第一章 特殊平行四边形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第一章特殊平行四边形单元卷，整合多地期末及中考真题，覆盖矩形、菱形、正方形性质判定及几何变换，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊平行四边形共性（如第1题对角线平分）、性质应用（如第3题矩形角度计算）|基础巩固，结合图形辨析| |填空题|6/18|正方形边长（第11题）、菱形面积（第12题）、矩形动态问题（第16题）|聚焦核心公式，渗透空间观念| |解答题|9/72|证明（第17题菱形与平行四边形转化）、综合探究（第24题对角线关系）、文化情境（第9题方胜图案）|分层设计，融合推理能力与应用意识，对接中考命题趋势|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形邻角互补求出的度数，再根据菱形对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：当时，邻边相等，是菱形，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，由选项A可知，是菱形，不符合题意； 当时，对角线相等是矩形，不符合题意； 当时，对角线互相垂直是菱形，选项D判定错误，符合题意． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：菱形的对角线交于点， ， 是等边三角形， ， 点为的中点， ． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.6 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作于M，交于N，则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，从而得出． 【详解】解：如图，作于M，交于N， ∵四边形是矩形， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（   ）． A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用、是中点得到线段长度，再结合菱形边长用勾股定理列方程求出，进而得到正方形边长． 【详解】解：设正方形的边长为． 是中点，是中点， ． 观察图形，菱形的边可看作直角三角形斜边，两条直角边分别为正方形的边长、线段． 已知菱形边长， 由勾股定理：， ， ， 长度为正， ， 正方形边长． 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）“方胜”是中国传统吉祥纹样和文化符号，源于古代妇女的一种头饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是美好吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线的方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，结合题目条件即可得到的长度． 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ，， 由勾股定理得， ． 10．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③，④．其中正确结论有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，得到，即可判断①，角的和差关系得到，进而得到，即可判断②，假设，推出，与实际不相符，即可判断③，根据勾股定理求出，，即可判断④. 【详解】解：∵正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，， 若，则， ∵， ∴， ∴，与实际不相符， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确. 综上，正确的有3个. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 【详解】解：正方形中，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，结合已知条件利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积． 13．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线相等且互相平分，从而得到，结合判定为等边三角形，求出对角线长，再利用勾股定理求出矩形的另一边长，最后计算面积． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 矩形的面积． 14．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，已知，则__________°． 【答案】120 【分析】根据菱形性质得平分，进而得，根据三角形外角性质得，计算即可． 【详解】解：由题意得，在菱形中，平分， ， ， ， ， ． 15．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又， ． 又， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或4或 【分析】连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；当时，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以，当时，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或. 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形 (2)18 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可； （2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 18．（2026·贵州·中考真题）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质结合即可证明； （2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形 ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 19．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个以为边的矩形； (2)在图2中，作一个以为对角线的菱形． 【答案】(1)解：如图，矩形为所求； (2)解：如图，菱形为所求． 【分析】（1）连接，根据正六边形的性质，等边对等角，以及角的和差关系可知：，则矩形为所求； （2）连接，交于点，根据正六边形的性质，可得，均为等边三角形，可得，则菱形为所求． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，过点B作的平行线交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． (2)24 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）根据矩形的性质得出，利用勾股定理和三角形中位线定理求出和的长，从而求得三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵． ∴是的中位线， ∴， ∴． 21．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求长． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ， 点为中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形． (2)5 【分析】本题主要考查了菱形综合，熟练掌握菱形性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 根据菱形性质得到，结合中点性质得到，根据得到四边形为平行四边形，结合垂线性质，即可得出结论； 由菱形的性质得，，结合中点性质得到，中由勾股定理得到，由矩形的性质得到，，得到，中由勾股定理得到． 【详解】（1）略 （2）四边形为菱形， ，， ， 点为的中点， ， ，， ， 由(1)知，四边形是矩形， ，， ． 22．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，平分交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，则 ． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，根据平分，得出，即可证明四边形是正方形； （2）由（1）知四边形是正方形，则，，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明是等腰直角三角形， 最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是正方形，为正方形对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形，，，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴． 23．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，延长交的延长线于点，在边上取一点，连接，使为的角平分线． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若点将边分成的两部分，请求出的值． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ，， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ∴． (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定定理，即可得证； （2）根据矩形的性质、全等三角形的性质、角平分线的定义、等角对等边、正方形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）结合题意分情况讨论，再利用勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，． 为的角平分线， ． 由（1）可知，，，， ， ， ， 是以为底边的等腰三角形． ， ， 矩形为正方形， ． ， ， ． 设，则，， 在中，， ， 解得，即． （3）解：①当时， 设，则，，． ， ． 由（2）可知，， ， 在中，， ， 整理得，， 解得，（舍去负值）； ②当时， 设，则，，， ． ， ． ， 在中，， ， 整理得，， 解得（舍去负值）． 综上，或． 24．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是常用的数学思想，在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程： 【特例认识】 (1)如图1，在正方形中，对角线，相交于点O．求证：． (2)【初步探究】 如图2，四边形是菱形，试探究，与之间的数量关系． (3)【深入探究】 如图3，当四边形是平行四边形，则对角线，与边，之间的数量关系为________． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ，． 在中，由勾股定理可得， （负值已舍去）， ． (2)解：， ∵四边形是菱形， ，，， ． ． 即． (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，勾股定理证明即可． （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理证明即可． （3）过点D作于点E，过点C作，交的延长线于点F，证明，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 如图，过点D作于点E，过点C作，交的延长线于点F， ． ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ，． 在中，． 在中，， ， ． 25．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)解：四边形是正方形，理由如下， 由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． (2) (3)的长度为或 【分析】（1）利用对称的性质与矩形的性质求解即可； （2）根据勾股定理求出线段的长，再根据对称的性质得到，设，再利用勾股定理求解即可； （3）根据题意将点在线段上和在线段的延长线上分两类讨论，根据对称的性质与矩形的性质，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：见答案 （2）解：由对称的性质得， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． （3）解：情况1：当点在线段上，F，E，D三点共线时，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 情况2：当点在线段的延长线上，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 综上所述，的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章特殊平行四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)矩形、菱形、正方形都具有的性质是(） A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 2.(25-26八年级下·云南昭通期末)如图，在菱形ABCD中，∠C=110°，则∠ABD的度数是() A.20° B.35° C.40° D.70° 3.(25-26八年级下·云南昆明期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,如果 ∠ADB=32°，那么∠AOB的度数为() D A.32° B.45° C.58° D.64° 4.(25-26八年级下·安徽池州·期末)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中错误的是 () B A.当AB=AD时，它是菱形 B.当∠ABD=∠CBD时，它是菱形 C.当AC=BD时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 5.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O,点M为AB的中点，连接 118 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM.若AC=6,∠BAC=60°，则OM的长为() A D M B A1.5 B 3 c.35 D6 6.(25-26八年级下安徽阜阳期末)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若 AB=5,BC=8,则EF的长为() A D B A.1 B.2 C.1.5 D.1.6 7.(25-26八年级下·湖北宜昌期末)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC, 分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD.若AE=2，,PF=8.则图中阴影部分的面积是() D A.10 B.12 C.16 D.18 8.(25-26八年级下浙江绍兴期末)已知菱形ABCD的边长为2W5,按如图的方式，将其无重叠、无空 隙地剪拼成正方形EFGH,其中点B,D分别为EF，GH的中点，则正方形EFGH的边长为(). 25 A. B.4 C.25 D.5 9.(25-26八年级下·安徽池州期末)“方胜”是中国传统吉祥纹样和文化符号，源于古代妇女的一种头 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是美好吉祥，如图，将边长为8cm的正方形ABCD沿对角 线BD的方向平移8cm得到正方形A'B'CD,形成一个“方胜”图案，则B'D的长度为() B B下 D D C.8-4V2 D.&2-8 10.(25-26八年级下·山东德州期末)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等 边三角形，连接4C交EF于G,下列结论：①BE:DF,②∠DHF=15,@BE+DF-F,④ CF:AG=2:3 其中正确结论有()个 D E A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,(25-26八年级下河南周口期末)正方形对角线BD的长是 V2, 则正方形边长B为】 C 12.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，在菱形ABCD中，若AB=AC=6,则菱形ABCD的面积是 318 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 13.(25-26八年级下·河南周口期末)己知矩形对角线夹角∠AOB=60°，较短边AB=4,则矩形面积为- A 14.如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交对角线BD于点E,已知∠ABC=60°，则∠DEC= E 15.在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形CDEF按如图所示的方式放置在x轴的上方，其中 A(-4,2）D(7,0 ,则点E的坐标为 D 16.(25-26八年级下江西上饶期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E为BC边的中点，点 P在AD边上运动，F为BP的中点，当△BEF为等腰三角形时，AP的长为一 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下·安徽毫州期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作 对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. D A (I)证明：四边形ACDE是平行四边形： (2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长. 18.(2026贵州中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE,CE B (I)求证：△ABE≌△DCE: (2)若正方形ABCD的边长为4，求△BCE的周长， 19.(25-26八年级下·江西南昌期末)如图，是一正六边形ABCDEF,请你仅用无刻度的直尺，分别按 照下列要求作图（保留作图痕迹）· A B D 图1 图2 (1)在图1中，作一个以BD为边的矩形： (2)在图2中，作一个以BD为对角线的菱形. 518 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布期末)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O 作OF∥BC,交CD于点F,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E,连接OE D C (I)求证：BD=BE: (2)若BE=10,CE=6,求△ODE的面积 21.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB, OG∥EF D 0 B (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AD=10,EF=4,求OE长. 22.(25-26八年级下·河南许昌·期末)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,EF⊥AD 于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. D (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE=2,则OD=_ AD 23.(25-26八年级下·云南昭通期末)如图，在矩形ABCD中，AB k,E为CD边的中点，连接AE, 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G,连接AG,使AF为∠DAG的角平分线， E GC 备用图 (I)求证：△ADE≌aFCE: (2)若k=1,CE=2,求CG的值： (3)若点G将BC边分成2：3的两部分，请求出k的值. 24.(25-26八年级下·河北保定期末)综合与实践 从“特殊”到“一般”是常用的数学思想，在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线 和边长存在某些数量关系.下面是小明对此问题的探究过程： 【特例认识】 D D D B 图1 图2 图3 ABCD AC=2AB (1)如图1，在正方形 中，对角线， 4C,BD相交于点O.求证： (2)【初步探究】 如图2，四边形ABCD是菱形，试探究AC，BD与AB之间的数量关系. (3)【深入探究】 如图3，当四边形ABCD是平行四边形，则对角线AC,BD与边AB,AD之间的数量关系为， 25.(25-26八年级下·山西大同期末)综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 图2 图3 备用图 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,F为射线BC上一动点，连接AF,将△ABF沿AF折叠得到 △AEF,点B的对应点为E. 【数学思考】 (1)如图2，当点E落在AD边上时，判断四边形ABFE的形状，并说明理由. (2)如图3，当点E落在对角线AC上时，求线段EF的长； (3)在点F运动的过程中，当F,E,D三点共线时，请直接写出线段EF的长. 8/8可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章特殊平行四边形基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A D D ⊙ 0 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4 12.185 13.16v3 14.120 15.(1,5) 16.8-4V5 4欧45 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(I)证明：四边形ABCD是菱形， :AB∥CD,AC⊥BD .AE∥CD.∠AOB=90°. :DE⊥BD,即∠EDB=9O°， ∴.∠AOB=∠EDB. DE∥AC, ∴.四边形ACDE是平行四边形3分 (2)解：四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, .A0=4,D0=3 AD=VA0+D0=V32+4P=5 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=CD=5, 四边形ACDE是平行四边形， AE=CD=5.DE=AC=8」 .∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.6分 18 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.BA=CD∠A=∠D=90° ,点E是AD边的中点， ∴.AE=DE △ABE≌ADCE(SAS) ;3分 (2)解：，四边形ABCD是正方形 AD=AB=BC=4,∠A=90° 点E是AD边的中点 ∴.AE=DE=2 BE=VAE+AB=25 .'△ABE≌ADCE CE=BE=25 的周长=BC+CE+BE=4+25+25=4V5+4 .BCE 6分 19 【详解】(I)解：如图，矩形ABDE为所求： A 3分 图1 (2)解：如图，菱形BCDG为所求. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 、G E 6分 D 图2 20. 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是矩形， .AC=BD,ABCD .BEIl AC, 四边形ABEC是平行四边形， .AC=BE, .BD=BE.3分 (2)解：：四边形ABCD是矩形， .BC⊥DE,OB=OD=OC, OF∥BC, ∴.OF⊥DE, .DF=FC, BD=BE,BE=10 .BD=10,CD=CE=6, BC-BD:-CD:=8 DE-CD+CE=12 .OB=OD .OF是△BCD的中位线， :0r=5aC=4 2 1 Saoe=2DE.0F=24.6分 21. 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)证明：四边形ABCD为菱形， ∴.OB=OD 点E为AD中点， .AE =DE, .OE∥FG. OG∥EF, ∴四边形OEFG为平行四边形， EF⊥AB, .∴∠EFG=90° 平行四边形OEFG为矩形.4分 (2)四边形ABCD为菱形， AB=AD=10.AC⊥BD. ∴.∠AOD=90 点E为AD的中点， 0E=E=24D=5, :∠AFE=90°，EF=4, ..AF=AE2-EF2=3 由(I)知，四边形OEFG是矩形， .0G=EF=4.FG=OE=5, .0E=5.8分 22. 【详解】(I)证明：四边形ABCD是矩形，EF⊥AD, .∠BAD=∠ABE=∠AFE=90°， ∴四边形ABEF是矩形， 又AE平分∠BAD,EF⊥AD,BE⊥AB, .BE=EF, ∴.四边形ABEF是正方形.3分 (2)解：由(1)知四边形ABEF是正方形，AE为正方形对角线， 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=90°，AB=BE=AF=FE, .'AE2=AB2+BE2 =2AB2, ,AE=2, 4B-4F-EF= 在△AGD中，DG⊥AE,∠DAG=45°，AD=2, ∴△AGD是等腰直角三角形，DG=AG,AD2=DG+AG2,∠ADG=45°， ,DG=AG=√2 又∠DF0=90°， ∴.△DFO是等腰直角三角形， .DF =FO,OD2=DF2+OF2, FD=AD-AF=2- :0D=2.FD=2×2-2)=22-2.…8分 23. 【详解】(1)证明：四边形ABCD为矩形， .AD∥BC,∠B=∠D=∠BCD=90°， .∠FCE=180°-90°=90°， .∠D=∠FCE E为CD边的中点， DE-CcD 在△ADE和△FCE中， 「∠AED=∠FEC DE=CE ∠ADE=∠FCE' .△ADE≌△FCE(ASA).2分 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：△ADE≌aFCE, .AE=FE,AD=FC」 :AF为∠DAG的角平分线， ∴∠GAE=∠DAE 电(I)可知，4D∥CF,DE=EC=2CD,B=D=en 2 ∠DAE=∠F, ∠GAE=∠F, ∴GA=GF △AGF是以AF为底边的等腰三角形. .AD AB =k=1, :AD=AB, ∴矩形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=CF CE=2, ∴.CD=2CE=4 .AB=BC=CD=AD=CF=4 设CG=x,则BG=4-x,AG=GF=4+x, 在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG, :4+(4-x}=(4+x2 解得x=1,即CG=1.5分 (3)解：①当BG:GC=2:3时， 设BG=2x,则GC=3x,AD=BC=CF=5x,GF=GC+CF=8x. AB .AB=5x k· 由(2)可知，AG=GF, ..AG=GF=8x, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtABG中，AB2+BG=AG 中 (+f= 整理得，k2=5 2, k=Vi5 解得， 6(舍去负值)： ②当GC:BG=2:3时， 设GC=2m,则BG=3m,AD=BC=CF=5m,GF=GC+CF=7m, ∴.AG=GF=7m. AB =k, AB=5m · AG=GF=7m .Rt△ABG,AB2+BG=AG2 在 (a旷-( 整理得， 8 鬼卡s0 解得4（舍去负值）. 综上， h=vi5 k=0 6或4.…8分 24. 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是正方形， ,AB=BC,∠ABC=90° 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2+BC2, .AC2=2AB2 (负值已舍去)， .AC=2AB 4分 (2)解：AC2+BD2=4AB2, ,四边形ABCD是菱形， AC1BD:40=c0=4C,B0=D0-D, ..AB2=A02+BO2 AB=IAC+IBD 4 4 即AC2+BD2=4AB2.8分 (3)解：AC2+BD2=2AB2+2AD2. 如图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F, D B F:.∠DEA=∠DEB=∠CFB=90° ,四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,ADI‖IBC ∴∠DAE=∠CBF·△DAE≌aCBF(AAS) ..AE=BF,DE=CF 在RtADBE中，BD=DE2+BE2=DE2+(AB-AE 在Ri△CMF中，AC=CF2+AF2=CF2+(AB+BFy .BD'+AC2=DE2+(AB-AE)+CF+(AB+BF)=2DE2+AB2-24B.AE+AE+AB2+24BAE+AE* 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2(DE2+AE2)+2AB2 =2AD2+2AB2, ..AC2+BD2=24B2+2AD2 .12分 25. 【详解】(I)解：四边形ABEF是正方形，理由如下， 由折叠的性质得AB=AE,∠AEF=∠B」】 ,四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BAE=90° 又：∠B=∠BAE=∠AEF=90° ∴四边形ABEF是矩形， 又AB=AE, .四边形ABEF是正方形.…4分 (2)解：由对称的性质得△ABF≌△AEF, 又，四边形ABCD是矩形， .AB=AE=6,BC=AD=8,BF=EF,∠B=∠AEF=90° 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,AC=AB2+BC=10 .CE=AC-AE=10-6=4. 设BF=EF=x,则CF=BC-BF=8-x, 在RtAECF中，CE2+EF2=CF2, 即+=8-，解得x=3】 .EF=3.8分 (3)解：情况1：当点F在线段BC上，F,E,D三点共线时，如下图所示， 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 由对称的性质以及矩形的性质， AB=AE=CD=6.AD=BC=8,BF=EF 在Rt△ADE中，AD=8,AE=6,DE=AD2-AE=2V万 设BF=EF=x,则CF=BC-BF=8-xDF=2N万+x 在RtADCF中，CF2+CD=DF2,即(8-x}+6=(27+x, 解得=8-2V7 EF=8-2V7 情况2：当点F在线段BC的延长线上，如下图所示， D B 由对称的性质以及矩形的性质， AB=AE=CD=6,AD=BC=8,BF=EF 在Rt△ADE中，AD=8,AE=6,DE=VAD2-AE=2万 设BF=EF=x,则CF=BF-BC=x-8,DF=-2V7 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtsDCF中，CF2+CD=DF,即r-8+6-(x-27, 解得*=8+2V万 EF=8+27 综上所述，F的长度为8-27或8+2万.…2分 ”或 11/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．1.6 7．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（   ）． A． B．4 C． D．5 9．（25-26八年级下·安徽池州·期末）“方胜”是中国传统吉祥纹样和文化符号，源于古代妇女的一种头饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是美好吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线的方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③，④．其中正确结论有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 12．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 13．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______． 14．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，已知，则__________°． 15．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 18．（2026·贵州·中考真题）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的周长． 19．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个以为边的矩形； (2)在图2中，作一个以为对角线的菱形． 20．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，过点B作的平行线交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 21．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求长． 22．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，平分交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，则 ． 23．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，延长交的延长线于点，在边上取一点，连接，使为的角平分线． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若点将边分成的两部分，请求出的值． 24．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是常用的数学思想，在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程： 【特例认识】 (1)如图1，在正方形中，对角线，相交于点O．求证：． (2)【初步探究】 如图2，四边形是菱形，试探究，与之间的数量关系． (3)【深入探究】 如图3，当四边形是平行四边形，则对角线，与边，之间的数量关系为________． 25．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $