第一章 特殊平行四边形（单元自测卷·四川成都专用）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第十三章 三角形（参考答案） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C D B A B 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．2026 10．18 11． 12．12 13． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．【详解】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为．................8分 15．【详解】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积．................8分 16．【详解】 证明：∵四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ， 即．................8分 17．【解析】(1)如图所示，下图即为所求； (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． (3)猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． （3）根据前面的作图和证明过程即可得出猜想的结论． 【详解】（1）解：分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，； （2）略 （3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形．................10分 18．【详解】（1）如图，令则，即，令则，即． 将沿轴翻折得到（点B与点C是对应点）， ， 设直线的解析式为，把和代入直线解析式中 ，解得， 直线解析式为；................2分 （2）如图，过点P作，垂足为点R，过点P作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， 设， ∴，． ， ，即， 则；................6分 （3）如图，在x轴的负半轴上取一点M，使，过点M作的垂线，垂足为点，连接． ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 设则， 在Rt中，， ， 解得 ，即．................9分 在上取一点，使，作垂足为，设，则 ． ， 设则 在中， 在中， ， （舍负）， 则，则 设直线解析式为，将点，点，代入得 ，解得 直线的解析式．................12分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 20. 21.3 22. 23. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．【详解】【详解】（1）解：矩形的对角线相交于点， 点是和的中点， 点到的距离为. 由题意可知， 点的运动时间为时 .................3分 （2）解：是正比例函数， ，随的增大而增大. 在范围内，当时，的值最大， .................8分 25．【详解】(1)解：3个不同形状的等邻边四边形如图所示． ................2分 (2)解：四边形和四边形都是等邻边四边形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ∴四边形和四边形都是等邻边四边形．................5分 （3）解：分三种情况讨论： ①∵在中，，，， ∴， ∵点M是边上一点，四边形是“等邻边四边形”， ∴当时，；................7分 ②∵，D是的中点， ， 当时，如图3，作于H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ；................9分 ③当时，如图4，作于H， 设， 由②得，， 则， 在中，， 即， 解得，即， ； 综上所述，的长为4或6或．................10分 26．【详解】(1)等边三角形， 理由：如图，连接， 矩形纸片， ， 折叠， 垂直平分，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形；................3分 （2）解：①正方形， ，， 折叠， ，， ，， 又， ， ， 同（1）理可得，， ， ， ................6分 ②正方形纸片边长为， ，， 折叠， ，， 由①可知，， ， 设，则， 如图，当点在点下方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即；................9分 如图，当点在点上方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的值为或．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．菱形的对角线相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质与判定，以及平行四边形的判定定理，逐个判断选项即可得到正确结论. 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：∵对角线互相垂直的四边形不能判定为矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴A错误，不符合题意； B选项：∵菱形本身对角线互相垂直平分，增加对角线相等的条件后，满足正方形的判定要求，∴对角线相等的菱形是正方形，B正确，符合题意； C选项：∵菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，∴C错误，不符合题意； D选项：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，∴D错误，不符合题意. 2．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 故选：B． 3．如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 4．在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正方形的性质求线段长，直角三角形全等的判定定理，灵活运用勾股定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理和勾股定理是解题的关键． 根据题意先求出的值，再逐个去判断． 【详解】解：设，则， 在正方形中， ， ， 由题意可知， 在正方形中， ， 在和中 ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， A、，不是定值，故A不符合题意； B、，不是定值，故B不符合题意； C、，不是定值，故C不符合题意； D、，是定值，故D符合题意； 故选：D． 6．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得点是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】在菱形中，为对角线与的交点， 是的中点， 为边上的高， ， 在中，是斜边上的中线， ． 7．如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，正方形的面积为13，，，，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，证明，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 【答案】2026 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求解即可 【详解】解：∵，互相垂直，即， 又∵点为公路的中点， ∴ ． 10．已知菱形，，，则_______． 【答案】18 【分析】利用菱形四边相等得到底边长，再求出对应高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 过点作于点O， 在中，，， ， ． 11．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出是等腰三角形是解题的关键． 过点作于点，根据四边形是菱形可知，可得出是等腰三角形，即可得到，再根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ∴， ， 故答案为． 12．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解． 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， 又， ， 故答案为：． 13．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则________． 【答案】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，连接，．根据四边形的面积=四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的面积， ∴的面积， ∴的面积， ∴四边形的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积=四边形的面积的面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 【答案】 【分析】剩余铁皮的面积等于原矩形铁皮的面积减去4个剪去的小正方形的面积，利用矩形和正方形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为． 15．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 16．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】 证明：∵四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ，即． 【详解】略 17．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目： (1)如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形． (3)进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论． 【答案】(1) 如图所示，下图即为所求； (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． (3)猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． （3）根据前面的作图和证明过程即可得出猜想的结论． 【详解】（1）解：分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两侧，过两弧交点作直线，分别交，于点E，F，连接，； （2）略 （3）猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 18．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，将沿y轴翻折得到（点B与点C是对应点）． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点P在线段上（点P不与A、C重合），过点P作的垂线，垂足为点Q，交于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点E，连接和交于点F，若，，点G为延长线上一点，连接和，使，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图，令则，即，令则，即． 将沿轴翻折得到（点B与点C是对应点）， ， 设直线的解析式为，把和代入直线解析式中 解得， 直线解析式为； （2）如图，过点P作，垂足为点R，过点P作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， 设， ∴，． ， ，即， 则； （3）如图，在x轴的负半轴上取一点M，使，过点M作的垂线，垂足为点，连接． ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 设则， 在Rt中，， ， 解得 ，即． 在上取一点，使，作垂足为，设，则 ． ， 设则 在中， 在中， ，（舍负），则，则 设直线解析式为，将点，点，代入得 ，解得，直线的解析式． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函关系式，矩形的判定和性质，正切，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例，准确的作出辅助线是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半，代入计算化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：菱形的面积为． 20．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据正方形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到坐标． 【详解】解：在正方形中， ∵对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是， ∴， 将正方形沿轴向右平移3个单位长度， ∴， 故答案为：． 21．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形性质、三角形中位线的判定和性质、垂线段最短等知识点，求得当P、D重合时，最小，即可求得有最小值是解题的关键． 如图：连接，根据矩形性质可得，根据三角形中位线的判定和性质可得，继而根据两点之间线段最短可得当P、D重合时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，有最小值， ∵当P、D重合时，最小，有最小值， ∴, ∴的最小值为3． 故答案为：3． 22．如图，四边形为菱形，，在内作射线，使得过点D作，垂足为F，若，则对角线的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．连接交于H，证明，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度． 【详解】解：如图，连接交于点H， 由菱形的性质得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值， 最小值为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数解析式的求法，最大值的求法，理解相关知识是解答关键. （1）根据矩形的性质求出点到的距离，由题意求出的长度，再利用三角形面积公式求解； （2）根据函数关系式，结合正比例的最大值的求法来求解. 【详解】（1）解：矩形的对角线相交于点， 点是和的中点， 点到的距离为. 由题意可知， 点的运动时间为时 . （2）解：是正比例函数， ，随的增大而增大. 在范围内，当时，的值最大， . 25．我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 【答案】(1)解：3个不同形状的等邻边四边形如图所示． (2)解：四边形和四边形都是等邻边四边形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ∴四边形和四边形都是等邻边四边形． (3)4或6或 【分析】（1）因为“等邻边四边形”要求有一组邻边相等的凸四边形，所以先确定的长度，再分别令等邻边相等情况，结合网格格点坐标特征确定D点位置，保证四边形为凸四边形． （2）先根据矩形性质得到，结合，用勾股定理求出长度，得到长度．再利用的相等关系，判断是否为等邻边四边形． （3）先根据的角度和边长条件，求出的长度，再得到的长度．因为等邻边四边形是，所以分三种邻边相等的情况讨论：，结合点M在上的条件，对符合的情况用含的直角三角形，勾股定理，线段的和差关系求出长度． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：分三种情况讨论： ①∵在中，，，， ∴， ∵点M是边上一点，四边形是“等邻边四边形”， ∴当时，； ②∵，D是的中点， ， 当时，如图3，作于H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ③当时，如图4，作于H， 设， 由②得，， 则， 在中，， 即， 解得，即，； 综上所述，的长为4或6或． 26．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)等边三角形， 理由：如图，连接， 矩形纸片， ， 折叠， 垂直平分，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)①；②或． 【分析】（1）连接，由折叠的性质先证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得出，即可判断的形状； （2）①证明，得到，同（1）理可得，，则，即可得解； ②设，再分两种情况讨论：当点在点下方和上方时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①正方形， ，， 折叠， ，， ，， 又， ， ， 同（1）理可得，， ， ， ②正方形纸片边长为， ，， 折叠， ，， 由①可知，， ， 设，则， 如图，当点在点下方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 如图，当点在点上方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．菱形的对角线相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 3．如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 4．在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的面积为13，，，，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 10．已知菱形，，，则_______． 11．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是___________． 12．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为___________． 13．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 15．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 16．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 17．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目： (1)如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形． (3)进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论． 18．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，将沿y轴翻折得到（点B与点C是对应点）． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点P在线段上（点P不与A、C重合），过点P作的垂线，垂足为点Q，交于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点E，连接和交于点F，若，，点G为延长线上一点，连接和，使，求直线的解析式． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 20．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____． 21．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为______． 22．如图，四边形为菱形，，在内作射线，使得过点D作，垂足为F，若，则对角线的长为_______． 23．如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 25．我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 26．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．菱形的对角线相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 3．如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 4．在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的面积为13，，，，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 10．已知菱形，，，则_______． 11．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若，则点的坐标是___________． 12．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为___________． 13．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 15．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 16．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 17．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成下列题目： (1)如图，在矩形中，点O是对角线的中点，用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形． (3)进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论． 18．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，将沿y轴翻折得到（点B与点C是对应点）． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点P在线段上（点P不与A、C重合），过点P作的垂线，垂足为点Q，交于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点E，连接和交于点F，若，，点G为延长线上一点，连接和，使，求直线的解析式． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为________． 20．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是_____． 21．如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为______． 22．如图，四边形为菱形，，在内作射线，使得过点D作，垂足为F，若，则对角线的长为_______． 23．如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 25．我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 26．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $