22.3.4.2 相似三角形在几何证明中的应用(含重心) 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形在几何证明中的应用（含重心），通过回顾相似三角形性质，结合含高相似三角形图形引导学生写比例式，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料亮点在于注重探究与推理，如构造中位线证明重心比例关系培养推理能力，例题从基础到综合发展几何直观与创新意识。助力学生提升证明能力，为教师提供清晰教学思路与反馈机制。

第2课时　相似三角形在几何证明中的应用(含重心) 　　　　　　　　　 课题 第2课时　相似三角形在几何证明中的应用(含重心) 授课人 教 学 目 标 　　1.经历判定两个三角形相似的过程,会用相似三角形的判定与性质来证明比例式和等积式. 2.在探索中了解三角形的重心的概念,了解三角形三条中线交于一点所带来的相关比例式或等积式,体会相似三角形在几何证明中的价值和意义. 3.在学习过程中,体验数学证明充满着探索性和创造性,发展学生思维的灵活性,进一步培养逻辑推理能力. 教学 重点 通过相似三角形的判定,证明有关比例式或等积式. 教学 难点 三角形三条中线交于一点所引出的比例式和等积式的推导过程. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 　　前面的课时中我们学习了相似三角形的有关性质,请写出相似三角形的性质. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图22-3-108,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,请你写出这两个三角形中存在的比例式. 图22-3-108 相似三角形中出现的求证形式比全等三角形中的等量关系更为复杂,有比例式、等积式、等角、等边等形式,本节课我们将对相似三角形进行进一步的研究,挖掘相似三角形在证明几何图形中的线段的乘积关系或比例关系方面的应用. 　　通过书写相似三角形中存在的比例式,调动学生积极回顾思考,能够让学生快速进入到这节课要研究的内容中来. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】利用相似三角形证明比例式或等积式 例1　如图22-3-109,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为边AB上的高.求证:CD2=AD·BD. 图22-3-109 证明:∵∠ACD=90°-∠CAD=∠B,∠CDA=∠BDC=90°, ∴△ACD∽△CBD.∴,即CD2=AD·BD. 师生活动:学生回顾相似三角形判定的方法,根据学生回答,教师引导学生梳理已知条件有哪些,应该套用哪个判定定理进行证明.由学生完成证明过程之后,接着提出问题:你还能找出其他类似的结论吗? [归纳]还可以证明CA2=AD·AB,CB2=BD·BA. 【探究2】重心的概念以及与重心有关的比例关系 问题1　如图22-3-110,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G.求证:. 图22-3-110 活动 二: 探究 与 应用 　　师生活动:教师引导学生思考讨论,根据图形的构造以及现有的条件,表面上找不到存在的相似三角形,需要添加辅助线构造出相似三角形,在△ABC中,通过连结DE,可以得到中位线,进而找到平行线.师生共同分析,完成证明.学生书写证明过程. 证明:如图22-3-111,连结ED. 图22-3-111 ∵D,E分别是边BC,AB的中点, ∴DE∥AC,(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半). ∴△DEG∽△ACG. ∴. ∴. 问题2　追问:(1)如果在如图22-3-110所示的△ABC中取边AC的中点F,假设BF与AD相交于点G',如图22-3-112,那么能否得到类似的结论? 图22-3-112 (2)由此,你有何发现? 师生活动:教师引导学生观察、思考,可以很容易发现能够得到类似的比例关系,进而发现三角形的三条中线相交于一点这一事实.总结如下. [总结]三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 　　让学生在互相合作交流的过程中发现知识点,掌握知识,学生以自己的思维方式进行探究,充分经历探索证明的过程,进一步加深对相似三角形的理解. 【应用举例】 例1　如图22-3-113,在△ABC中,点D在AC上,连结BD,点E在BD上,连结AE,CE,且∠DAE=∠DBA. 求证:AD2=BD·DE. 图22-3-113 证明:∵∠DAE=∠DBA,∠ADE=∠BDA, ∴△DAE∽△DBA, ∴AD∶BD=DE∶AD, ∴AD2=BD·DE. 例2　如图22-3-114,四边形ABCD是正方形,G为边CD上一点,连结AG并延长,交BC的延长线于点F,连结BD交AF于点E,连结EC. (1)求证:△ADE≌△CDE; (2)求证:AE2=EF·EG. 图22-3-114 活动 二: 探究 与 应用 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADE=∠CDE=45°,AD=CD. 又∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS). (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,∴∠DAF=∠F. ∵△ADE≌△CDE, ∴AE=CE,∠DAF=∠DCE,∴∠DCE=∠F. 又∵∠GEC=∠CEF,∴△GEC∽△CEF, ∴,∴CE2=EF·EG, ∴AE2=EF·EG. 　　通过两道比例式形式的例题的证明,让学生对相似的理解更加深刻,为相似知识点的综合运用做好铺垫. 【拓展提升】 例3　已知:如图22-3-115,四边形ABCD中,点E在边BC上,DE交AC于点F,∠AED=∠B,AE2=AF·AC. (1)求证:△ABE∽△ECF; (2)如果,求证:DE·AC=AE·BC. 图22-3-115 证明:(1)∵AE2=AF·AC,∴. ∵∠FAE=∠EAC,∴△FAE∽△EAC, ∴∠AED=∠FCE. ∵∠AED=∠B,∴∠B=∠FCE. ∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-∠AED-∠AEB,∠CEF=180°-∠AED-∠AEB, ∴∠BAE=∠CEF, ∴△ABE∽△ECF. (2)由(1)得∠AED=∠FCE,△FAE∽△EAC, ∴. ∵, ∴,∴, ∴AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠B. ∵∠AED=∠ACB,∠ADE=∠B, ∴△ADE∽△ABC,∴, ∴DE·AC=AE·BC. 　　注重知识的融会贯通,通过练习,巩固对相似三角形知识的理解,更好地应用相似三角形的有关知识解决相关综合性问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P89中的练习. 2.课本P90习题22.3中的T9. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 第2课时　相似三角形在几何证明中的应用(含重心) 内容总结 解题关键 利用相似三角形的对应边成比例构造比例式,进而转化成等积式 根据比例式或等积式先分析出需要判断哪两个三角形相似 方法规律总结 用相似三角形知识解决几何证明问题的一般步骤:①由待解决问题判断需要证明相似的两个三角形;②根据已知条件,构造出相似三角形;③利用相似三角形的性质,建立比例式或等积式. 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课是相似三角形的应用的第2课时,也是整个相似三角形板块的最后一个课时,学生已经熟悉探究三角形相似的思路以及掌握相似三角形的有关性质,所以课堂上以学生自主学习为主,教师辅助,及时点拨和归纳,强化了重点. ②[讲授效果反思] 本节课主要讲解相似三角形在几何推理证明中的应用,通过和全等三角形在几何推理证明中的应用作比较,教学效果较好,通过课堂练习可以看出大部分学生已基本掌握了相似三角形的判定与性质的应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ③[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $