精品解析：河北邯郸市曲周县第一中学等校2026-2027学年高一年级上学期9月阶段测试数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 对于实数，用表示不大于的最大整数，用表示不小于的最小整数，例如，，，则等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 记，若正实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 若是偶数，则能被4整除 D. 直线上的点可用集合表示 10. 设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知，，，则实数的取值范围为________． 14. 已知集合，，若，，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求，． 16. 已知集合，非空集合． （1）若，使得，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知命题：，，命题：，恒成立． （1）若是假命题，求实数的取值范围； （2）若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 19. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，，，，故A，B，D错误；C正确. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到. 【详解】命题“，”的否定是“，”，故D正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，解得或， 又是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件 4. 已知，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作差法，举反例等方法结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，取，易得，故A错误； 对于B，取，易得，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出图中阴影部分表示的集合，从而得到真子集的个数 【详解】，，， 图中阴影部分表示的集合为， 其中， 故， 故阴影部分表示的集合的真子集的个数为. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据是方程的根可得，即可代入不等式求解，即可结合一元二次不等式的性质求解. 【详解】关于的不等式的解集为， 由题意知，是方程的一个根，且， 所以，解得， 所以， 所以，解得，所以解集为； 7. 对于实数，用表示不大于的最大整数，用表示不小于的最小整数，例如，，，则等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解等式求得，结合已知新定义有，最后由必要不充分条件的定义，即可得答案. 【详解】由，得，又因为表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，所以， 要找其成立的一个必要不充分条件，只有B选项的包含，只有选项B满足要求. 8. 记，若正实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对已知条件取倒数变形，利用最大值大于等于两数平均数，再用1的代换搭配基本不等式求出最小值． 【详解】已知正实数，，满足，则， 由最大值的性质， ， 当且仅当时等号成立， 故，即最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 若是偶数，则能被4整除 D. 直线上的点可用集合表示 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，取判断；对于B，根据判别式判断；对于C，令代入判断；对于D，根据集合点集的表示方法判断. 【详解】对于A选项，取，，存在反例，故错误； 对于B选项，，二次函数开口向上，，故正确； 对于C选项，若是偶数，设，则，可被4整除，故正确； 对于D选项，直线上的点用集合表示，故错误. 10. 设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项 A，若，则，又， ，且，所以，A 正确； 选项 B，若，则，又， ，且，所以，B 错误； 选项 C，若，说明中所有元素都属于，所以全部满足，所以，C 正确； 选项 D，若，是在里面去掉属于的部分，就是在里面，去掉刚才剩下的部分，也就是中属于的元素，即，所以 ，D 正确 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用已知条件消元换元，将双变量乘积式转化为单变量二次函数，借助二次函数对称轴求最值并验证取值合法性；B.代入条件统一变量，化简多项式为单变量二次函数，根据二次函数最值性质求解最小值；C.换元统一变量，对根式和整体平方变形，得到是上确界，取不到；D.对复杂分式拆分变形，结合定值条件构造齐次式，利用基本不等式求最值并严格验证取等条件. 【详解】依题意，得，所以，，得， A 选项，，令， 则，开口向下的二次函数，对称轴， 当时，，此时，满足条件，故A 正确； B 选项，因为，所以， 令，，开口向上的二次函数，对称轴， 当时，，此时，故 B 正确； C 选项，由，得，则， 令， 平方得， 设，， 因为，所以，故， 故，所以是上确界，不是可取到的最大值，故C 错误； D 选项，， ， 所以， 因为，所以， 记，则， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即即时取等号， 此时，得，， 满足， 即的最小值为，故D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】分和时，并结合集合互异性求解即可. 【详解】因为， 所以当时，解得，此时，不满足集合互异性； 当时，解得，由于时不满足题意，时，，满足题意. 综上所述，. 13. 已知，，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设目标表达式为已知两个式子的线性组合，得到，分别算出两部分取值范围后同向相加得到t的范围． 【详解】设，则，解得， 故， 由，得， 由，得， 故，即实数的取值范围为． 14. 已知集合，，若，，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论的取值，结合题设条件可得两方程有不等于且不等于的一个公共根，再由韦达定理可得答案. 【详解】若，此时，则，这与题设不符； 若，此时，易得， 若，则此时，与题设不符； 若，则此时，这与题设不符. 综上可得均不为0，注意到两集合对应方程判别式均为，则两方程根的个数相同. 若，结合，可得两方程有相同根，这与矛盾. 若，设两根为，因均不是两方程的根， 则方程，从而两根为， 又，，则两方程有不等于且不等于的一个公共根， 又为的根，则两根为， 方程两根为，从而. 当时，由韦达定理可得：，从而； 当时，由韦达定理可得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1）或 （2）或，． 【解析】 【小问1详解】 ， 所以或． 【小问2详解】 由，得，即， 第1个不等式解得：或； 第2个不等式解得：或， 两个不等式取交集得：或． 由（1）知， 所以或， ． 16. 已知集合，非空集合． （1）若，使得，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，使得的条件可得到A，B交集不为空，结合B非空列出不等式组，最后解不等式组求出的取值范围； （2）由必要条件推出，结合B非空列不等式，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，非空集合， 因为，使得， 所以， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 已知集合，非空集合， 因为“”是“”的必要条件， 所以， 因为， 所以， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是． 17. 已知命题：，，命题：，恒成立． （1）若是假命题，求实数的取值范围； （2）若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若是假命题，则“，”是真命题， 当时，，显然满足题意； 当时，则关于的一元二次方程无实数根， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知若是真命题，则或， 若是真命题，则，解得， 所以当和至少有一个是真命题时， 或或， 即实数的取值范围为或． 18. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1）元 （2）（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 19. 已知函数． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1) ，恒成立，则恒成立,求在定义域上的最小值， (2) ，使得，代入整理得，即，当时，令，则，， 所以，根据基本不等式可求， (3)原不等式代入整理，即，恰有3个正整数解，分情况讨论，，，其中只有最后一种情况可满足条件，再根据时，原不等式的解集为，因为解集中恰有3个正整数，所以必须满足，最终求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 【小问2详解】 由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $