第4讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第4讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解一元二次方程的概念，能识别并化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） · · 理解方程的根的意义，会用整体代入、换元法求代数式的值 · · 掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 · · 掌握配方法和公式法，会推导并使用求根公式 · · 能根据方程特点选择合适的解法，并解决三角形、新定义等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程叫一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数、b一次项系数、c常数项 a≠0是关键条件，若a=0就退化为一次方程 判断前要先化简整理，分式方程、含两个未知数的都不是 概念辨析例题：方程(a-1)x|a|+1-2x-7=0是一元二次方程，求a 解析：需|a|+1=2且a-1≠0，解得a=±1，又a≠1，故a=-1 ☆ 2.一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根 已知一个根，把它代入方程可求待定系数 整体代入：根满足ax2+bx=-c，据此求代数式的值 换元思想：a(x+h)2+b(x+h)+c=0的根是原方程根减h 概念辨析例题：已知m是方程x2-2x-3=0的根，求m2-2m+2020的值 解析：由根定义m2-2m-3=0，故m2-2m=3，原式=3+2020=2023 ☆ 3.直接开平方法与因式分解法 直接开平方法：形如x2=p或(x+m)2=p（p≥0），直接开方得x=± 因式分解法：把方程一边化为两个一次因式乘积等于0 常用因式分解：提公因式法、平方差、十字相乘法 注意：两边同除含未知数的式子前，要先确认它不为0 概念辨析例题：解方程2x2-7x+3=0 解析：十字相乘(2x-1)(x-3)=0，得2x-1=0或x-3=0 ☆ 4.配方法与公式法 配方法：移项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→写成(x+m)2=p 求根公式：x=（b2-4ac≥0） 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 解法选择：能开方、能因式分解的优先，否则用公式或配方 概念辨析例题：用公式法解方程3x2+2x-2=0 解析：a=3,b=2,c=-2，Δ=4+24=28，x== 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0 一般式 二次项、一次项、常数项 先化简再判断 方程的根 代入使等式成立 整体代入求值 直接开平方法 (x+m)2=p→x=-m± p≥0 因式分解法 ab=0则a=0或b=0 不可随意约去含x因式 配方法 加一次项系数一半的平方 先把二次项系数化1 求根公式 x= Δ≥0时使用 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · · 先化简整理再判断未知数个数和次数 · · 必须是整式方程，分式方程排除 · · 二次项系数a≠0 · · 由次数条件列方程、系数≠0列不等式 1．（2022秋•新市区校级期中）下列是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x﹣2＝（x﹣1）x C．x（x+2）＝x（x﹣2） D． 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，对选项进行判断即可． 【解答】解：A．当a＝0时ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B．x﹣2＝（x﹣1）x是一元二次方程，符合题意； C．x（x+2）＝x（x﹣2）整理后不含二次项，不符合题意； D．，分母中含有未知数，是分式方程，不符合题意 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、方程含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意； B、方程整理为x2﹣3x﹣2＝0，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，符合题意； C、方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意； D、方程展开化简得x（x﹣1）﹣x2＝﹣x＝2，即﹣x＝2，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（2026春•沂源县期末）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； ②x26，不是整式方程，即不是一元二次方程； ③x2＝0，是一元二次方程； ④x＝3x2，是一元二次方程； ⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x，整理得4x＝﹣1，不是一元二次方程； 其中一元二次方程的个数是2个， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2025秋•邻水县期末）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出a的值． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程， ∴|a|+1＝2，且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是x2﹣x﹣2＝0　 ． 【分析】首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【解答】解：， ， 方程的两边同时乘（x+3）（x﹣1），得：2x+x﹣1＝（x+3）（x﹣1）， 2x+x﹣1＝x2+2x﹣3， 移项、合并得：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程转化整式方程的方法是解答本题的关键． 【考点2】一元二次方程的根（第6-9题） · · 已知根直接代入方程求待定系数 · · 代数式求值用整体代入降次 · · 换元方程看括号内整体等于原根 · · 公共解问题三式相加再分类讨论 6．（2025•田家庵区校级自主招生）已知a、b、c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解，则代数式的值为　2或﹣1　 ． 【分析】设公共解为t，代入三个方程后相加得到关于a+b+c和t的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解， ∴可设公共解为t， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴a+b+c＝0或， 当a+b+c＝0时，即c＝﹣a﹣b时， 原式 ＝2； 当时，分别代入三个方程可得a﹣2b+c＝0，a+b﹣2c＝0， 联立两式解得a＝b＝c， 此时； 综上所述，代数式的值为2或﹣1， 故答案为：2或﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的加减法，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 9．（2025秋•石峰区期末）已知a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值． 【分析】将a代入方程中得2a2﹣3a＝﹣1，将所求代数式化简整理后，把2a2﹣3a＝﹣1整体代入即可． 【解答】解：∵a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴2a2﹣3a+1＝0． ∴2a2﹣3a＝﹣1． ∴原式＝a2﹣1+3a2﹣6a＝4a2﹣6a﹣1＝2（2a2﹣3a）﹣1＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值．解题的关键是掌握整体代入法． 【考点3】直接开平方法（第10-13题） · · 把方程化为(x+m)2=p形式 · · 开方时别漏负根 · · 两根互为相反数可列方程求参数 · · 新定义题先按规则化简为开方形式 10．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ． 【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4， 所以m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即该方程的两个根为±2． 因为方程可化为x2， 所以（±2）2＝4， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，能根据题意得出m+1与2m﹣4互为相反数是解题的关键． 11．（2025秋•虹口区校级期中）对实数a、b，定义运算a*b＝ab2，已知3*m＝18，则m的值为　±　 ． 【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出m的值即可． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：3m2＝18，即m2＝6， 解得：m＝±． 故答案为：±． 【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的直接开方法是解题的关键． 12．（2025秋•秦淮区期末）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 【分析】先把方程变形为（x+1）2＝6，再把方程两边开方得到x+1＝±，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：3（x+1）2﹣18＝0， （x+1）2＝6， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 13．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【分析】（1）先移项，然后直接开平方得x+3＝±11，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到（2x﹣6）2＝6，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）（x+3）2﹣121＝0， （x+3）2＝121， x+3＝±11， ∴x1＝8，x2＝﹣14； （2）3（2x﹣6）2＝18， （2x﹣6）2＝6， ， ∴，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． 【考点4】因式分解法（第14-23题） · · 右边化0，左边分解为两因式乘积 · · 提公因式注意含x的项不要直接约掉 · · 十字相乘优先尝试 · · 等腰三角形根要检验三边关系 14．（2023秋•南海区月考）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2020+m2﹣2m的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将m代入方程得m2﹣2m﹣3＝0，再整体代入即可得解． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m， ∴m2﹣2m﹣3＝0． ∴m2﹣2m＝3． ∴2020+m2﹣2m＝2020+（m2﹣2m）＝2020+3＝2023． 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键． 15．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】移项后再因式分解求得两根即可． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 解得x＝0，x＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 16．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 17．（2025秋•昆山市校级月考）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根，则该等腰三角形的周长为　17　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝7，利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为3，底为7；等腰三角形的腰为7，底为3，然后分别计算即可． 【解答】解：x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得 x1＝3，x2＝7， 当腰长为3，底为7时，3+3＝6＜7，不满足三角形三边关系，故不成立； 当腰长为7，底为3时，7+7＞3，7+3＞7，满足三角形三边关系，故周长为7+7+3＝17． 故答案为：17． 【点评】本题考查了解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用三角形三边的关系来判断能否构成三角形． 18．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2　 ． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 19．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是　4　 ． 【分析】根据已知易得：x（x﹣4）+2×4＝8，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵xΔ4＝8， ∴x（x﹣4）+2×4＝8， x（x﹣4）＝0， ∵x＞0， ∴x﹣4＝0， 解得：x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程因式分解可得（x﹣2）（5x+3）＝0， ∴x﹣2＝0或5x+3＝0， 解得x1＝2，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•雁塔区校级月考）解方程： （1）2x2﹣7x+3＝0； （2）． 【分析】（1）根据因式分解法计算即可； （2）方程两边同时乘以x2﹣4化为整式方程，整理后求解，最后检验即可． 【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0， 因式分解得：（2x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：； （2）， 去分母得：3（x﹣2）+2＝x+2， 去括号得：3x﹣6+2＝x+2， 移项，合并同类项得：2x＝6， 系数化为1得：x＝3， 检验：当x＝3时，x2﹣4＝5≠0， 则x＝3是原分式方程的解． 【点评】本题考查解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 22．（2026春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x（x+2）＝（x+2）， ∴x（x+2）﹣（x+2）＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （2）2x2﹣3x+1＝0， （2x﹣1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝1，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解． 23．（2026•镜湖区校级一模）解方程：x2﹣8x+12＝0． 【分析】直接运用因式分解法求解即可． 【解答】解：原方程因式分解可得： （x﹣2）（x﹣6）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣6＝0， ∴x1＝2，x2＝6． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法一元二次方程成为解题的关键． 【考点5】配方法（第24-30题） · · 常数项移到等号右边 · · 二次项系数化1后再配方 · · 两边同时加一次项系数一半的平方 · · 配方后写成完全平方再开方 24．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 25．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 26．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ． 【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣a+9， ∴（x﹣3）2＝﹣a+9， ∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7， ∴b＝﹣3，﹣a+9＝7， ∴a＝2， ∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 27．（2025秋•白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0． 【分析】利用配方法解方程即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣10x＝﹣6， ∴x2﹣10x+25＝19， ∴（x﹣5）2＝19， ∴， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 28．（2024秋•长安区月考）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0． 【分析】按配方法的步骤求解一元二次方程即可． 【解答】解：4x2﹣8x﹣3＝0， 移项，得4x2﹣8x＝3， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法求解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 30．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：原方程移项得， 整理得，， ， ， ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【考点6】公式法与综合应用（第31-38题） · · 先算Δ=b2-4ac判断根的情况 · · 代入求根公式x= · · 新定义、Max问题按范围分类讨论 · · 三角形边长问题代入根判断形状 31．（2025秋•云南期中）如图，是佳佳用配方法解方程2x2+8x﹣6＝0时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（　　） 2x2+8x﹣6＝0 解：x2+4x﹣3＝0，① x2+4x+22﹣3＝0，② （x+2）2＝3，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 【分析】佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【解答】解：2x2+8x﹣6＝0， x2+4x﹣3＝0， x2+4x＝3， x2+4x+4＝3+4， 即（x+2）2＝7， 但步骤②加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴错误从步骤②开始． 故选：B． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 32．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含a的代数式表示出y，即可得出结论． 【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜5， ∴0＜a＜5； 故选：B． 【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 33．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝　5或　 ． 【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【解答】解：当4x＞1，即时， 原方程即为x2﹣5＝4x， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去）， 此时x＝5； 当4x＜1，即时， 原方程即为：x2﹣5＝1， 整理得：x2＝6， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，原方程的解为x＝5或， 故答案为：5或． 【点评】本题考查解一元二次方程，实数的运算，实数的大小比较，方程的解，理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键． 34．（2026春•海淀区校级期末）若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根，则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0的根为x1＝3，x2＝﹣5　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的意义即可求得答案． 【解答】解：若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根， 则4a+8a﹣2＝0， 解得：a， 该方程即为x2x﹣2＝0， 整理得：x2+4x﹣12＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+6）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6， 则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0中x﹣1＝2或﹣6， 解得：x1＝3，x2＝﹣5， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣5． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 35．（2024秋•郓城县期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x的解为 x＝2　 ． 【分析】由相反数得出a+b＝0，由倒数得出cd＝1，由绝对值得出p＝±2，然后将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x中，从而得出x的值． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2， ∴a+b＝0，cd＝1，p＝±2， ∴p2＝（±2）2＝4， 将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x中， 可得：3x﹣4＝x， 解得：x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题主要考查的是解一元一次方程以及相反数、倒数、绝对值的定义和性质，根据相反数、倒数、绝对值的定义和性质得到a+b＝0，cd＝1，p＝±3，是解题的关键． 36．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得：3x2﹣13x﹣10＝0， a＝3，b＝﹣13，c＝﹣10， Δ＝b2﹣4ac＝289＞0， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 37．（2026秋•同步）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入原方程计算后进行判断即可； （2）由题意易得a＝b＝c，然后将原方程化简后解得它的解即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长， 若x＝﹣2是该方程的一个根， 则4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 整理得：4a＝4c， 则a＝c， 那么△ABC是等腰三角形； （2）若△ABC是等边三角形， 则a＝b＝c， 原方程化为ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解，等边三角形的性质，熟练掌握解方程的方法及相关性质是解题的关键． 38．（2025春•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 解得：a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，等边三角形的性质，关键是掌握等边三角形的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断一元二次方程先化简，牢记a≠0这一硬条件 · · 见到方程的根，优先整体代入降次，不要急着求根 · · 解方程先看能否直接开平方或因式分解，能简则简 · · 配方法关键是「加一次项系数一半的平方」，两边同时加 · · 公式法万能但先算Δ，Δ<0时无实数根 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 【作业 2】（2026春•江北区期末）将一元二次方程2x﹣x（x﹣3）＝3化为一般形式，正确的是（　　） A．5x﹣x2＝3 B．x2﹣5x＝﹣3 C．x2﹣5x+3＝0 D．5x﹣x2﹣1＝0 【分析】通过去括号、移项、合并同类项将一元二次方程化为一般形式即可． 【解答】解：2x﹣x（x﹣3）＝3， 2x﹣x2+3x＝3， x2﹣2x﹣3x+3＝0， x2﹣5x+3＝0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 【作业 3】（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 【分析】先去分母，然后把方程化为一般式即可． 【解答】解：把方程两边乘以x（x+1）得x+1＝2x2， 方程化为一般式为2x2﹣x﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程． 【作业 4】（2025秋•喀什地区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解即可． 【解答】解：方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程， 则|k|+1＝2且k﹣1≠0， 由|k|+1＝2，解得k＝±1， 由k﹣1≠0，解得k≠1， 因此若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为：k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【作业 6】（2025春•上城区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2，则关于y的一元二次方程c一定有一个解为 y＝3　 ． 【分析】先变形方程c，根据同解方程的定义得结论． 【解答】解：关于y的一元二次方程c，可变形为： a（）2+6（）﹣c＝0． ∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2， ∴方程a（）2+6（）﹣c＝0的2． ∴y＝3． 故答案为：y＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义及同解方程是解决本题的关键． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为　41　 ． 【分析】利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【解答】解：由条件可知m2﹣5m﹣36＝0， 即 m2﹣5m＝36， 由根与系数的关系可知m+n＝5， ∴m2﹣4m+n＝（m2﹣5m）+（m+n）＝36+5＝41． 故答案为：41． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 8】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝　3　 ． 【分析】由（x+y）2＝16可得x+y＝±4，再分别代入x2+y2＝2（1+a），整理得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3，最后根据方程组只有两组实数解，得到（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解，即可得到a﹣3＝0． 【解答】解：由（x+y）2＝16可得x+y＝±4， ∴x＝4﹣y或x＝﹣4﹣y， 把x＝4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 得（4﹣y）2+y2＝2（1+a）， 展开整理得y2﹣4y+7＝a， ∴（y﹣2）2＝a﹣3， 同理把x＝﹣4﹣y代入x2+y2＝2（1+a）， 整理得（y+2）2＝a﹣3， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3的解的个数一致， ∵方程组只有两组实数解， ∴（y﹣2）2＝a﹣3与（y+2）2＝a﹣3都只有唯一解， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查二元二次方程组，解一元二次方程，掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 【作业 9】（2023秋•碧江区 校级期中）按照指定方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝9（用直接开平方法）； （2）2x2﹣9x+8＝0（用配方法）； （3）x2﹣2x﹣4＝0（用求根公式法）； （4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）． 【分析】（1）根据平方根的意义得2x﹣1＝±3，然后分别解方程2x﹣1＝3和2x﹣1＝﹣3即可得出原方程的解； （2）首先移项得2x2﹣9x＝﹣8，再将二次线系数化为1得：x2x＝﹣4，配方可得（x）2，然后利用直接开平方法即可得出原方程得解； （3）首先求出判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×﹣（4）＝20＞0，然后代入求根公式即可得出原方程的解； （4）首先移项得7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，在提取公因式得（5x+2）（7x﹣6）＝0，然后再解5x+2＝0和7x﹣6＝0即可得出原方程的解． 【解答】解：（1）根据平方根的意义得：2x﹣1＝±3， 由2x﹣1＝3解得：x＝2， 由2x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1， ∴原方程得解为：x1＝2，x2＝﹣1， （2）移项，得：2x2﹣9x＝﹣8， 二次线系数化为1，得：x2x＝﹣4， 配方，得：x2x+（）2＝﹣4+（）2， 即：（x）2， ∴x±， ∴x， ∴原方程的解为：x1，x2； （3）判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×﹣（4）＝20＞0， ∴x， ∴原方程的解为：x1，x2； （4）移项，得：7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0， 提取公因式，得：（5x+2）（7x﹣6）＝0， ∴5x+2＝0或7x﹣6＝0， 由5x+2＝0解得：x， 由7x﹣6＝0解得：x； ∴原方程的解为：x1，x2． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的四种解法是解答此题的关键． 【作业 10】（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤求解即可； （2）利用公式法解方程的基本步骤求解即可； （3）利用直接开平方法，求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+8x﹣2＝0， x2+8x＝2 x2+8x+42＝2+16，即（x+4）2＝18． ， 解得，； （2）2x2﹣3x﹣4＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41， ∴， 解得，； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2， （2x﹣2）2＝（x+2）2 2x﹣2＝x+2或2x﹣2＝﹣x﹣2， 解得x1＝0，x2＝4； （4）（x﹣5）2+4x＝20， （x﹣5）2+4x﹣20＝0， （x﹣5）2+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，配方法及公式法是解题的关键． 【作业 11】（2026秋•小店区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）4（x﹣1）2＝25； （3）x2﹣8x﹣1＝0； （4）2x2+6x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3； （2）4（x﹣1）2＝25， （x﹣1）2， ∴x﹣1或x﹣1， ∴x1，x2； （3）x2﹣8x﹣1＝0， x2﹣8x＝1， x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17， ∴x﹣4或x﹣4， ∴x1＝4，x2＝4； （4）2x2+6x﹣1＝0， ∵b2﹣4ac＝62﹣4×2×（﹣1）＝44＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【作业 12】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）4（x﹣5）2＝16， （x﹣5）2＝4， x﹣5＝±2， x1＝7，x2＝3； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10， （3x﹣5）2﹣2（3x﹣5）＝0， （3x﹣5）[（3x﹣5）﹣2]＝0， （3x﹣5）（3x﹣7）＝0， 3x﹣5＝0或3x﹣7＝0， ，； （3）x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， ， ，； （4）3x2+2x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，直接开平方法，配方法及公式法是解题的关键． 【作业 13】（2026春•高新区校级月考）解方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5； （2）． 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5， x2﹣2x﹣3﹣2x+5＝0， x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， 则x﹣2， 所以； （2）， 2x﹣4+2（2x﹣1）＝﹣3， 2x﹣4+4x﹣2＝﹣3， 2x+4x＝﹣3+4+2， 6x＝3， x， 当x时，2x﹣1＝0， 所以x是增根，原方程无解． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解分式方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及解分式方程的步骤是解题的关键． 【作业 14】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0． Δ＝4+24＝28， ∴x， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，确定判别式正负是解此题的关键，难度适中． 【作业 15】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解一元二次方程的概念，能识别并化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） · · 理解方程的根的意义，会用整体代入、换元法求代数式的值 · · 掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 · · 掌握配方法和公式法，会推导并使用求根公式 · · 能根据方程特点选择合适的解法，并解决三角形、新定义等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程叫一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数、b一次项系数、c常数项 a≠0是关键条件，若a=0就退化为一次方程 判断前要先化简整理，分式方程、含两个未知数的都不是 概念辨析例题：方程(a-1)x|a|+1-2x-7=0是一元二次方程，求a 解析：需|a|+1=2且a-1≠0，解得a=±1，又a≠1，故a=-1 ☆ 2.一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根 已知一个根，把它代入方程可求待定系数 整体代入：根满足ax2+bx=-c，据此求代数式的值 换元思想：a(x+h)2+b(x+h)+c=0的根是原方程根减h 概念辨析例题：已知m是方程x2-2x-3=0的根，求m2-2m+2020的值 解析：由根定义m2-2m-3=0，故m2-2m=3，原式=3+2020=2023 ☆ 3.直接开平方法与因式分解法 直接开平方法：形如x2=p或(x+m)2=p（p≥0），直接开方得x=± 因式分解法：把方程一边化为两个一次因式乘积等于0 常用因式分解：提公因式法、平方差、十字相乘法 注意：两边同除含未知数的式子前，要先确认它不为0 概念辨析例题：解方程2x2-7x+3=0 解析：十字相乘(2x-1)(x-3)=0，得2x-1=0或x-3=0 ☆ 4.配方法与公式法 配方法：移项→二次项系数化1→两边加一次项系数一半的平方→写成(x+m)2=p 求根公式：x=（b2-4ac≥0） 判别式Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 解法选择：能开方、能因式分解的优先，否则用公式或配方 概念辨析例题：用公式法解方程3x2+2x-2=0 解析：a=3,b=2,c=-2，Δ=4+24=28，x== 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0 一般式 二次项、一次项、常数项 先化简再判断 方程的根 代入使等式成立 整体代入求值 直接开平方法 (x+m)2=p→x=-m± p≥0 因式分解法 ab=0则a=0或b=0 不可随意约去含x因式 配方法 加一次项系数一半的平方 先把二次项系数化1 求根公式 x= Δ≥0时使用 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） · · 先化简整理再判断未知数个数和次数 · · 必须是整式方程，分式方程排除 · · 二次项系数a≠0 · · 由次数条件列方程、系数≠0列不等式 1．（2022秋•新市区校级期中）下列是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x﹣2＝（x﹣1）x C．x（x+2）＝x（x﹣2） D． 2．（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 3．（2026春•沂源县期末）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•邻水县期末）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 _______ ． 5．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是_____________ ． 【考点2】一元二次方程的根（第6-9题） · · 已知根直接代入方程求待定系数 · · 代数式求值用整体代入降次 · · 换元方程看括号内整体等于原根 · · 公共解问题三式相加再分类讨论 6．（2025•田家庵区校级自主招生）已知a、b、c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解，则代数式的值为_________ ． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为_____ ． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 9．（2025秋•石峰区期末）已知a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值． 【考点3】直接开平方法（第10-13题） · · 把方程化为(x+m)2=p形式 · · 开方时别漏负根 · · 两根互为相反数可列方程求参数 · · 新定义题先按规则化简为开方形式 10．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则__________________ ． 11．（2025秋•虹口区校级期中）对实数a、b，定义运算a*b＝ab2，已知3*m＝18，则m的值为________________ ． 12．（2025秋•秦淮区期末）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 13．（2025秋•九台区月考）用直接开平方法解方程： （1）（x+3）2﹣121＝0； （2）3（2x﹣6）2＝18． 【考点4】因式分解法（第14-23题） · · 右边化0，左边分解为两因式乘积 · · 提公因式注意含x的项不要直接约掉 · · 十字相乘优先尝试 · · 等腰三角形根要检验三边关系 14．（2023秋•南海区月考）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2020+m2﹣2m的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 15．（2025秋•南京期末）方程x2＝x的根为 ______________ ． 16．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 _____ 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 17．（2025秋•昆山市校级月考）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根，则该等腰三角形的周长为_______ ． 18．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 ______________ ． 19．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是_____ ． 20．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 21．（2025秋•雁塔区校级月考）解方程： （1）2x2﹣7x+3＝0； （2）． 22．（2026春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 23．（2026•镜湖区校级一模）解方程：x2﹣8x+12＝0． 【考点5】配方法（第24-30题） · · 常数项移到等号右边 · · 二次项系数化1后再配方 · · 两边同时加一次项系数一半的平方 · · 配方后写成完全平方再开方 24．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 25．（2025秋•皮山县期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 26．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝_____ ． 27．（2025秋•白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0． 28．（2024秋•长安区月考）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 30．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【考点6】公式法与综合应用（第31-38题） · · 先算Δ=b2-4ac判断根的情况 · · 代入求根公式x= · · 新定义、Max问题按范围分类讨论 · · 三角形边长问题代入根判断形状 31．（2025秋•云南期中）如图，是佳佳用配方法解方程2x2+8x﹣6＝0时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（　　） 2x2+8x﹣6＝0 解：x2+4x﹣3＝0，① x2+4x+22﹣3＝0，② （x+2）2＝3，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 32．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 33．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝__________________ ． 34．（2026春•海淀区校级期末）若2是关于x的一元二次方程ax2+4ax﹣2＝0（a≠0）的一个根，则一元二次方程a（x﹣1）2+4a（x﹣1）﹣2＝0的根为_______________ ． 35．（2024秋•郓城县期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x的解为 ________ ． 36．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 37．（2026秋•同步）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）若x＝﹣2是该方程的一个根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，求该一元二次方程的根． 38．（2025春•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断一元二次方程先化简，牢记a≠0这一硬条件 · · 见到方程的根，优先整体代入降次，不要急着求根 · · 解方程先看能否直接开平方或因式分解，能简则简 · · 配方法关键是「加一次项系数一半的平方」，两边同时加 · · 公式法万能但先算Δ，Δ<0时无实数根 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【作业 2】（2026春•江北区期末）将一元二次方程2x﹣x（x﹣3）＝3化为一般形式，正确的是（　　） A．5x﹣x2＝3 B．x2﹣5x＝﹣3 C．x2﹣5x+3＝0 D．5x﹣x2﹣1＝0 【作业 3】（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 【作业 4】（2025秋•喀什地区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣kx+1＝0是一元二次方程，则k的值为_______ ． 【作业 6】（2025春•上城区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣c＝0有一个解为x＝2，则关于y的一元二次方程c一定有一个解为 ________ ． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为_______ ． 【作业 8】（2026春•虹口区校级月考）方程组只有两组实数解，则a＝_____ ． 【作业 9】（2023秋•碧江区 校级期中）按照指定方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝9（用直接开平方法）； （2）2x2﹣9x+8＝0（用配方法）； （3）x2﹣2x﹣4＝0（用求根公式法）； （4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）． 【作业 10】（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 【作业 11】（2026秋•小店区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）4（x﹣1）2＝25； （3）x2﹣8x﹣1＝0； （4）2x2+6x﹣1＝0． 【作业 12】（2026•东昌府区校级开学）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）（3x﹣5）2＝6x﹣10； （3）x2+4x+1＝0； （4）3x2+2x﹣3＝0． 【作业 13】（2026春•高新区校级月考）解方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5； （2）． 【作业 14】（2025秋•莲湖区校级月考）解一元二次方程：3x2+2x﹣2＝0． 【作业 15】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 第1页（共1页） 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