第13章 三角形 单元测试卷（基础卷） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

2026-2027学年八年级第一学期第十三单元测试卷（基础卷） 满分：120分　　考试时间：120分钟 学校：____________　班级：____________　姓名：____________　学号：____________ 注意事项： 1．本试卷共三大题、22小题，满分120分，考试时间120分钟。 2．答卷前，请将学校、班级、姓名、学号填写在试卷指定的位置。 3．选择题每小题只有一个正确选项；填空题直接将答案填写在题中的横线上；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4．考试结束后，将本试卷交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．一位同学用三根木棒两两相接拼成如图所示的四个图形，其中符合三角形概念的是（　　） 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，7 D．4，5，8 3．如图，池塘边有A、B两点，小明在池塘外取一点C，测得AC＝20米，BC＝30米，则A、B两点间的距离可能是（　　） A．8米 B．15米 C．50米 D．55米 4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝7，AC＝5，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是（　　） A．2 B．4 C．7 D．12 6．下列说法正确的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形的三条角平分线可以相交于三角形外 D．三角形的三条中线不一定相交于一点 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数是（　　） A．70° B．30° C．70°或30° D．无法确定 9．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，BO、CO相交于点O，则∠BOC的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 10．定义：三角形中有一个内角是另一个内角的2倍时，称这个三角形为“倍角三角形”。下列三角形一定是“倍角三角形”的是（　　） A．三个内角之比为1∶2∶3的三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意直角三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠ABD＝30°，则∠C＝＿＿＿＿＿＿°。 13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝55°，延长BC至点D，则∠ACD＝＿＿＿＿＿＿°。 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若∠BAF＝40°，则∠DAE＝＿＿＿＿＿＿°。 15．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积为40，则△ABE的面积为＿＿＿＿＿＿。 16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点P，则∠BPC＝＿＿＿＿＿＿°。 三、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）数学课上，老师布置了一道实践作业：用一根长41cm的细绳围成一个三角形。小明把围成的三角形第一条边的长设为x cm，第二条边的长比第一条边的3倍少4cm。 （1）请用含x的式子表示第三条边的长； （2）若围成的三角形恰好是等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长。 18．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线。 （1）若△ABC的面积为36，求△ABE的面积； （2）若BC＝12，求点E到BC边的距离。 19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC交BC于点E。 （1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数。 20．（12分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，BO、CO相交于点O。 （1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝α，请用含α的式子表示∠BOC的度数； （3）若∠BOC＝120°，求∠A的度数。 21．（12分）定义：三角形中有一个内角等于另一个内角的2倍时，称这个三角形为“倍角三角形”，其中较大的那个角称为“倍角”。 （1）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝2∠A，求∠C的度数，并判断△ABC是否为“倍角三角形”； （2）在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝2∠C，求∠B、∠C的度数，并判断△ABC是否为“倍角三角形”； （3）若△ABC是“倍角三角形”，且∠C＝90°，请直接写出∠A所有可能的度数。 22．（14分）【问题提出】学习了平行线的性质后，小明想通过推理证明“三角形三个内角的和等于180°”。 （1）如图1，小明过点A作DE∥BC，请你利用“两直线平行，内错角相等”和平角的定义，补全下面的证明过程。 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C（　　　　　　　　）。 ∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（　　　　　　　　）， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°。 （2）如图2，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，将△ABC沿折痕MN折叠，使点A落在BC边上的点A′处。若∠A′MB＝30°，求∠A′NC的度数。 （3）在（2）的条件下，若∠A′MB＝α，∠A′NC＝β，请直接写出α、β与∠A之间的数量关系。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级第一学期第十三单元 测试卷（基础卷）参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A A A B C B A 1．【答案】A 【解析】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。图A中三条线段首尾顺次相接且围成封闭图形；图B中线段未闭合，图C中底边断开为两条线段（共四条线段），图D中一条线段穿过顶点、未做到首尾顺次相接，均不符合三角形的概念。故选A。 2．【答案】D 【解析】三角形任意两边之和大于第三边。A中1＋2＝3，B中2＋3＜6，C中3＋4＝7，均不能组成三角形；D中4＋5＞8，能组成三角形。故选D。 3．【答案】B 【解析】由三角形三边关系，得30－20＜AB＜30＋20，即10＜AB＜50。四个选项中只有15米在此范围内。故选B。 【易错提醒】注意“大于第三边”是严格大于，50米恰等于两边的和，不能构成三角形。 4．【答案】A 【解析】设三个内角分别为2x°、3x°、4x°，则2x＋3x＋4x＝180，解得x＝20，三个内角为40°、60°、80°，都是锐角，故为锐角三角形。故选A。 5．【答案】A 【解析】AD是中线，BD＝DC，AD为公共边，故△ABD与△ACD的周长差为AB－AC＝7－5＝2。故选A。 6．【答案】A 【解析】三角形的高、中线、角平分线都是线段，A正确；钝角三角形有两条高在三角形的外部，B错误；三条角平分线一定相交于三角形内部，C错误；三条中线一定相交于一点，D错误。故选A。 7．【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝50°；在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝40°。也可直接由“同角的余角相等”得∠BCD＝∠A＝40°，如图中∠1＝∠2。故选B。 8．【答案】C 【解析】AD是△ABC的高，高的位置有两种可能：①AD在∠BAC内部（锐角三角形），∠BAC＝∠1＋∠2＝50°＋20°＝70°；②AD在∠BAC外部（钝角三角形），∠BAC＝∠1－∠2＝50°－20°＝30°。故选C。 【易错提醒】三角形的高可能在三角形外部，本题极易漏掉钝角三角形的情形而误选A，注意分类讨论。 9．【答案】B 【解析】∠A＝80°，则∠ABC＋∠ACB＝100°。BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)÷2＝50°，所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝130°。故选B。 10．【答案】A 【解析】三个内角之比为1∶2∶3时，三个内角为30°、60°、90°，其中60°是30°的2倍，一定是倍角三角形；等腰三角形、等边三角形、任意直角三角形都不一定能找到2倍的内角关系。故选A。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．【答案】3＜x＜7 【解析】由三角形三边关系，得5－2＜x＜5＋2，即3＜x＜7。 12．【答案】40° 【解析】BD平分∠ABC，∠ABD＝30°，则∠ABC＝2∠1＝60°（如图中∠1＝∠2）。在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－80°－60°＝40°。 13．【答案】100° 【解析】由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，得∠ACD＝∠B＋∠ACB＝45°＋55°＝100°。 14．【答案】25° 【解析】长方形中∠DAB＝90°，∠BAF＝40°，则∠DAF＝50°。由折叠知∠DAE＝∠EAF（如图中∠1＝∠2），故∠DAE＝∠DAF÷2＝25°。 【易错提醒】折叠前后对应角相等，本题关键是确定折叠前后的对应角为∠DAE与∠EAF。 15．【答案】10 【解析】AD是△ABC的中线，S△ABD＝S△ACD＝20；BE是△ABD中AD边上的中线，S△ABE＝S△BED＝S△ABD÷2＝10。中线平分三角形面积。 16．【答案】55° 【解析】∠A＝70°，则∠ABC＋∠ACB＝110°。BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∠PBC＋∠PCB＝(∠FBC＋∠BCG)÷2＝[360°－(∠ABC＋∠ACB)]÷2＝125°，所以∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝55°。也可由结论“∠BPC＝90°－∠A÷2”直接求解。 三、解答题（共66分） 17．（8分） 【答案】(1)第三条边的长为(45－4x) cm；(2)这个等腰三角形的三边长分别为7 cm、17 cm、17 cm。 【解析】(1)第三条边＝41－x－(3x－4)＝(45－4x) cm。 (2)分三种情况讨论： ①若x＝3x－4，则x＝2，此时三边为2、2、37，而2＋2＜37，不满足三角形三边关系，舍去； ②若x＝45－4x，则x＝9，此时三边为9、23、9，而9＋9＜23，不满足三角形三边关系，舍去； ③若3x－4＝45－4x，则x＝7，此时三边为7、17、17，且7＋17＞17，满足三边关系，符合题意。 所以这个等腰三角形的三边长分别为7 cm、17 cm、17 cm。 【评分细则】第(1)问3分：正确列出第三条边＝41－x－(3x－4)得2分，化简为(45－4x) cm得1分。第(2)问5分：三种两两相等的情形各1分，共3分；舍去x＝2、x＝9两种不满足三边关系的情形得1分；正确写出三边长7 cm、17 cm、17 cm得1分。 18．（10分） 【答案】(1)△ABE的面积为9；(2)点E到BC边的距离为3。 【解析】(1)AD是△ABC的中线，S△ABD＝S△ACD＝36÷2＝18；BE是△ABD中AD边上的中线，S△ABE＝S△ABD÷2＝9。 (2)BC＝12，AD是中线，则BD＝6。由(1)知S△ABE＝9，而△ABE以BD为底、点E到BC边的距离为高，设距离为h，则(1/2)×6×h＝9，解得h＝3，即点E到BC边的距离为3。 【评分细则】第(1)问4分：S△ABD＝18得2分，S△ABE＝9得2分。第(2)问6分：BD＝6得2分；由面积关系列式(1/2)×BD×h＝9得3分；正确求得h＝3得1分。 19．（10分） 【答案】(1)∠BAE＝35°；(2)∠DAE＝13°。 【解析】(1)∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－42°－68°＝70°。AE平分∠BAC，故∠BAE＝∠EAC＝∠BAC÷2＝35°。 (2)在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠B＝90°－42°＝48°。∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝48°－35°＝13°。 【易错提醒】AD是高、AE是角平分线，两条线段要区分清楚；求∠DAE时用∠BAD减去∠BAE，而不是直接相减内角。 【评分细则】第(1)问4分：∠BAC＝70°得2分，∠BAE＝35°得2分。第(2)问6分：∠BAD＝48°得3分，∠DAE＝13°得3分。 20．（12分） 【答案】(1)∠BOC＝120°；(2)∠BOC＝90°＋α÷2；(3)∠A＝60°。 【解析】(1)∠A＝60°时，∠ABC＋∠ACB＝120°。BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)÷2＝60°，所以∠BOC＝180°－60°＝120°。 (2)∠A＝α时，∠ABC＋∠ACB＝180°－α，∠OBC＋∠OCB＝(180°－α)÷2，所以∠BOC＝180°－(180°－α)÷2＝90°＋α÷2。 (3)由(2)得∠BOC＝90°＋α÷2＝120°，解得α＝60°，即∠A＝60°。 【评分细则】每小题4分，共12分。第(1)问：∠ABC＋∠ACB＝120°得2分，∠BOC＝120°得2分；第(2)问：∠OBC＋∠OCB＝(180°－α)÷2得2分，∠BOC＝90°＋α÷2得2分；第(3)问：由(2)代入列式得2分，正确求出∠A＝60°得2分。 21．（12分） 【答案】(1)∠C＝60°，△ABC是倍角三角形；(2)∠B＝96°，∠C＝48°，△ABC是倍角三角形；(3)∠A的度数可能为30°、45°、60°。 【解析】(1)∠B＝2∠A＝80°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝60°。因为∠B＝2∠A，所以△ABC是倍角三角形，倍角为∠B。 (2)∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝36°，∠B＝2∠C，则36°＋2∠C＋∠C＝180°，解得∠C＝48°，∠B＝96°。因为∠B＝2∠C，所以△ABC是倍角三角形。 (3)∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。分情况讨论：若∠A＝2∠B，则∠B＝30°，∠A＝60°；若∠B＝2∠A，则∠A＝30°；若∠C＝2∠A，则∠A＝45°；若∠C＝2∠B，则∠B＝45°，∠A＝45°。（∠A＝2∠C、∠B＝2∠C显然不可能）所以∠A的度数可能为30°、45°、60°。 【易错提醒】第(3)问倍角关系中的“倍角”可能出现在任意两个内角之间，∠C＝90°既可以是倍角也可以不是，要逐一列举，防止遗漏。 【评分细则】第(1)问4分：∠B＝80°得2分，∠C＝60°得1分，判断为倍角三角形得1分。第(2)问4分：列出36°＋3∠C＝180°得1分，∠C＝48°得1分，∠B＝96°得1分，判断得1分。第(3)问4分：∠A＝30°、45°、60°三个值各1分，共3分；三值写全得1分。 22．（14分） 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角的定义。(2)∠A′NC＝90°。(3)α＋β＝2∠A。 【解析】(1)∵DE∥BC（已知），∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（平角的定义），∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°。 (2)∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°。由折叠知∠MA′N＝∠A＝60°。在△A′MB中，∠MA′B＝180°－∠B－∠A′MB＝180°－50°－30°＝100°。因为∠BA′C＝180°，所以∠NA′C＝180°－∠MA′B－∠MA′N＝180°－100°－60°＝20°。在△A′NC中，∠A′NC＝180°－∠C－∠NA′C＝180°－70°－20°＝90°。 (3)沿用(2)的思路：设∠A′MB＝α，∠A′NC＝β，则∠MA′B＝180°－∠B－α，∠NA′C＝180°－(180°－∠B－α)－∠A＝∠B＋α－∠A，β＝180°－∠C－∠NA′C＝180°－∠C－(∠B＋α－∠A)＝2∠A－α，所以α＋β＝2∠A。 【评分细则】第(1)问5分：第一个空填“两直线平行，内错角相等”得2分，第二个空填“平角的定义”得2分，结论正确得1分。第(2)问5分：∠A＝60°得1分，∠MA′B＝100°得2分，∠NA′C＝20°得1分，∠A′NC＝90°得1分。第(3)问4分：正确写出α＋β＝2∠A得4分，其他等价形式酌情给分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级第一学期第十三单元测试卷（基础卷） 满分：120分　　考试时间：120分钟 学校：____________　班级：____________　姓名：____________　学号：____________ 注意事项： 1．本试卷共三大题、22小题，满分120分，考试时间120分钟。 2．答卷前，请将学校、班级、姓名、学号填写在试卷指定的位置。 3．选择题每小题只有一个正确选项；填空题直接将答案填写在题中的横线上；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4．考试结束后，将本试卷交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．一位同学用三根木棒两两相接拼成如图所示的四个图形，其中符合三角形概念的是（　　） 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，7 D．4，5，8 3．如图，池塘边有A、B两点，小明在池塘外取一点C，测得AC＝20米，BC＝30米，则A、B两点间的距离可能是（　　） A．8米 B．15米 C．50米 D．55米 4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝7，AC＝5，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是（　　） A．2 B．4 C．7 D．12 6．下列说法正确的是（　　） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条高都在三角形的内部 C．三角形的三条角平分线可以相交于三角形外 D．三角形的三条中线不一定相交于一点 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数是（　　） A．70° B．30° C．70°或30° D．无法确定 9．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，BO、CO相交于点O，则∠BOC的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 10．定义：三角形中有一个内角是另一个内角的2倍时，称这个三角形为“倍角三角形”。下列三角形一定是“倍角三角形”的是（　　） A．三个内角之比为1∶2∶3的三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意直角三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠ABD＝30°，则∠C＝＿＿＿＿＿＿°。 13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝55°，延长BC至点D，则∠ACD＝＿＿＿＿＿＿°。 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若∠BAF＝40°，则∠DAE＝＿＿＿＿＿＿°。 15．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积为40，则△ABE的面积为＿＿＿＿＿＿。 16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点P，则∠BPC＝＿＿＿＿＿＿°。 三、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）数学课上，老师布置了一道实践作业：用一根长41cm的细绳围成一个三角形。小明把围成的三角形第一条边的长设为x cm，第二条边的长比第一条边的3倍少4cm。 （1）请用含x的式子表示第三条边的长； （2）若围成的三角形恰好是等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长。 18．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线。 （1）若△ABC的面积为36，求△ABE的面积； （2）若BC＝12，求点E到BC边的距离。 19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC交BC于点E。 （1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数。 20．（12分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，BO、CO相交于点O。 （1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝α，请用含α的式子表示∠BOC的度数； （3）若∠BOC＝120°，求∠A的度数。 21．（12分）定义：三角形中有一个内角等于另一个内角的2倍时，称这个三角形为“倍角三角形”，其中较大的那个角称为“倍角”。 （1）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝2∠A，求∠C的度数，并判断△ABC是否为“倍角三角形”； （2）在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝2∠C，求∠B、∠C的度数，并判断△ABC是否为“倍角三角形”； （3）若△ABC是“倍角三角形”，且∠C＝90°，请直接写出∠A所有可能的度数。 22．（14分）【问题提出】学习了平行线的性质后，小明想通过推理证明“三角形三个内角的和等于180°”。 （1）如图1，小明过点A作DE∥BC，请你利用“两直线平行，内错角相等”和平角的定义，补全下面的证明过程。 证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C（　　　　　　　　）。 ∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（　　　　　　　　）， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°。 （2）如图2，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，将△ABC沿折痕MN折叠，使点A落在BC边上的点A′处。若∠A′MB＝30°，求∠A′NC的度数。 （3）在（2）的条件下，若∠A′MB＝α，∠A′NC＝β，请直接写出α、β与∠A之间的数量关系。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $