第13章 三角形（基础卷） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元复习卷，以基础概念为核心，融合生活情境与探究性问题，全面检测三角形三边关系、内角和、三线及分类等知识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、内角计算、图形识别等|结合图形考查基础概念，如第8题以自行车结构考平行线与内角关系，体现数学眼光| |填空题|6/18|内角和、三边范围、面积分割、规律探究|注重计算与推理，如第16题角平分线多次平分规律，培养推理意识| |解答题|9/72|作图、证明、综合探究等|分层设计，如第25题从问题解决到拓展提高，考查模型意识与创新思维|

建议用时：100 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．以下三条线段可以构成三角形的一组是 ( ) A ．1 、2 、3 B ．3 、4 、5 C ．1 、1 、3 D ．以上都不能2 ．图中以BC 为边的三角形有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 3 ．若 △ABC 是锐角三角形，且7A = 60o ，则7B 可能的度数是 ( ) A ．10o B ．20o C ．30o D ．40o 4 ．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是 ( ) A ． B ． C ． D． 5 ．小涵求△ABC 的面积时，作了AB 边上的高，下列作图正确的是 ( ) 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6 ．如图表示三角形的分类，关于 P、Q 区域有甲、乙两种说法：甲：P 是锐角三角形；乙：Q 是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是 ( ) A ．甲对 B ．乙对 C ．甲、乙均对 D ．甲、乙均不对7 ．一副三角板按如图方式叠合在一起，AD 与BE 相交于点 H，则7BHD 的度数是 ( ) A ．75o B ．70o C ．65o D ．55o 8 ． 自行车是中小学生上下学选择的代步工具，如图所示是某一型号自行车座垫与三脚架连接部分示意图，其中DF ∥ AB ，若7A = 41O, 7C = 84O ，则7DEB 的度数是 ( ) A ．41O B ．45O C ．55O D ．65O 9．在VABC 中，AB = AC, AB边上的中线CD 把VABC 的周长分成 24 和 12 的两部分，则AB 的长是( ) A ．16 B ．8 C ．16 或 8 D ．8 或 4 10 ．如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作 ACD 和 BCE ，且 7D = 27DAC ，7E = 27EBC ．若7DAC 的平分线与7EBC 的平分线的交于点P ，则71 与72 的数量关系为 ( ) A ．72 = 150O B ．72 = 130O C ．72 = 175O _ 71 D ．72 = 115O + 71 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．在VABC 中，7A = 48O ，7B = 30O ，则7C = ． 12 ．已知VABC 的三边长为 a 、b 、c ，其中a = 3、b = 5 ，则边长 c 的取值范围是 ． 13．在VABC 中，如果7A = 36O, 7B = 44O ，那么VABC 是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 14 ．如图，在 BCE 中，7CBE所对的边是 ；在△AEC 中，边AE 所对的角是 ． 15．如图，在VABC 中，中线AE 和中线BD 相交于点F ，若VABC 的面积为 36，则四边形CDFE的面积为 ． 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 2 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 16．如图所示，7A = 100O ，作BC 的延长线CD ，7ABC 与7ACD 的角分线相交于A1 ，7A1BC 与7A1CD的角分线相交于A2 … 以此类推，7A5BC 与7A5CD 的角分线相交于A6 ，则7A6 = 度． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题，每题 8 分；第 24 ，25 题，每题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．如图，在 △ABC 中，D，E 分别是BC，AC 上的点，连接BE，AD 交于点F． (1)图中共有多少个AB 以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除△ABF 外，以点F 为顶点的三角形还有哪些？ 18 ．已知△ABC 中，AB = 7 ，BC = 2 ，且AC 为奇数． (1)求 △ABC 的周长． (2)判断△ABC 的形状，并说明理由． 19．如图，△ABC 中，AD 平分7BAC ，P 为AD 延长线上一点，PE T BC 于 E，已知7ACB = 80O,7B = 24O ． (1) 7BAC 的度数为 ； (2)求7P 的度数． 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 3 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 20 ．如下图，在△BCD 中，BC = 3,BD = 5． (1)若CD 的长是偶数，求CD 的长； (2)若AE∥BD , 7A = 55O, 7BDE = 125O ，求7C 的度数． 21 ．如图， △ABC 的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为 1 个单位长度． (1)画出△ABC 中AC 边上的中线BD ； (2)画出△ABC 中AB 边上的高CE ； (3)△ABC 的面积为 个平方单位． 22 ．已知△ABC 中，7ACB = 90O ，CD 为AB 边上的高，BE 平分7ABC ，分别交CD、AC 于点 F、E． (1)试说明7A = 7BCD ； (2)若7A = 30O ，试着求出7CEF 的度数； (3)猜想7CEF 与7CFE 的数量关系： 7CEF 7CFE （填“>” 、“<”或“=”）． 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 4 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 23 ．如图，AD 为 △ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线． (1)已知AB _ AC = 5cm ， △ABD 的周长为25cm ，求△ADC 的周长； (2)在 AEB 中作AE 边上的高； (3)若 △ABC 的面积为 40 ，AE = 5 ，则点B 到AE 边的距离为多少？ 24 ．【初步认识】 （1）如图① , 在 △ABC 中，BP 平分7ABC ，CP平分7ACB ．若7A = 80O ，则7P = ；如图② , BM 平分7ABC ，CM 平分外角7ACD ，则7A 与7M 的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③ , BN 平分外角7EBC ，CN 平分外角7FCB ．请探索7A 与7N 之间的数量关系． 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 5 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 25 ．如图① , 在 ABC 中，BD 平分7ABC ，且与 ABC 的外角7ACE 的平分线交于点 D． 【问题解决】 （1）若7ABC = 75O，7ACB = 45O ，求7D 的度数； （2）若7ABC = 80O，7A = 60O ，则7D = ． 【猜想证明】 （3）当7ABC 和7ACB 在变化，而7A 始终保持不变，则7D 是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有7A 的式子表示7D ） 【拓展提高】 （4）若把7A 截去，得到四边形MNCB ，如图② , 猜想7D、7M、7N 的数量关系，并说明理由． 第十三章 三角形 基础卷（学生版） 第 6 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：100 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．以下三条线段可以构成三角形的一组是 ( ) A ．1 、2 、3 B ．3 、4 、5 C ．1 、1 、3 D ．以上都不能 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系定理. 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边.对于每组线段，只需验证最长边是否小于其余两边之和即可. 【详解】A：1 、2 、3 ，最长边为 3 ，1+ 2 = 3 ，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B：3 、4 、5 ，最长边为 5 ，3 + 4 = 7 > 5 ，满足条件，可以构成三角形； C：1 、1 、3 ，最长边为 3 ，1+1 = 2 < 3 ，不满足条件，无法构成三角形； D：因选项 B 符合条件，故 D 错误；故选：B． 2 ．图中以BC 为边的三角形有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以BC 为边的三角形有DBC , EBC , ABC ，共 3 个，故选：C． 3 ．若 △ABC 是锐角三角形，且LA = 60O ，则 LB 可能的度数是 ( ) A ．10O B ．20O C ．30O D ．40O 【答案】D 【分析】根据LA = 60O ，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解： ∵ LA = 60O ， ∴ LB + LC = 120O ， ∴ LC = 120O _ LB ， ∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 0<120O _ LB<90O ， ∴ 30O<LB<90O ，故选：D． 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 7 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 4 ．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是 ( ) ( A ． B ． C ． D ． ) 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A 、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B 、露出的角是直角，因此是直角三角形； C 、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C． 5 ．小涵求△ABC 的面积时，作了AB 边上的高，下列作图正确的是 ( ) 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 8 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 A． ( . ) ( B ) ( . ) ( C ) D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作AB 边上的高即过点C 向边AB 引垂 线，垂足为D 即可． ( 故选 D ． )【详解】解：由题意，作图正确的是： 6 ．如图表示三角形的分类，关于 P、Q 区域有甲、乙两种说法：甲：P 是锐角三角形；乙：Q 是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是 ( ) A ．甲对 B ．乙对 C ．甲、乙均对 D ．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P 是等腰三角形；Q 是等边三角形， ∴只有乙说法正确，故选：B． 7 ．一副三角板按如图方式叠合在一起，AD 与BE 相交于点 H，则7BHD 的度数是 ( ) A ．75o B ．70o C ．65o D ．55o 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，对顶角相等，以及直角三角形两锐角互余，由三角板可知7EAB = 45o, 7DAC = 30o ，与角的和差可得出7EAD = 7EAB - 7DAC = 15o ，再根据对顶角相等以及直角三角形两锐角互余7BHD = 7EHA = 90o -15o = 75o ． 【详解】解：根据题意可知7EAB = 45o, 7DAC = 30o ，则7EAD = 7EAB - 7DAC = 15o ， :7BHD = 7EHA = 90o -15o = 75o ；故选 ∶A 8 ． 自行车是中小学生上下学选择的代步工具，如图所示是某一型号自行车座垫与三脚架连接部分示意图，其中DF ∥ AB ，若7A = 41o, 7C = 84o ，则7DEB 的度数是 ( ) A ．41o B ．45o C ．55o D ．65o 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．先根据7A = 41o, 7C = 84o ，求出7ABC = 55o ，再根据两直线平行同位角相等求出7DEB 的度数即可． 【详解】解： ∵ 7A = 41o, 7C = 84o ， ∴ 7ABC = 180o - 41o - 84o = 55o ， ∵ DF ∥ AB ， ∴ 7DEB = 7ABC = 55o ．故选：C． 9．在 △ABC 中，AB = AC, AB边上的中线CD 把 △ABC 的周长分成 24 和 12 的两部分，则AB 的长是( ) A ．16 B ．8 C ．16 或 8 D ．8 或 4 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 9 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设AB = AC = x ，BC = y ，则AD = BD x ，再分AD + AC = 24 且BD + BC = 12和AD + AC = 12 且BD + BC = 24两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设AB = AC = x ，BC = y 则AD = BD x ， 当AD + AC = 24 且BD + BC = 12 时，即 解得： ， ∴ AB = AC = 16 ，BC = 4 ， ∵ 16 + 4 ≥ 16 ， ∴能组成三角形，即AB = 16符合题意； 当AD + AC = 12 且BD + BC = 24 时，即 解得： ∴ AB = AC = 8 ，BC = 20 ， ∵ 8 + 8 = 16 < 20 ， ∴三边不能组成三角形，即AB = 8 不符合题意；综上，AB 的长是 16 ．故选 A． 10 ．如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作 ACD 和 BCE ，且 LD = 2LDAC ，LE = 2LEBC ．若 LDAC 的平分线与LEBC 的平分线的交于点P ，则L1与L2 的数量关系为 ( ) A ．L2 = 150O L1 B ．L2 = 130O L1 C ．L2 = 175O _ L1 D ．L2 = 115O + L1 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出L1 = 3(LDAC + LEBC)_180O ，L2 = 180O 再找到可以去掉LDAC + LEBC 的式子即可． 第 10 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： ∵ LD = 2LDAC ，LE = 2LEBC ， ∴ LDCA = 180O _ LD _ LDAC = 180O _ 3LDAC ，LECB = 180O _ LE _ LEBC = 180O _ 3LEBC ， ∴ L1 = 180O _ LDCA _ LECB = 180O _ (180O _ 3LDAC) _ (180O _ 3LEBC) = 3(LDAC + LEBC)_180O ， ∵ LDAC 的平分线与LEBC 的平分线的交于点P ， ∴ L2 = 180O _ LPAB _ LPBA ∵ L1 = 3(LDAC + LEBC)_180O ， ∴ L2 + L1 = 180O _ + _ 30O = 150O ；即L2 = 150O L1 ．故选：A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．在 △ABC 中，LA = 48O ，LB = 30O ，则LC = ． 【答案】102O 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为180O 是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： LA = 48O ，LB = 30O ， : LC = 180O _ LA _ LB = 180O _ 48O _ 30O = 102O ．故答案为：102O ． 12 ．已知△ABC 的三边长为 a 、b 、c ，其中a = 3、b = 5 ，则边长 c 的取值范围是 ． 【答案】2 < c < 8 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解： ∵ a = 3、b = 5 ，a _b < c < a + b， ∴ 2 < c < 8 ；故答案为：2 < c < 8 ． 13．在 △ABC 中，如果LA = 36O, LB = 44O ，那么△ABC 是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理求出 LC 的度数即可得到答案． 【详解】解： ∵在△ABC 中，LA = 36O, LB = 44O ，LA + LB + LC = 180O ， ∴ LC = 100O ， 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 11 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ △ABC 是钝角三角形，故答案为：钝角． 14 ．如图，在 BCE 中，7CBE所对的边是 ；在△AEC 中，边AE 所对的角是 ． 【答案】 EC /CE 7ACE 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在 BCE 中，7CBE所对的边是EC ；在△AEC中，边AE 所对的角是7ACE ，故答案为：EC ； 7ACE ． 15．如图，在 △ABC 中，中线AE 和中线BD 相交于点F ，若 △ABC 的面积为 36，则四边形CDFE的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S ABE = S ACD S ABC ，得出S ABF = S四边形CEFD ，再由中线的性质得出 S△AKF = S△BKF = S△ADF = S△CDF = S△BEF = S△CEF = 6 即可求解． 【详解】解： ∵ AD 、BE 是 △ABC 的中线， ∵ S△ABF = S△ABE _ S△BEF ，S四边形CEFD = SBCD _ SBEF ， ∴ S ABF = S四边形CEFD ， 连接CF并延长交AB 于点 K，如图所示： 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 12 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴CK为中线， ∴ S△AKF = S△BKF , S△ADF = S△CDF , S△BEF = S△CEF ， ∵ SBKC = SBCD = 18 ， ∴ S△BKF = S△CDF ， 同理得：SBEF = S ADF ， ∴ S△AKF = S△BKF = S△ADF = S△CDF = S△BEF = S△CEF ， ∵ △ABC 的面积为 36， ∴ S△AKF = S△BKF = S△ADF = S△CDF = S△BEF = S△CEF = 6 ， ∴四边形CDFE 的面积为S△CDF + S△CEF = 12 ，故答案为：12． 16．如图所示，7A = 100O ，作BC 的延长线CD ，7ABC 与7ACD 的角分线相交于A1 ，7A1BC 与7A1CD 的角分线相交于A2 … 以此类推，7A5BC 与7A5CD 的角分线相交于A6 ，则7A6 = 度． ( 25 O )【答案】 24 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由7A1CD = 7A1 + 7A1BC ，7ACD = 7ABC + 7A，而A1B 、A1C 分别平分7ABC 和7ACD ，得到 7ACD = 27A1CD ，7ABC = 27A1 BC ，于是有7BAC = 27A1 ，同理可得7A1 = 27A2 ，即7A = 22 7A2 ，因此找出规律． 【详解】解： ∵ A1B 、A1C 分别平分7ABC 和7ACD ， ∴ 7ACD = 27A1CD ，7ABC = 27A1 BC， 而7A1CD = 7A1 + 7A1BC ，7ACD = 7ABC +7BAC ， ∴ 7BAC = 27A1 = 100 O， ∴ 7A1 = 50O ， 同理可得7A1 = 27A2 ，即7BAC = 22 7A2 = 100O ， 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 13 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ LA2 = 25O ， ∴ LA = 2n LAn ，即LAn ∴ LA 故答案为： ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题，每题 8 分；第 24 ，25 题，每题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．如图，在 △ABC 中，D，E 分别是BC，AC 上的点，连接BE，AD 交于点F． (1)图中共有多少个AB 以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除△ABF 外，以点F 为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以AB 为边的三角形有4 个， △ABF ， △ABD ， ABE ， △ABC (2)以点F 为顶点的三角形还有△BDF 、 △AEF 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以AB 为边的三角形有4 个；（2）以F 为顶点的三角形有3 个，除△ABF 外，还有2 个． 【详解】（1）解：以AB 为边的三角形有4 个， △ABF ， △ABD ， ABE ， △ABC ． （2）解：除△ABF 外，以点F 为顶点的三角形还有△BDF 、 △AEF ． 18 ．已知△ABC 中，AB = 7 ，BC = 2 ，且AC 为奇数． (1)求 △ABC 的周长． (2)判断△ABC 的形状，并说明理由． 【答案】(1)16；(2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得5 < AC < 9 ，再根据 ACAC 为奇数，确定AC 的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得△ABC 是等腰三角形． 【详解】（1）解：在 △ABC 中，根据三角形三边关系得：AB - BC < AC < AB + BC :7 - 2 < AC < 7 + 2即5 < AC < 9． AC 是奇数 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 14 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 :AC = 7 ． : C△ABC = AB + BC + AC = 7+ 2+ 7= 16 :ABC 的周长为 16． （2）解： △ABC 为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知，AC = 7 AB = 7 :AB = AC :ABC 为等腰三角形． 19．如图，△ABC 中，AD 平分 LBAC ，P 为AD 延长线上一点，PE 丄 BC 于 E，已知LACB = 80O,LB = 24O ． (1) LBAC 的度数为 ； (2)求 LP 的度数． 【答案】(1)76O ；(2)28O 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出 LADC 的度数是解题的关键． （1）在 △ABC 中，利用三角形内角和定理可求出 LBAC 的度数； （2）结合角平分线的定义可得出LCAD 的度数，在 ACD 中，利用三角形内角和定理可求出 LADC的度数，结合对顶角相等可得出LPDE 的度数，再在△PDE 中利用三角形内角和定理可求出 LP 的度数． 【详解】（1）解： ∵ △ABC 中，LACB = 80O,LB = 24O ， :LBAC = 180O _ LACB _ LB = 180O _ 80O _ 24O = 76O ，故答案为：76O ． （2）解： ∵ AD 平分 LBAC ， 在 ACD 中，LACD = 80O,LCAD = 38O ， : LADC = 180O _ LACD _ LCAD = 62O ， : LPDE = LADC = 62O ， PE 丄 BC ， :LPED = 90O ， 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 15 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 : LP = 180O _ LPDE _ LPED = 28O ． 20 ．如下图，在△BCD 中，BC = 3,BD = 5． (1)若CD 的长是偶数，求CD 的长； (2)若AE∥BD , LA = 55O, LBDE = 125O ，求 LC 的度数． 【答案】(1)CD 的长为 4 或 6；(2)70O 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）平行，得到LCBD = LA = 55O ，根据平角和三角形的内角和定理，得到LBDE = LC + LCBD = 125O ，进行求解即可． 【详解】（1）在△BCD 中，BC = 3,BD = 5，所以5 _ 3 < CD < 5 + 3 ，即：2 < CD < 8 ． 因为CD 的长是偶数，所以CD 的长为 4 或 6． （2）因为AE BD ，所以LCBD = LA = 55O ． 因为LBDE + LBDC = 180O ，LBDC + LC + LCBD = 180O，所以LBDE = LC + LCBD = 125O ， 所以LC = LBDE _ LCBD = 125O _ 55O = 70O ． 21 ．如图， △ABC 的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为 1 个单位长度． (1)画出△ABC 中AC 边上的中线BD ； (2)画出△ABC 中AB 边上的高CE ； (3)△ABC 的面积为 个平方单位． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)8 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 16 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了求三角形面积，画三角形的高和中线： （1）根据三角形的中线的概念作图即可： （2）根据三角形的高的概念作图即可： （3）根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，BD 即为所求； （2）解：如图所示，CE 即为所求； （3）解：如图所示，面积为 故答案为：8． 22 ．已知△ABC 中，7ACB = 90O ，CD 为AB 边上的高，BE 平分7ABC ，分别交CD、AC 于点 F、E． (1)试说明7A = 7BCD ； (2)若7A = 30O ，试着求出7CEF 的度数； (3)猜想7CEF 与7CFE 的数量关系： 7CEF 7CFE （填“>” 、“<”或“=”）． 【答案】(1)见解析；(2)7CEF = 60O ；(3)= 【分析】（1）7ACB = 90O ，CD 为AB 边上的高，得7A + 7ABC = 90O ，7BCD +7CBD = 90O ，即得7A = 7BCD ； （2）根据7A = 30O ， 7ABC = 60O ，BE 平分 7ABC ，可得7CEF = 7A + 7ABE = 60O ； （3）根据7CBE +7CEB = 90O . 7FBD +7BFD = 90O . 7CBE = 7FBD ，7BFD = 7CFE ，即得7CFE = 7CEF ． 【详解】（1）解： ∵ △ABC 中，7ACB = 90O ， ∴ 7A + 7ABC = 90O ， ∵ CD 为AB 边上的高， ∴ CD TAB ， 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 17 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 7BDC=90O ， ∴ 7BCD +7CBD = 90O， ∴ 7A = 7BCD ； （2）解： ∵ 7A = 30O ，7ACB = 90O ， ∴ 7ABC = 90O - 7A = 60O ， ∵ BE 平分7ABC ， ∴ 7CEF = 7A + 7ABE = 60O ； （3）解： ∵ 7ACB = 90O ， ∴ 7CBE +7CEB = 90O . ∵ CD TAB ， ∴ 7FBD +7BFD = 90O . ∵ BE 平分7ABC ， ∴ 7CBE = 7FBD ， ∴ 7CEB = 7BFD . ∵ 7BFD = 7CFE ， ∴ 7CEB = 7CFE ， 即7CFE = 7CEF ．故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 23 ．如图，AD 为 △ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线． (1)已知AB - AC = 5cm ， △ABD 的周长为25cm ，求△ADC 的周长； (2)在 AEB 中作AE 边上的高； (3)若 △ABC 的面积为 40 ，AE = 5 ，则点B 到AE 边的距离为多少？ 【答案】(1)20cm ；(2)见解析；(3)4 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 18 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）根据中线的定义可得BD = CD ，然后表示出△ABD 的周长，再把AB 用AC 表示，BD 用CD 表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用△ABC 的面积表示出 ABE 的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： AD 为 △ABC 的中线， :BD = CD ， AB _ AC = 5cm ， :AB = AC + 5 ， : △ABD 的周长= BD + AD + AB = BD + AD + AC + 5 = 25cm ， : BD + AD + AC = 20cm ， : △ADC 的周长= CD + AD + AC = BD + AD + AC = 20cm ； （2）解：如图，BF 即为 ABE 中AE 边上的高， （3）解：设点B 到AE 边的距离为h AD 为 △ABC 的中线， BE 为△ABD 的中线， 1 1 : S△ABD = 2 S △ABC ，S△ABE = 2 S△ABD :h = 4 ， : 点B 到AE 边的距离为4 ． 24 ．【初步认识】 （1）如图① , 在 △ABC 中，BP 平分 LABC ，CP平分 LACB ．若LA = 80O ，则LP = ；如图② , BM 平分 LABC ，CM 平分外角LACD ，则 LA 与LM 的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③ , BN 平分外角LEBC ，CN 平分外角LFCB ．请探索 LA 与LN之间的数量关系． 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 19 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）130O ，LA = 2LM ；（2）LN = 90O LA 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图① , 由角平分线可得∠ABP = ∠CBPABC， ∠ACP = ∠BCPACB ，由三角形内角和可求LABC + LACB = 180O _LA ，根据LP = 180O _ = 180O 计算求解即可；如图② , 由角平分线与外角可得2LDCM = LA + 2LCBM = 2 (LM + LCBM ) ，整理即可； （2）由角平分线可得LCBN = LEBN LCBE，LBCN = LFCN BCF ，由LABC + LACB = 180O _LA ，可得LCBE + LBCF = 180O + LA ，则根据LN = 180 O _(LCBN + LBCN) ，计算求解即可； 【详解】解：（1）如图① , ∵ BP 平分 LABC ，CP平分 LACB ， ∵ LABC + LACB = 180O _ LA = 100O ， 如图② , ∵ BM 平分 LABC ，CM 平分外角LACD ， ∵ LACD = LA + LABC ，LDCM = LM + LCBM ， ∴ 2LDCM = LA + 2LCBM = 2 (LM + LCBM ) ， 整理得，LA = 2LM ，故答案为：130O ；LA = 2LM ． （2） ∵ BN 平分外角LEBC ，CN 平分外角LFCB ， ∵ LABC + LACB = 180O _LA ， ∴ LCBE + LBCF = 180O _LABC +180O _LACB = 360O _ (LABC + LACB) = 180O + LA ， 第 20 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 25 ．如图① , 在 ABC 中，BD 平分LABC ，且与 ABC 的外角LACE 的平分线交于点 D． 【问题解决】 （1）若LABC = 75O，LACB = 45O ，求LD 的度数； （2）若LABC = 80O，LA = 60O ，则LD = ． 【猜想证明】 （3）当LABC 和LACB 在变化，而LA 始终保持不变，则LD 是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有LA 的式子表示LD ） 【拓展提高】 （4）若把LA截去，得到四边形MNCB ，如图② , 猜想LD、LM、LN 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）30O ；（2）30O ；（3）不变化，理由见解析，结论LD LA （4）LD 理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180O 以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到LD LA ； （4）延长BM、CN 交于点A ，将问题转化为（3）即可． 【详解】解：（1） ∵ LABC = 75O ，BD 平分LABC ， 又∵LACB = 45O， ∴ LACE = 180O _ 45O = 135O ， ∵CD平分LACE ， ∴ LD = LDCE _ LDBC = 67.5O _ 37.5O = 30O ， （2） ∵ BD 平分LABC ， 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 21 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵CD平分LACE ， ∴ LD = LDCE _ LDBC = (LA + LABC _ LABC) 1 = LA 2 = 30O， （3）不变化，理由如下： ∵ BD 平分LABC ， ∵CD平分LACE ， ∴ LD = LDCE _ LDBC = (LA + LABC _ LABC) 即LD LA LD ，理由如下： 如图，延长BM、CN 交于点A，则LA = 180O _ (LAMN + LANM ) = 180O _ [360O _ (LBMN + LCNM )] 第十三章 三角形 基础卷（解析版） 第 22 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 = LBMN + LCNM -180O ∴ LA = LBMN + LCNM -180O ，由（3）可得LD LA ， 第 23 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $