【杨初数】第五讲平行线分线段成比例专题复习2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

第五讲 平行线分线段成比例 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把四个实数成比例表示成：或者a：b=c：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。 等式两边同乘以bd，可得ad=bc，反过来等式ad=bc同除以bd，可得 2、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式，那么b叫做a、c的比例中项， 此时有。 4、比例式变形：或 ★知识点二：平行线分线段成比例 1. 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 2. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 3. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 题型一：比例性质 例1．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 变式练习 1．已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（  ） A． B． C． D． 例2（K值法）．若，则的值是________ ． 变式练习 1．若，则的值是_________． 2．已知a：2=b：3=c：4，则=_____． 3．若，则____． 例3．（合比性质）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 变式练习 1．已知a、b、c三条线段满足，若，则的值为（      ） A． B． C．3 D．6 2．已知，若，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 3．已知，若，则等于(    ) A． B． C． D． 例4．（分类）已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 变式练习 1．已知，则k的值为_________． 2．若成立，则的值为______． 3．若，则的值为_______． 4．若，则k的值为____________； 题型二：黄金分割 例1．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A． ① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 变式练习 1．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 2．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 4．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 题型三：由平行判断成比例的线段 例1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1．在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 例1．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 变式练习 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，点，分别在边、上，．已知，，则的长等于（    ） A．8 B．21 C．14 D．7 3．如图，在中，为边上一点，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 例2．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1．如图，，与相交于点．若，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例3．如图，两条直线被三条平行线所截，，求的长． 变式练习 1．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，．求的长． 2．如图，已知AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，求EF的长． 3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F，若，EF=6，求DE的长. 4．如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，求的长． 题型五：构造平行线截线求相关线段的长或比值 例1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 变式练习 1．如图，D、E是中边的两个三等分点，F是的中点，与交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D为中点，E在边上，的延长线交的延长线于点F，若，，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 3．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，E，D是BC边的三等分点，F是AC的中点，BF分别交AD，AE于点G，H，则BG∶GH∶HF等于(　　) 　 A．1∶2∶3 B．3∶5∶2 C．5∶3∶2 D．5∶3∶1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 平行线分线段成比例 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把四个实数成比例表示成：或者a：b=c：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。 等式两边同乘以bd，可得ad=bc，反过来等式ad=bc同除以bd，可得 2、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式，那么b叫做a、c的比例中项， 此时有。 4、比例式变形：或 ★知识点二：平行线分线段成比例 1. 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 2. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 3. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 题型一：比例性质 例1．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 变式练习 1．已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了比例的性质，由得到，代入分式即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2．已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【分析】先将变形为，进而得出，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了比例的性质，将化简为，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．若，则的值是（  ） A． B． C． D． 【分析】先根据由比例的基本性质得到，再求解即可得到的值． 【详解】解：根据得到： ， 移项合并得：， 即：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，求出x与y的关系是解题的关键． 例2（K值法）．若，则的值是________ ． 4 【详解】解：设， ∴， ∴． 变式练习 1． 若，则的值是_________． 【分析】此题考查了比例的性质．由，设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故答案为：． 2． 已知a：2=b：3=c：4，则=_____． 【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【详解】根据题意，设a=2k，b=3k，c=4k，则， 故答案为． 【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 3． 若，则____． 【分析】本题主要考查了比例的性质， 根据题意设，，，（），在代入式子求解即可． 【详解】解：设，，，（）， ∴， 故答案为： 例3．（合比性质）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 变式练习 1．已知a、b、c三条线段满足，若，则的值为（      ） A． B． C．3 D．6 【分析】根据等比性质若，则，然后进行计算即可． 【详解】解：根据等比性质，则，又因为，所以． 故选： 【点睛】本题主要考查了等比性质，解题关键是掌握并应用等比性质． 2．已知，若，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．已知，若，则等于(    ) A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 例4． （分类）已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 4 【详解】解：设， ∴， ∴． 变式练习 1． 已知，则k的值为_________． 1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 2． 若成立，则的值为______． 【分析】分a+b+c=0与a+b+c≠0两种情况分别利用比例的性质进行求解即可． 【详解】当时，， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：1或－2． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 3． 若，则的值为_______． 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 4． 若，则k的值为____________； 【分析】根据题意可得，，，当时，当时，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， ， 当时，，则． 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查比例的性质，运用整体思想是解决本题的关键，要分两种情况求解． 题型二：黄金分割 例1．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A． ① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 变式练习 1．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 2．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 3.一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 4．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 题型三：由平行判断成比例的线段 例1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 变式练习 1．在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截、所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由平行线间对应线段的部分与整体的比例相等，即成立，不符合题意； B．由平行线间对应线段成比例，即成立，不符合题意； C．由平行线间整体与整体、部分与部分的比例相等，即成立，不符合题意； D．由平行线分线段成比例可得，即不成立，符合题意． 故选D． 2．如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选：A． 题型四：由平行截线求相关线段的长或比值 例1．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 变式练习 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝2，AB＝5，AC＝10， ∴， ∴AE＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是解题的关键． 2．如图，在中，点，分别在边、上，．已知，，则的长等于（    ） A．8 B．21 C．14 D．7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，先证明，由相似三角形的性质可得出， 结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 则， 故选∶C． 3．如图，在中，为边上一点，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据DE∥BC，可得，再根据AE=6可得EC=AE÷=10，进而可选出答案． 【详解】∵DE∥BC， ∴， ∵AE=6， ∴EC=AE÷=6×=10， 故选B． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 例2．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 变式练习 1．如图，，与相交于点．若，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理，根据已知线段长度，分别计算各选项中的比例关系，从而判断对错． 【详解】解：已知，，，，则， ，． A、由平行线分线段成比例，得​，不符合题意； B、由平行线分线段成比例，得，符合题意； C、由，设，则，；又，得，，因此，不符合题意； D、​，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是准确识别对应线段，利用比例关系进行计算． 例3．如图，两条直线被三条平行线所截，，求的长． 【分析】本题利用平行线分线段成比例定理，列出线段比例式，先求出的长度，再将与相加得到的长． 【详解】解：， ， ， ， 解得， ∴ 变式练习 1．如图，直线，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，．求的长． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为9． 2．如图，已知AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，求EF的长． 【分析】根据平行线分线段比例定理得到，即，解得EF=9. 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵=，DE＝6， ∴， ∴EF＝9． 【点睛】本题的考点是平行线分线段成比例.方法是根据已知条件列出相应的比例式，算出答案即可. 3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F，若，EF=6，求DE的长. 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可证得 ，再根据AB与AC的比值及EF的长，就可求出DE的长. 【详解】解:∵l1∥l2∥l3， ∴ 设DE=k，则DF=3k，EF=DF-DE=2k, ∵EF=6, ∴2k=6，解得k=3, ∴DE=3 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，根据定理得到比例式是解题的关键. 4．如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，求的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 题型五：构造平行线截线求相关线段的长或比值 例1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 变式练习 1．如图，D、E是中边的两个三等分点，F是的中点，与交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】解：过点作交于． ， 是的中点， ， 又、是的三等分点， ， ， 又 ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是过点作平行线构造相似三角形，转换线段比． 2．如图，在中，D为中点，E在边上，的延长线交的延长线于点F，若，，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】本题主要考查了考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键；过点B作,交于点,则,而,即可根据“”证明,则,由,求得,再证明,得,则,即可得解. 【详解】解：如图，作,交于点,则, 为中点， , 在和中， ， ， ， , , , , ， ， 故选：． 3．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 4．如图，在△ABC中，E，D是BC边的三等分点，F是AC的中点，BF分别交AD，AE于点G，H，则BG∶GH∶HF等于(　　) 　 A．1∶2∶3 B．3∶5∶2 C．5∶3∶2 D．5∶3∶1 【分析】作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解． 【详解】解：设BC=6a,则BD=DE=EC=2a,作FM∥BC交AE于点M， ∵F是AC的中点， ∴ ∵FM∥BC， ∴△BEH∽△FMH， ∴ 则 作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b， ∴△BDN∽△BCF， ∴ ∴ ∵DN∥AC， ∴△DNG∽△AFG， ∴ ∴,即 ∴ ∴ ∴ 故选：C. 【点睛】考查平行线分线段成比例, 三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $