第3讲 二次根式化简求值综合 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第3讲 二次根式化简求值综合 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 熟练进行二次根式的加减乘除及乘方混合运算 · · 会运用乘法公式（平方差、完全平方）简化根式计算 · · 掌握整体代入、配方变形等化简求值常用技巧 · · 能构造对偶式（共轭根式）去掉根号解决求值问题 · · 会用二次根式解决几何、实际情境与海伦-秦九韶公式等应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的混合运算 运算顺序与实数相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号 整式的运算律与乘法公式在根式运算中同样适用 乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2 结果必须化为最简二次根式，同类根式要合并 概念辨析例题：计算(+)(-)+(-1)2 解析：原式=(5-2)+(3-2+1)=3+4-2=7-2 ☆ 2.化简求值的常用技巧 整体代入：把已知条件变形为x+y、xy、x-y等关系式整体代入 配方法：如x2-4x+6=(x-2)2+2，再代已知的x-2 因式分解后求值：如x2y+xy2=xy(x+y) 先由被开方数非负求出字母具体值，再代入化简 概念辨析例题：已知x=2+，求x2-4x+6的值 解析：x-2=，原式=(x-2)2+2=()2+2=3+2=5 ☆ 3.对偶式（共轭根式）的应用 形如+与-称为一对对偶式 两者相乘=(+)(-)=a-b，能有效去掉根号 已知一个根式式的值，可由对偶式乘积为常数求另一个 分母有理化本质就是乘分母的对偶式 概念辨析例题：已知x=-，求x·y的值，其中y=+ 解析：x·y=(8-1)(8+1)=18-11=7 ☆ 4.二次根式的实际应用 几何问题：由面积、周长反求边长，常含常含化简 海伦-秦九韶公式：已知三边a,b,c，p=，面积S= 实际问题列方程后，边长常取算术平方根 规律探究题：把连根式凑成(n+1)2-n2等形式化简 概念辨析例题：三角形三边长为7、8、9，用海伦公式求面积 解析：p=12，S==20=12 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 混合运算顺序 先乘方开方→乘除→加减 有括号先算括号 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 对偶式相乘去根号 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项别漏2ab 整体代入 求x+y、xy、x-y后代入 先定x、y正负 配方法 x2-4x+6=(x-2)2+2 凑成已知根式的平方 海伦公式 S= p= 结果要求 化为最简二次根式 同类根式合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式混合计算（第1-13题） · · 先判断能否用乘法公式简化 · · 零指数、负指数、绝对值按定义算 · · 幂的逆运算把互为倒数的根式配对 · · 新定义题按规则逐层代入 1．（2024秋•新野县期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据完全平方公式对D选项进行判断． 【解答】解：A．3266，所以A选项不符合题意； B． ，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D． （）2＝5+22＝7+5，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 2．（2026秋•宝安区校级同步）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A、与的被开方数不同，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、与的被开方数不同，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3．（2025秋•龙海区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【解答】解：A、两者不是同类二次根式，不能相加，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 4．（2025秋•静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下： ①，正确，不符合题意； ②，正确，不符合题意； ③，正确，不符合题意； ④，错误，符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 5．（2026春•高青县期末）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．1 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出m的值，再代入等式求出n的值，最后根据二次根式的性质计算所求代数式的值即可． 【解答】解：由题意得， 解得m＝1， 把m＝1代入原等式，得0＝（1+n）2， 解得n＝﹣1， 当a≥0时，， ∵m﹣n＝1﹣（﹣1）＝2≥0， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键． 6．（2025秋•和平区校级期末）计算的结果是　　 ． 【分析】先变形，然后根据积的乘方的逆运算计算即可． 【解答】解： ＝（）2020•（）2020•（） ＝[（）（）]2020•（） ＝（2﹣3）2020•（） ＝（﹣1）2020•（） ＝1×（） ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟记运算公式是解题的关键． 7．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（）]＝　9　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2★[（﹣2）★（）] ＝2★[（﹣2）﹣（）2] ＝2★[（﹣2）﹣3] ＝2★（﹣5） ＝22﹣（﹣5） ＝4+5 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 8．（2026•崂山区校级一模）计算： 　　 ． 【分析】先根据完全平方公式计算，然后计算加减法即可． 【解答】解： ＝3﹣21+3 ＝（3+1）+（﹣23） ＝4， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9．（2026春•冠县期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘法，再算加减即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 10．（2025秋•绥江县期末）计算：． 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和实数的性质，绝对值意义进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 11．（2026•岷县校级模拟）计算：． 【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式2 ＝32 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 12．（2025秋•深圳校级期中）计算： （1）； （2）； （3）（3）； （4）． 【分析】（1）先化简每个二次根式，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）先化简每个二次根式，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）先根据零指数幂、算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）（3） ＝28； （4） ＝1 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（2025秋•闵行区月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以 （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：． 【分析】（1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴． （2）由（1）可知，则， 解得：x＝﹣5， 经检验，x＝﹣5是方程的根． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质与化简、平方差公式，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． 【考点2】二次根式化简求值（第14-25题） · · 先由被开方数非负定字母范围或具体值 · · 配方法凑成已知根式的完全平方 · · 整体代入x+y、xy，少走弯路 · · 注意x、y为负时=-·的符号 14．（2026春•慈溪市月考）若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质化简求解． 【解答】解：由条件可得， 由﹣b3≥0得b3≤0，即b≤0； 由（b﹣a）3≥0得b﹣a≥0，即a≤b， ∴a≤b≤0， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025春•西平县期末）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9， ∴x＜0，y＜0， ∴，， ∴原式 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 16．（2025秋•南皮县期末）若，，则m2﹣n2的值为（　　） A．14 B．7 C．4 D．2 【分析】先求出，m﹣n＝2，再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 17．（2026•锦江区校级模拟）已知，，那么代数式x2y+xy2的值 　2　 ． 【分析】先计算出x+y和xy的值，再把x2y+xy2因式分解得到xy（x+y），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x2，y2， ∴x+y＝2，xy＝5﹣4＝1， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×22． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算． 18．（2025秋•仓山区校级期末）已知，则x2﹣4x+6的值为　5　 ． 【分析】把所求式子变形为（x﹣2）2+2，再代入求值即可． 【解答】解：由条件可得x2﹣4x+6 ＝（x2﹣4x+4）+2 ＝（x﹣2）2+2 ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了代数式求值和完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2024秋•成都期末）已知，则代数式x2+2x+2的值为 　13　 ． 【分析】先表示出x+1的值，再将代数式利用完全平方公式进行变形为（x+1）2+1，再将数值代入即可求出结果． 【解答】解：∵， ∴x+1＝2． ∴x2+2x+2 ＝（x+1）2+1 ＝（2）2+1 ＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是将代数式进行变形为（x+1）2+1． 20．（2026春•淄川区期末）已知，则a2﹣4a+6的值为 　4　 ． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：a2﹣4a+6＝（a﹣2）2+2， ∵a＝2， ∴原式＝2+2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握配方法的应用． 21．（2026春•瓦房店市期末）已知：a，b满足，先化简，再求值． 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵a，b满足， ∴3a﹣2＝0，6﹣b＝0， 解得a，b＝6， ∴原式＝3 ＝3 ＝3 ＝6 ＝6． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，非负数的性质，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 22．（2026春•龙口市期中）已知对x+y＝﹣6，xy＝4，求的值． 【分析】利用二次根式的性质和异分母分式的加减法法则，先计算再代入求值． 【解答】解：∵x+y＝﹣6，xy＝4， ∴x＜0，y＜0． ∴ ＝3． 【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则二次根式的性质等知识点是解决本题的关键． 23．（2025•泉州校级模拟）已知，求代数式x2﹣4x﹣2的值． 【分析】先根据完全平方公式得出x2﹣4x+4﹣4﹣2＝（x﹣2）2﹣6，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴x2﹣4x﹣2 ＝x2﹣4x+4﹣4﹣2 ＝（x﹣2）2﹣6 ＝（2﹣2）2﹣6 ＝（）2﹣6 ＝5﹣6 ＝﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 24．（2026春•莱州市期中）若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值． 【分析】根据二次根式有意义的条件求得x，y的值，然后将原式化简后代入数值计算即可． 【解答】解：若x，y是实数，且， ∵6x﹣1≥0，1﹣6x≥0， ∴6x﹣1＝0， 解得：x， 则y＝0+0+48＝48， 原式＝（6x）﹣（4y） ＝6346 ＝﹣2． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 25．（2024春•惠州校级月考）若a，b为实数，且，，求ab+c的值． 【分析】利用二次根式性质确定a的值，从而确定b，c的值，代入求值即可． 【解答】解：∵a﹣1≥0，1﹣a≥0， ∴a＝1，b＝1，c＝16， ∴ab+c＝1+16＝17． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式性质是本题的解题关键． 【考点3】二次根式应用（第26-32题） · · 几何图形由面积反求边长 · · 实际问题按等量关系列方程 · · 海伦-秦九韶公式代入即算 · · 结果按题意化最简或估算 26．（2026春•潍坊校级期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90 【分析】根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【解答】解：由条件可知大长方形的长为， ∴小长方形的宽为， ∴大长方形的宽为325； 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的周长为， 大长方形的面积为， ∴选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键． 27．（2025春•霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． 【分析】根据题目所给公式代入计算即可． 【解答】解：根据题目所给公式可得：P＝12，， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． 28．（2025秋•黄浦区校级期末）不等式的解集为　　 ． 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【解答】解：原不等式移项，得． 合并同类项，得． ∵， ∴． ∴． 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2024秋•无棣县期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为　　 ． 【分析】根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【解答】解：∵a＝10，b＝12，c＝14， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 30．（2026春•盐山县期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（BC+AB） ， 答：长方形ABCD的周长是． （2）铺地砖的面积 ＝144﹣13 ＝131（m2）， 故购买地砖的花费为131×5＝655（元）， 答：购买地砖需要花费655元． 【点评】本题考查二次根式的应用，理解题意，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 31．（2025秋•东营区校级期中）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【解答】解：（1）∵“混天绫”围成一个面积为400 平方分米的正方形， ∴正方形的边长为20分米， ∴“混天绫”的总长度20×4＝80分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是80分米． （2）能，理由如下： 设长方形的长为5x分米，宽为3x分米， 依题意得 5x•3x＝285， 解得或， ∵x＞0， ∴， ∴长方形的长为分米，宽为分米， ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 32．（2023秋•同步）一个底面为30cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水，倒入一个底面为正方形，高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？（容器壁和铁桶的厚度，忽略不计）． 【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可． 【解答】解：设正方形铁桶的底面边长为xcm， 则10x2＝30×30×20， x2＝1800， 解得x＝30（cm）． 答：正方形铁桶的底面边长是30cm． 【点评】本题考查了二次根式的应用，根据倒出的水的体积等于铁桶的体积列出方程是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第33-36题） · · 把连根式凑成完全平方或平方差 · · 网格法、勾股定理作高求三角形面积 · · 阅读材料题先模仿再迁移 · · 高次多项式用降次、整体代入求值 33．（2025秋•二道区校级期中）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： 　10000　 ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【分析】（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000； （2）由所给的规律，可知，即可求解； （3）根据拼割前后两个图形的面积不变，可得正方形的边长，再由（1）的规律求解即可． 【解答】解：（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000， 故答案为：10000； （2）50， 故答案为：50； （3）根据题意可知，拼割前后两个图形的面积不变， ∴正方形的边长757， ∴大正方形的边长为757． 【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的等式，探索出一般规律，并灵活应用规律解决问题是解题的关键． 34．（2026春•四川校级期中）综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积． 实践探究： （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝5，，，△ABC的面积为　　 ．（直接写出答案） 继续探究： “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求这个三角形的面积； ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求这个三角形的面积． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）①根据海伦公式计算即可；②把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）设BD＝x，根据CD＝BC﹣BD，在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）由题意，△ABC 的面积， 故答案为：； （2）①由题意，∵， ∴； ②由题意，∵三边长依次为，，， ∴该三角形的面积 ； （3）设BD＝x，∵BC＝14， ∴DC＝14﹣x， ∵AD⊥BC， ∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9． ∴AD12， ∴S△ABCBC•AD14×12＝84． 【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键 35．（2026春•松滋市期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出a2﹣2a＝1，然后将a3﹣3a2+2a变形求值即可． 【解答】解：（1）由题意， ； 故答案为：； （2）原式 ＝22； （3）由题意，∵， ∴． ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴a3﹣3a2+2a ＝a（a2﹣3a+2） ＝a（a2﹣2a﹣a+2） ＝a（1﹣a+2） ＝a（3﹣a） ＝﹣a2+3a ＝﹣（a2﹣2a）+a ＝﹣1+a ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 36．（2025秋•金山区校级月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 解：根据，得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5． ∴x2﹣4x＝1． ∴x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： （1）已知，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知，求代数式x3﹣x2﹣26x+5的值． 【分析】（1）先将原式配方变形后，将x+2的值代入计算即可求出值； （2）把所求的式子变形为（x﹣1）（x2﹣26）﹣21，然后再把x﹣1和x2的值代入进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴， 原式＝（x2+4x+4）﹣14 ＝（x+2）2﹣14 ＝5﹣14 ＝﹣9； （2）原式＝x3﹣x2﹣26x+26﹣26+5 ＝x2（x﹣1）﹣26（x﹣1）﹣21 ＝（x﹣1）（x2﹣26）﹣21， ∵， ∴，， ∴原式 ＝6×1﹣21 ＝﹣15． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可； （3）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【练习 2】（2026春•皮山县期末）已知，，求代数式a2﹣b2的值． 【分析】先计算a+b与a﹣b的值，再利用平方差公式整体代入的计算即可． 【解答】解：∵，， ∴a+b＝2，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝22 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是关键． 【练习 3】（2026春•河北区期中）先化简，再求值：62x，其中x＝3． 【分析】先化简二次根式，再计算加减，最后将x＝3代入计算即可． 【解答】解：62x ， 将x＝3代入得：原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值．熟练掌握运算法则是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 混合运算先观察能否用乘法公式，能套公式就不硬算 · · 见到x=k±，立刻把多项式配方成(x-k)2整体代入 · · 已知x+y、xy时先定x、y正负，再决定去根号的符号 · · 对偶式乘积为常数，是求共轭根式值的关键桥梁 · · 应用题最后结果要按题意化最简，必要时做无理数估算 【作业 1】（2025秋•江汉区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义可以判断A、B；根据合并同类二次根式的方法可以判断C；根据二次根式的乘法可以判断D． 【解答】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； 不能合并，故选项B错误，不符合题意； 2，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 2】（2020秋•岳阳县期末）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为4cm， 2cm， ∴AB＝4cm，BC＝（24）cm， ∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16， ＝816﹣12﹣16， ＝（﹣12+8）cm2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长． 【作业 3】（2025秋•德化县期末）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形ABCD，正方形ABCD的面积为50，AE＝3，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，可以先计算出大正方形的边长，然后即可计算出BE的长，从而可以得到小正方形的边长，再计算小正方形的面积即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为50， ∴AB＝BC＝5， ∴BE＝532， ∴小正方形的边长为32，∴小正方形的面积为2， 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业 4】（2026•天津模拟）已知，，则x2﹣y2的值为　　 ． 【分析】先计算x+y和x﹣y的值，再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：∵，， ∴， ， ∴． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是观察已知数特征，求出x+y合x﹣y的值． 【作业 5】（2026春•河曲县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用立方根的定义，二次根式及绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式展开后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣（2）﹣（1）+3 ＝32﹣13 ＝7； （2）原式＝3+48﹣3+48 ＝8． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业 6】（2025春•厦门校级期中）计算：①　2　 ，②　　 ，③　10　 ，④　　 ． 【分析】根据二次根式的四则运算法则和化简方法求解即可． 【解答】解：根据二次根式的四则运算法则和化简方法可得： ①； ②； ③； ④； 故答案为：2；；10；． 【点评】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，熟练掌握运算法则是关键． 【作业 7】（2026春•渭源县校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为（a﹣b）2﹣ab，进而将已知数据代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ； （2）∵，， ∴a2﹣3ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝12﹣2 ＝10． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•鼓楼区校级期末）在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，立志中学八年7班学生以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 活动目标 已知三角形的长度，求三角形的面积 素材1 “毕达哥拉斯”小组的学生想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积． 素材2 “秦九韶”小组的学生想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中国数学家曾经进行过深入研究．南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． 素材3 “勾股定理”小组的学生经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．他们给出了解题思路：作AD⊥BC于D，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，求出AD的长，再计算三角形的面积． 任务1 在图1中，△ABC的三边长分别是AB＝5，，，△ABC的面积为　　 ． 任务2 一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，这个三角形的面积为　　 ． 任务3 根据素材3，求△ABC的面积． 【分析】任务1：利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答； 任务2：利用秦九韶公式即可解答； 任务3：设CD＝x，则BD＝14﹣x，利用勾股定理列方程，可得CD的长，再计算AD的长，即可解答． 【解答】解：任务1：△ABC的面积为； 故答案为：； 任务2：根据秦九韶公式可得这个三角形的面积为； 故答案为：； 任务3：设CD＝x，则BD＝14﹣x， ∵AD⊥BC， ∴在直角三角形ADC中，AD2＝AC2﹣CD2， 在直角三角形ADB中，AD2＝AB2﹣BD2， 可得方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， 解得x＝5， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 二次根式化简求值综合 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 熟练进行二次根式的加减乘除及乘方混合运算 · · 会运用乘法公式（平方差、完全平方）简化根式计算 · · 掌握整体代入、配方变形等化简求值常用技巧 · · 能构造对偶式（共轭根式）去掉根号解决求值问题 · · 会用二次根式解决几何、实际情境与海伦-秦九韶公式等应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的混合运算 运算顺序与实数相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号 整式的运算律与乘法公式在根式运算中同样适用 乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2 结果必须化为最简二次根式，同类根式要合并 概念辨析例题：计算(+)(-)+(-1)2 解析：原式=(5-2)+(3-2+1)=3+4-2=7-2 ☆ 2.化简求值的常用技巧 整体代入：把已知条件变形为x+y、xy、x-y等关系式整体代入 配方法：如x2-4x+6=(x-2)2+2，再代已知的x-2 因式分解后求值：如x2y+xy2=xy(x+y) 先由被开方数非负求出字母具体值，再代入化简 概念辨析例题：已知x=2+，求x2-4x+6的值 解析：x-2=，原式=(x-2)2+2=()2+2=3+2=5 ☆ 3.对偶式（共轭根式）的应用 形如+与-称为一对对偶式 两者相乘=(+)(-)=a-b，能有效去掉根号 已知一个根式式的值，可由对偶式乘积为常数求另一个 分母有理化本质就是乘分母的对偶式 概念辨析例题：已知x=-，求x·y的值，其中y=+ 解析：x·y=(8-1)(8+1)=18-11=7 ☆ 4.二次根式的实际应用 几何问题：由面积、周长反求边长，常含化简 海伦-秦九韶公式：已知三边a,b,c，p=，面积S= 实际问题列方程后，边长常取算术平方根 规律探究题：把连根式凑成(n+1)2-n2等形式化简 概念辨析例题：三角形三边长为7、8、9，用海伦公式求面积 解析：p=12，S==20=12 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 混合运算顺序 先乘方开方→乘除→加减 有括号先算括号 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 对偶式相乘去根号 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项别漏2ab 整体代入 求x+y、xy、x-y后代入 先定x、y正负 配方法 x2-4x+6=(x-2)2+2 凑成已知根式的平方 海伦公式 S= p= 结果要求 化为最简二次根式 同类根式合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式混合计算（第1-13题） · · 先判断能否用乘法公式简化 · · 零指数、负指数、绝对值按定义算 · · 幂的逆运算把互为倒数的根式配对 · · 新定义题按规则逐层代入 1．（2024秋•新野县期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•宝安区校级同步）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•龙海区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026春•高青县期末）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．1 6．（2025秋•和平区校级期末）计算的结果是____________________ ． 7．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a，b（a≠b）．当a＞b时，a★b＝a2﹣b，当a＜b时，a★b＝a﹣b2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（）]＝_____ ． 8．（2026•崂山区校级一模）计算： _________________ ． 9．（2026春•冠县期中）计算： （1）； （2）． 10．（2025秋•绥江县期末）计算：． 11．（2026•岷县校级模拟）计算：． 12．（2025秋•深圳校级期中）计算： （1）； （2）； （3）（3）； （4）． 13．（2025秋•闵行区月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以 （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：． 【考点2】二次根式化简求值（第14-25题） · · 先由被开方数非负定字母范围或具体值 · · 配方法凑成已知根式的完全平方 · · 整体代入x+y、xy，少走弯路 · · 注意x、y为负时=-·的符号 14．（2026春•慈溪市月考）若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 15．（2025春•西平县期末）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 16．（2025秋•南皮县期末）若，，则m2﹣n2的值为（　　） A．14 B．7 C．4 D．2 17．（2026•锦江区校级模拟）已知，，那么代数式x2y+xy2的值 ________________ ． 18．（2025秋•仓山区校级期末）已知，则x2﹣4x+6的值为_____ ． 19．（2024秋•成都期末）已知，则代数式x2+2x+2的值为 _______ ． 20．（2026春•淄川区期末）已知，则a2﹣4a+6的值为 _____ ． 21．（2026春•瓦房店市期末）已知：a，b满足，先化简，再求值． 22．（2026春•龙口市期中）已知对x+y＝﹣6，xy＝4，求的值． 23．（2025•泉州校级模拟）已知，求代数式x2﹣4x﹣2的值． 24．（2026春•莱州市期中）若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值． 25．（2024春•惠州校级月考）若a，b为实数，且，，求ab+c的值． 【考点3】二次根式应用（第26-32题） · · 几何图形由面积反求边长 · · 实际问题按等量关系列方程 · · 海伦-秦九韶公式代入即算 · · 结果按题意化最简或估算 26．（2026春•潍坊校级期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90 27．（2025春•霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． 28．（2025秋•黄浦区校级期末）不等式的解集为____________________ ． 29．（2024秋•无棣县期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为_________________ ． 30．（2026春•盐山县期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 31．（2025秋•东营区校级期中）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 32．（2023秋•同步）一个底面为30cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水，倒入一个底面为正方形，高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？（容器壁和铁桶的厚度，忽略不计）． 【考点4】创新及压轴题（第33-36题） · · 把连根式凑成完全平方或平方差 · · 网格法、勾股定理作高求三角形面积 · · 阅读材料题先模仿再迁移 · · 高次多项式用降次、整体代入求值 33．（2025秋•二道区校级期中）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： __________ ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 34．（2026春•四川校级期中）综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积． 实践探究： （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝5，，，△ABC的面积为___________________ ．（直接写出答案） 继续探究： “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求这个三角形的面积； ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求这个三角形的面积． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 35．（2026春•松滋市期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）_________________ ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 36．（2025秋•金山区校级月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 解：根据，得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5． ∴x2﹣4x＝1． ∴x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： （1）已知，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知，求代数式x3﹣x2﹣26x+5的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【练习 2】（2026春•皮山县期末）已知，，求代数式a2﹣b2的值． 【练习 3】（2026春•河北区期中）先化简，再求值：62x，其中x＝3． 💯 课后巩固 复习建议 · · 混合运算先观察能否用乘法公式，能套公式就不硬算 · · 见到x=k±，立刻把多项式配方成(x-k)2整体代入 · · 已知x+y、xy时先定x、y正负，再决定去根号的符号 · · 对偶式乘积为常数，是求共轭根式值的关键桥梁 · · 应用题最后结果要按题意化最简，必要时做无理数估算 【作业 1】（2025秋•江汉区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2020秋•岳阳县期末）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【作业 3】（2025秋•德化县期末）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形ABCD，正方形ABCD的面积为50，AE＝3，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【作业 4】（2026•天津模拟）已知，，则x2﹣y2的值为_________________ ． 【作业 5】（2026春•河曲县期末）计算： （1）； （2）． 【作业 6】（2025春•厦门校级期中）计算：①_____ ，②________________ ，③_______ ，④_________________ ． 【作业 7】（2026春•渭源县校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【作业 8】（2025秋•鼓楼区校级期末）在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，立志中学八年7班学生以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 活动目标 已知三角形的长度，求三角形的面积 素材1 “毕达哥拉斯”小组的学生想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积． 素材2 “秦九韶”小组的学生想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中国数学家曾经进行过深入研究．南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． 素材3 “勾股定理”小组的学生经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．他们给出了解题思路：作AD⊥BC于D，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，求出AD的长，再计算三角形的面积． 任务1 在图1中，△ABC的三边长分别是AB＝5，，，△ABC的面积为___________________ ． 任务2 一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，这个三角形的面积为____________________ ． 任务3 根据素材3，求△ABC的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $