次方． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是关键． 30．（2025秋•闵行区校级期末）如果的化简结果与x无关，那么x的取值范围是　1≤x≤3　 ． 【分析】先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， 分情况讨论， ①当x＜1时，， ②当1≤x≤3时，， ③当x＞3时，， ∵的化简结果与x无关， ∴x的取值范围为：1≤x≤3． 故答案为：1≤x≤3． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 31．（2025•上海自主招生）已知，则x3﹣x的值为　1　 ． 【分析】根据题意得到x≥1，将原等式化为，进一步变形得到2x6﹣x5﹣x+2，利用换元法变形可得t﹣21＝0，再利用配方法得到t＝1，即x6﹣x5﹣x+1＝1，通过化简得到x5﹣x4＝1，再令m＝x3﹣x，则x3＝m+x，则x4＝x（m+x）＝x2+mx；x5＝x（x2+mx）＝mx2+x+m；利用x5﹣x4＝1得到（mx2+x+m）﹣（x2+mx）＝1，整理得到（m﹣1）（x2﹣x+1）＝0，利用最值排除x2﹣x+1≠0，继而得到m﹣1＝0，从而得到m＝1． 【解答】解：由题意得， ∴x≥1． ∵， ∴x2， ∴x2， ∴， 两边同时平方得： x5﹣1+2x﹣1＝x6， 移项整理得：2x6﹣x5﹣x+2， 左边根号内相乘可得： （x5﹣1）（x﹣1）＝x6﹣x5﹣x+1， 令t＝x6﹣x5﹣x+1，则等式为： 2t+1， 整理得t﹣21＝0， （t﹣1）2＝0， 解得t＝1， ∴x6﹣x5﹣x+1＝1， ∴x6﹣x5﹣x＝0， ∵x≠0， ∴x5﹣x4﹣1＝0，即x5﹣x4＝1， 设m＝x3﹣x，则x3＝m+x，则x4＝x（m+x）＝x2+mx；x5＝x（x2+mx）＝mx2+x+m； ∴（mx2+x+m）﹣（x2+mx）＝1， 整理得（m﹣1）（x2﹣x+1）＝0， 分析x2﹣x+1＝（x）2， ∵（x）2， ∴x2﹣x+1≠0， 故m﹣1＝0， ∴m＝1． ∴x3﹣x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根据已知等式，求另外代数式的值，考查了因式分解、乘法公式、等式性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 32．（2026春•惠城区期末）已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简． 【分析】根据数轴确定a＜0＜b，且|a|＞|b|，据此化简二次根式即可． 【解答】解：由图可得a﹣b＜0，a+b＜0， ∴原式 ＝b﹣a+（﹣a﹣b） ＝b﹣a﹣a﹣b ＝﹣2a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 【分析】根据3＜x＜5，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴原式 ＝x﹣2+|x﹣5| ＝x﹣2+5﹣x ＝3． 【点评】本题主要考查了二次根式性质与化简，掌握二次根式性质与化简的方法是关键． 34．（2026春•潮阳区期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x，，即把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：∵， ∴． 根据上述材料，解答下列问题． （1）化简：． （2）化简：． （3）计算：． 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【解答】解：（1）仿照例题可知：， ∴； （2）∵ ， 而，则， ∴； （3）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握该知识点是关键． 35．（2025秋•祁阳市校级期末）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，∵，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； （1）在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是　②④　 （填序号）： （2）已知，求代数式的值； （3）当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【分析】（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出x≥﹣2，再将变形为根据（一）结论得到2+1＝3，即可求出当且仅当，即x＝﹣2时，有最小值，最小值为3． 【解答】解：（1）在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④． 故答案为：②④； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴． （3）由条件可知x≥﹣2． 原式 ＝2+1＝3． 当且仅当，即x＝﹣2时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 【点评】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． 36．（2026春•斗门区期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题：． 【解决问题】 （1）仿照例题补充完整： 　　 ＝　　 ＝　　 ； （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【分析】（1）利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可； （2）①仿照范例解答即可；②仿照范例解答即可． 【解答】解：（1）利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简如下： ； 故答案为：，，； （2）①原式 ； ②原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握该知识点是关键． 【考点4】最简二次根式（第37-41题） · · 先查被开方数是否含分母 · · 再查是否含能开得尽方的因数或因式 · · 同类根式看化简后被开方数是否相同 · · 实际应用题先代入公式再按性质化简 37．（2026•宽城区校级开学）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【解答】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数9含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 38．（2026春•南海区月考）化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件，最简二次根式解答即可． 【解答】解：∵， 解得：x≤0且x≠1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式定义，二次根式有意义的条件是解题的关键． 39．（2025秋•徐汇区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　﹣2　 ，b＝　1　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义，得b+1＝2，a+3b＝2a﹣b+6，解答即可． 【解答】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：﹣2，1． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 40．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　　 ； ②　　 ． 【分析】①根据二次根式的性质化简即可； ②根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：①． 故答案为：； ②． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键． 41．（2025秋•普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从60m的高空落到地面的时间； （2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 【分析】（1）把h＝60m代入公式即可， （2）把h2＝120m代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【解答】解：（1）把h＝60m代入公式可得： ； （2）不正确． 理由：当h2＝120m时，． ∴不正确； （3）当t＝5s时，， 解得h＝125m． ∴鸡蛋产生的动能＝10×0.06×125＝75（J）． ∴启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 牢记二次根式的双重非负：被开方数≥0，结果≥0 · · 见到先写成|a|，再根据a的正负去绝对值 · · 数轴化简题先在数轴上标出范围，逐个因式定正负 · · 求有意义范围时「被开方数≥0」与「分母≠0」要一起列 · · 化简最终目标：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数 【作业 1】（2026春•斗门区期末）下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义，逐一判断各选项，可得到结果． 【解答】解：A.的被开方数﹣1＜0，此式无意义，不是二次根式，故该选项错误，不符合题意； B.的根指数为2，被开方数10＞0，符合二次根式定义，故该选项正确，符合题意； C.的根指数是3，不为2，不符合二次根式的定义．故该选项错误，不符合题意； D.的根指数是3，不为2，不符合二次根式的定义．故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【分析】由已知可得1﹣x≤0，3﹣x≥0，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：∵1≤x≤3， ∴1﹣x≤0，3﹣x≥0， ∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 【作业 3】（2026•宽城区校级开学）若，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4 【分析】根据二次根式的性质即可求出m的取值范围． 【解答】解：根据题意得4﹣m≥0， 解得m≤4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•梓潼县期末）有意义，则x的取值范围为 x≥5　 ． 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣5≥0且4﹣x≠0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【作业 5】（2026•海州区校级二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞6　 ． 【分析】根据同时满足二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为0，列出不等式求解即可． 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 由题意可得：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为0，可得x﹣6＞0， 解得：x＞6， 故答案为：x＞6． 【点评】本题考查了分式与二次根式有意义的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 【作业 6】（2026•朝阳区三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围 x＞1　 ． 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，可得x﹣1＞0，解不等式即可得出答案． 【解答】解：代数式有意义， ∴x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•兰州期中）已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 【分析】根据数轴可知b＜a＜0＜c，|b|＞|c|，求出b﹣c＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意，得b＜a＜0＜c，|b|＞|c|， ∴b﹣c＜0，c﹣a＞0，b+c＜0， ∴原式＝|a|﹣|b﹣c|+|c﹣a|+|b+c| ＝﹣a+（b﹣c）+（c﹣a）﹣（b+c） ＝﹣a+b﹣c+c﹣a﹣b﹣c ＝﹣2a﹣c． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 【作业 8】（2025秋•闵行区校级同步）化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）先化绝对值符号，再根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可； （7）根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）∵64的算术平方根是8，即； （2）； （3）； （4）； （5）1.3； （6）； （7）． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握公式|a|是解答本题的关键． 【作业 9】（2026春•福山区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当2≤a≤3时，化简，　3　 ． （2）若等式成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ． （3）若，求a的取值． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）∵2≤a≤3， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3， 故答案为：3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+11+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， .原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5 时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， .此方程无解，故﹣1＜a＜5 不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2 或a＝6． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【作业 10】（2026春•陇南月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再开方化简； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，开方后合并同类二次根式计算结果． 【解答】解：（1）； （2） ＝9． 【点评】本题考查利用完全平方公式与二次根式的性质化简复合二次根式，解题关键是将被开方数凑成完全平方式，最后根据根式结果的非负性去掉绝对值符号． 【作业 11】（2025秋•浦东新区校级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如． （1）填空：　　 ； （2）化简，并写出化简过程． 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）仿照阅读材料解答即可． 【解答】解：（1）原式 ； 故答案为：； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $