2026-2027学年北师大版八年级上学期数学第一次月考模拟卷2

2026-2027学年八年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初二上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 2．在3.14，，0.1010010001…，0.323，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，． 3.14，0.323是有限小数，是有理数． ，是整数，是有理数． 是分数，是有理数． ，是无限不循环小数，是无理数． 综上可知，无理数共有2个． 3．下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． 4．马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】依题意，根据勾股定理可得点A与点B之间的距离是． 5．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 6．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，由对称性得出，利用点表示的数减去的长即可求出点表示的数． 【详解】解：∵点、表示的数分别为和， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 7．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可． 【详解】解：在中，， ∴． 8．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的变形求值即可． 【详解】解：由题意得：，则大正方形的边长为， ∵小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 综上所述：说法正确的有①②③④． 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A：∵， 整理得：， ∴此选项不符合题意； B：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； C：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； D：∵， ∴此选项符合题意. 故选：D. 10．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 11．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 12．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 14．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 15．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】 本题考查了列方程解决实际问题，此处可将问题抽象成直角三角形，折断后的竹子和抵地处离竹子底部的距离为直角边，折断的另一部分竹子为斜边，设折断后的竹子高度为尺，则斜边为尺，根据题意由勾股定理列方程即可． 【详解】略 16．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算：_____； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则_____． 【答案】 4 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，即可得到答案； （2）据此类推， ；再计算即可． 【详解】解：（1）如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 故答案是：4； （2）由（1）可知，这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ； ． 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，规律探索，熟练掌握以上知识点并找到规律是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答； （2）先运算乘方以及根据二次根式的性质化简，运算除法，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，在中，，且． (1)的面积； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理和直角三角形的面积计算方法， （1）先利用勾股定理求出，根据直角三角形的面积公式即可求得答案； （2）根据三角形的面积等于底乘高即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 19．阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 20．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据已知等式总结规律即可； （2）①利用所得规律计算即可； ②利用所得规律计算即可； （3）根据题意列式后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）解：由已知等式可得当时，； （2）解：①原式 ； ②原式 ； （3）解： ， 即长方形的面积为15． 21．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 22．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 23．【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）略 （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初二上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．在3.14，，0.1010010001…，0.323，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 4．马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1.5 B．2 C．3 D． 8．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 10．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 11．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 12．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，，则______． 14．计算：__________． 15．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 16．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算：_____； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则_____． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，在中，，且． (1)的面积； (2)的长． 19．阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 20．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 21．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 22．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 23．【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $